等式与不等式（人教B版2019）
一、单选题
1．若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．下面的多项式中，能因式分解的是
A．a2﹣6a+8 B．a2﹣2a+4 C．4a2+b2 D．﹣a2﹣16b2
3．若关于的不等式的解集是，关于的不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．关于的不等式的解集为，且，则实数为（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．已知集合，，则等于
A． B．
C． D．
6．在上定义运算：，若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若不等式对任意正数，恒成立，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
8．设x,y,z是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知、、、均为实数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则
10．若a，b，，且，下列不等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为9
12．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若实数满足，则的取值范围为 .（用区间表示）
14．不等式组与不等式同解，则的取值范围是 .
15．已知关于的一元二次方程有两个实数根和，当时，的值为 .
16．不等式的解集为 .
四、解答题
17．已知，，且，求、的值.
18．若正数，，满足．
(1)求的最大值；
(2)求的最小值．
19．某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为万元时,销售量万件满足（其中,为正常数）. 现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用）,产品的销售价格定为万元/万件.
（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数;
（2）促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.
20．已知且，求的取值范围．
21．已知关于的不等式．
(1)若此不等式的解集是，求的值；
(2)讨论此不等式的解集．
22．已知函数的最大值为2．
(1)求的值；
(2)证明：．
试卷第2页，共4页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．D
【分析】根据，化原不等式为，由一元二次不等式的解法，即可得出结果.
【详解】因为，所以原不等式可化为，
又方程的两根伟或，，
所以解不等式可得或.
故选：D.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题型.
2．A
【分析】利用十字相乘法、提公因式、平方差等进行分解，即可得到答案.
【详解】A.=(a-2)(a-4)，故符合题意；
B.不能因式分解，故不符合题意；
C.不能因式分解，故不符合题意；
D.不能因式分解，故不符合题意；
故选A.
【点睛】本题主要考查因式分解，关键是十字相乘法、提公因式、平方差，完全平方（和）差公式等进行分解，属于基础题.
3．B
【分析】由已知得到，并且，将所求不等式化简为一次因式积的形式，解不等式即可．
【详解】解：因为关于的不等式的解集是，所以，并且，则，
所以关于的不等式化简为，
等价于，即，即，
解得或，
所以不等式的解集为；
故选：B．
4．B
【分析】法一：根据根与系数的关系，得到关于的方程，求出的值，检验后舍去不合要求的解，即可求出结果；
法二：因式分解，根据的符号讨论求出，结合，能求出结果．
【详解】法一：因为的解集为，
为方程的两个根，
，，
又∵，
∴，
，
，
，
．
当时，，，由，得，，成立；
当时，，，由，得，，不成立，
综上．
解法二：的解集为，
当时，，，
此时，，
，
∴或（舍；
当时，无解．
当时，，，
此时，，无解，
综上，．
故选：B．
5．A
【分析】解出集合、，再利用交集和补集的定义求出集合.
【详解】解不等式，即，得，.
解不等式，解得，，
则，因此，，故选A.
【点睛】本题考查集合的交集与补集的混合运算，同时也考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，解题的关键就是解出问题中所涉及的集合，考查运算求解能力，属于基础题.
6．B
【分析】根据新定义得出对任意实数x均成立，变形整理分离参数可得到对任意实数x均成立，从而只需即可.
【详解】因为对任意实数x均成立，
所以对任意实数x恒成立，即恒成立，
所以恒成立，所以只需，
又因为，所以，解得.
故选：B.
7．C
【分析】将原问题转化为求解的最值的问题，然后结合均值不等式求得最值即可确定的取值范围.
【详解】不等式对任意正数，恒成立，.
，
当且仅当时取等号，.
【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．C
【详解】试题分析：，故D恒成立；
由于函数,在单调递减；在单调递增, 当时,
即,当,即正确，即A正确；
由于,故B恒成立，
若,不等式不成立, 故C不恒成立,故选C．
考点：1、基本不等式证明不等式；2、单调性证明不等式及放缩法证明不等式．
9．BCD
【分析】对于A：由和已知条件和，可判断；
对于B：由，得，再由，可判断；
对于C：由，得，又由，可判断；
对于D：由，可得，继而得，，可判断.
【详解】对于A：，，又，，即，故A不正确；
对于B：，，，所以，即，故B正确；
对于C：，，又，，故C正确；
对于D：由，可知，，，成立，故D正确.
故选BCD.
【点睛】本题考查根据不等式的性质判断不等式是否成立，常用的方法是作差法，属于基础题.
10．ACD
【分析】结合不等式的基本性质和作差比较法，以及举反例，逐项判定，即可求解.
【详解】因为，可得且
对于A中，由，此时的符号不确定，所以A错误；
对于B中，由，，根据不等式的性质，可得，所以B正确；
对于C中，由，此时的符号不确定，所以C错误；
对于D中，只有当时，才能得到，所以D错误.
故选：ACD.
11．ABD
【分析】利用基本不等式判断A、B、D的正误，注意等号成立条件，将化为关于的二次函数形式求最值判断C.
