平面解析几何单元检测卷（人教B版2019）
一、单选题
1．点，P在直线上，，则P点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若直线与直线垂直，则( )
A．1 B．2 C． D．
3．若P为抛物线上任意一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．位置与P点有关
4．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率可以等于0 B．直线的斜率有可能不存在
C．直线可能过点 D．直线在轴、轴上的截距不可能相等
5．点为抛物线准线上点，若存在过的直线交抛物线于A、B两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（ ）
A．准线上的所有点都是“点”
B．准线上仅有有限个点是“点”
C．准线上的所有点都不是“点”
D．准线上有无穷多个点（不是所有的点）是“点”
6．椭圆的离心率为，则k的值为（ ）
A．3 B． C．3或 D．或21
7．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度,得到离心率为的双曲线，则（ ）
A． B． C． D．之间的大小不确定
8．直线交抛物线于两点，若中点的横坐标为3，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）已知直线与直线垂直，则实数的值是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知双曲线：，则下列选项中正确的是（ ）
A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为
C．的离心率为 D．的焦点到渐近线的距离为3
11．已知双曲线的左右两个顶点分别是A1，A2，左右两个焦点分别是F1，F2，P是双曲线上异于A1，A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A． B．直线的斜率之积等于定值
C．使为等腰三角形的点有且仅有4个 D．焦点到渐近线的距离等于b
12．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线恒过定点
C．经过点，且在，轴上截距相等的直线方程为
D．过原点做直线的垂线，垂足为，则直线l的方程为
三、填空题
13．抛物线的焦点到准线的距离是 .
14．点到直线：的距离的最大值为 .
15．过点的直线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，当周长最大时，直线的斜率为 ．
16．直线过点，且不经过第四象限，那么直线的斜率的取值范围是
四、解答题
17．过双曲线的右焦点作倾斜角为直线，交双曲线于两点，求弦长．
18．判断直线与抛物线是否有公共点，如有两个公共点，求出公共点的坐标，并求出以这两个公共点为端点的线段长．
19．在平面直角坐标系中，直线的方程为，.
(1)若，求过点且与直线平行的直线方程；
(2)已知原点到直线的距离为4，求的值.
20．如图，过点作抛物线的切线l，切点A在第二象限．
（1）求切点A的纵坐标；
（2）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，，的斜率分别为k，k1，k2，若，求椭圆方程．
21．已知平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)若直线过点C且与直线AB平行，求直线的方程；
(2)求线段BC的垂直平分线方程．
22．已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．试卷第4页，共4页
试卷第1页，共1页
试卷第1页，共1页
试卷第5页，共1页平面解析几何单元检测卷（人教B版2019）
一、单选题
1．点，P在直线上，，则P点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若直线与直线垂直，则( )
A．1 B．2 C． D．
3．若P为抛物线上任意一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．位置与P点有关
4．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率可以等于0 B．直线的斜率有可能不存在
C．直线可能过点 D．直线在轴、轴上的截距不可能相等
5．点为抛物线准线上点，若存在过的直线交抛物线于A、B两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（ ）
A．准线上的所有点都是“点”
B．准线上仅有有限个点是“点”
C．准线上的所有点都不是“点”
D．准线上有无穷多个点（不是所有的点）是“点”
6．椭圆的离心率为，则k的值为（ ）
A．3 B． C．3或 D．或21
7．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度,得到离心率为的双曲线，则（ ）
A． B． C． D．之间的大小不确定
8．直线交抛物线于两点，若中点的横坐标为3，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）已知直线与直线垂直，则实数的值是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知双曲线：，则下列选项中正确的是（ ）
A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为
C．的离心率为 D．的焦点到渐近线的距离为3
11．已知双曲线的左右两个顶点分别是A1，A2，左右两个焦点分别是F1，F2，P是双曲线上异于A1，A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A． B．直线的斜率之积等于定值
C．使为等腰三角形的点有且仅有4个 D．焦点到渐近线的距离等于b
12．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线恒过定点
C．经过点，且在，轴上截距相等的直线方程为
D．过原点做直线的垂线，垂足为，则直线l的方程为
三、填空题
13．抛物线的焦点到准线的距离是 .
14．点到直线：的距离的最大值为 .
15．过点的直线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，当周长最大时，直线的斜率为 ．
16．直线过点，且不经过第四象限，那么直线的斜率的取值范围是
四、解答题
17．过双曲线的右焦点作倾斜角为直线，交双曲线于两点，求弦长．
18．判断直线与抛物线是否有公共点，如有两个公共点，求出公共点的坐标，并求出以这两个公共点为端点的线段长．
19．在平面直角坐标系中，直线的方程为，.
(1)若，求过点且与直线平行的直线方程；
(2)已知原点到直线的距离为4，求的值.
20．如图，过点作抛物线的切线l，切点A在第二象限．
（1）求切点A的纵坐标；
（2）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，，的斜率分别为k，k1，k2，若，求椭圆方程．
21．已知平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)若直线过点C且与直线AB平行，求直线的方程；
(2)求线段BC的垂直平分线方程．
22．已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．
试卷第4页，共4页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．B
【分析】由点到直线的距离，可判断满足条件的点的个数.
【详解】因为点到直线的距离为，
所以P点的个数是1个.