【详解】因为，，，
所以，即，，当且仅当时等号成立，则A，B正确．
，当时取得最大值，则C错误．
，当且仅当时等号成立，则D正确．
故选：ABD
12．ABC
【分析】利用基本不等式与“1”的妙用，可判断ABC，解析过程要注意等号成立的条件；利用作差法可判断D.
【详解】对于A，因为，，
所以，则，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于C，因为，，
所以，则，故，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，因为，，所以，，
则，即，故D错误.
故选：ABC.
13．
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解
【详解】由题意，，故，即取值范围为.
故答案为：
14．
【详解】试题分析：不等式的解集为，不等式的解，当时， 或，当时， ，当时， 或，所以不等式组的解，当时， 不等式组无解，当时，不等式组的解为 ，当时，不等式组的解为，综上，的取值范围是.所以答案应填：.
考点：一元二次不等式的解法.
【方法点睛】解一元二次不等式的策略：（1）如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式；（2）求出相应一元二次方程的判别式及根；（3）根据不等式写出解集.解决本题的关键是使不等式的解集为的解集的子集即可，考查一元二次不等式的解法及分类讨论的数学思想，属于中档题.
15．
【分析】根据一元二次方程有解的条件，解出的范围，再根据根与系数的关系，求出，，结合条件即可求出满足题意的值．
【详解】由题意得，解得.
由根与系数的关系，得，.
由，得.
若，即，解得. 因为，可知不合题意，舍去；
若，即，由，得.
故当时，.
【点睛】本题主要考查一元二次方程有解的条件以及根与系数的关系应用．
16．
【分析】将原不等式化为，再将分式不等式等价变形可得不等式解集为.
【详解】将不等式变为，即，可得；
等价于，解得，即；
所以不等式解集为.
故答案为：
17．，
【解析】由题意可知方程组的解为，代入原方程组即可求出、的值.
【详解】由题意可知方程组的解为，则，解得.
【点睛】本题考查利用交集的结果求参数，考查运算求解能力，属于基础题.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用基本不等式求解即可；
（2）根据，结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）因为正数，，满足，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最大值为；
（2），
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
19．（1），；
（2）当时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大；当时,促销费用投入a万元时,厂家的利润最大.
【详解】试题分析：（1）根据利润=定价销售量-成本列出函数式；（2）利用基本不等式与函数的单调性进行求解.
解题思路:解决函数应用题的关键在于审清题意，从题意中提炼出有关数学量和关系式，将应用题转化为数学问题进行求解.
试题解析：（1）由题意知,该产品售价为万元,
, 代入化简得
,（） 5分
（2）
当且仅当时,上式取等号 8分
当时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大; 10分
当时,,故在 上单调递增,所以在x=a时,函数有最大值.促销费用投入a万元时,厂家的利润最大 12分
综上所述,当时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大；当时,促销费用投入a万元时,厂家的利润最大 13分.
考点：1.函数模型的应用；2.基本不等式；3.函数的最值.
20．
【分析】设，比较系数可解出且，结合且，利用不等式的基本性质即可算出的取值范围．
【详解】解：设，可得
，解之得，得
且，
，且，
两个不等式相加，得
的取值范围是．
【点睛】本题考查不等式的性质求取值范围，属于中档题．
21．(1)或
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意知，，2是的两根，从而可求出；
（2）通过讨论对应方程两根的大小，得出不等式的解集．
【详解】（1）由题意知，，是的两根，
所以，解得或．
（2）就是，即．
方程的两根是，．
①当，即时，此不等式的解集是．
②当，即时，此不等式是，解集是．
③当，即时，此不等式的解集是．
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1），根据绝对值三角不等式可求解；
（2）利用“乘1法”证明，又，利用基本不等式证明即可.
【详解】（1），当时取等号，
∵，，∴，
∴由题可知，∴.
（2），
当且仅当时等号成立.
，
当且仅当时等号成立.
∴．
试卷第1页，共1页
试卷第13页，共10页等式与不等式（人教B版2019）
一、单选题
1．若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．下面的多项式中，能因式分解的是
A．a2﹣6a+8 B．a2﹣2a+4 C．4a2+b2 D．﹣a2﹣16b2
3．若关于的不等式的解集是，关于的不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．关于的不等式的解集为，且，则实数为（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．已知集合，，则等于
A． B．
C． D．
6．在上定义运算：，若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若不等式对任意正数，恒成立，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
8．设x,y,z是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知、、、均为实数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则
10．若a，b，，且，下列不等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为9
12．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若实数满足，则的取值范围为 .（用区间表示）
14．不等式组与不等式同解，则的取值范围是 .
15．已知关于的一元二次方程有两个实数根和，当时，的值为 .
16．不等式的解集为 .
四、解答题
17．已知，，且，求、的值.
18．若正数，，满足．
(1)求的最大值；
(2)求的最小值．
19．某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为万元时,销售量万件满足（其中,为正常数）. 现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用）,产品的销售价格定为万元/万件.
（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数;
（2）促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.
20．已知且，求的取值范围．
21．已知关于的不等式．
(1)若此不等式的解集是，求的值；
(2)讨论此不等式的解集．
22．已知函数的最大值为2．
(1)求的值；
(2)证明：．试卷第2页，共4页
试卷第1页，共1页
试卷第1页，共1页
试卷第4页，共1页