故选：B.
2．B
【分析】分析直线方程可知，这两条直线垂直，斜率之积为－1.
【详解】由题意可知，即．
故选：B.
3．B
【分析】根据给定条件，求出抛物线的焦点坐标、准线方程，设出点P的坐标，再利用圆的切线的判定判断作答.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设点，则线段PF中点，
由抛物线定义知：，因此，点M到y轴距离，
即以线段PF中点M为圆心，为半径的圆与y轴相切，
所以以PF为直径的圆与y轴相切.
故选：B
4．B
【分析】根据斜率的定义和截距的定义即可求得答案.
【详解】解：若，则直线的斜率不存在，故B正确；
若，直线的斜率存在，且斜率，不可能为0，故A错误；
将点代入直线方程得：，故C错误；
令，则直线方程为：，横纵截距均为，故D错误.
故选：B.
5．A
【分析】根据题设方程分别设出的坐标, 进而的坐标可表示出, 把的坐标代入抛物线方程联立消去, 求得判别式大于0恒成立, 可推断出方程有解, 进而可推断出直线上的所有点都符合.
【详解】由题意可知抛物线的准线方程为：，因为，所以为中点，
设 则,
在上, 且,
消去得, ，
整理得关于的方程,
恒成立,
方程恒有实数解.
即对于任意的点, 都存在, 使得,
故选：A.
6．C
【分析】分焦点在轴、在轴上求出，根据离心率为可得答案.
【详解】当焦点在轴上时，；
当焦点在轴上时，
故选：C.
7．B
【分析】由离心率的概念表示出离心率后比较大小，
【详解】由题意得，，
而，，则，故，
故选：B
8．A
【分析】利用抛物线焦点弦公式即可求解.
【详解】抛物线的焦点为.
直线过定点，即为抛物线的焦点.
设，则，．
故选：A．
9．AB
【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.
【详解】因为直线与直线垂直，
则，解得或.
故选：AB.
10．BC
【分析】根据已知条件，可知双曲线的焦点在轴上，，，，然后逐项判断双曲线的性质即可.对于D项，根据点到直线的距离求出即可判断.
【详解】由已知，双曲线的焦点在轴上，且，，则，
所以，，.
所以的焦点坐标为、，故A项错误；
顶点坐标为、，故B项正确；
离心率，所以C项正确；
渐近线方程为与，
焦点到渐近线的距离为，所以D项错误.
故选：BC.
11．BD
【解析】A. 由双曲线的定义判断；B.设，利用斜率公式求解判断；C.利用双曲线的对称性判断；D.利用点到直线的距离公式求解判断；
【详解】A. 因为，故错误；
B.设，则，所以，故正确；
C.若点P在第一象限，若，为等腰三角形；若，为等腰三角形，由双曲线的对称性知，点有且仅有8个，故错误；
D.不妨设焦点坐标为： ，渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离，故正确；
故选：BD
【点睛】本题主要考查双曲线的定义和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．BD
【分析】求出直线的斜率，即可得到倾斜角，从而判断A，求出直线过定点坐标，判断B，分截距为0和不为0两种情况讨论，即可判断C，求出，即可得到，再由点斜式计算判断D.
【详解】对于A：直线即，所以直线的斜率为，则倾斜角为，故A错误；
对于B：直线即，
令，解得，所以直线恒过定点，故B正确；
对于C：若在，轴上截距均为，此时直线过坐标原点，则直线方程为即，
若在，轴上截距均不为，设直线为，则，
解得，所以直线方程为，即，
综上可得经过点，且在，轴上截距相等的直线方程为或，故C错误；
对于D：因为，所以，则直线的方程为即，故D正确；
故选：BD
13．
【分析】化方程为标准方程，焦点到准线的距离
【详解】抛物线化为标准方程为抛物线，则其焦准距为，即焦点到准线的距离是.
故答案为：
14．
【分析】求出动直线所过定点，点到定点的距离即为所求最大值．
【详解】直线：经过定点，当时，点到直线：的距离最大，最大值为.
故答案为：．
15．
【分析】左、右焦点分别为，，由题设知周长，共线时周长最大，即直线过和即可求斜率.
【详解】由题意知：左、右焦点分别为，，则，
∴周长，
又∵当且仅当共线时等号成立，
∴，即直线过，，所以，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：由周长，利用三角形两边和大于第三边、三点共线时线段最短可知共线时周长最大求斜率.
16．
【分析】根据直线过且不经过第四象限，考虑直线过原点的倾斜程度及平行x轴的情况即可写出斜率的范围.
【详解】当直线过点A且平行于轴时，直线斜率取得最小值；当直线过点与原点时，直线斜率取得最大值，所以直线的斜率的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于中档题.
17．8
【分析】利用双曲线的焦点弦长公式，根据已知条件直接得出弦长．
【详解】由双曲线得，又
所以．
18．直线与抛物线是有公共点，且公共点的坐标为；以这两个公共点为端点的线段长为
【分析】将直线与抛物线方程联立可得交点坐标，利用两点间的距离公式可得弦长.
【详解】由可得，即
解得或，则对应的纵坐标为以这两个公共点为端点的线段长为
所以直线与抛物线是有公共点，且公共点的坐标为
19．(1)
(2)
【分析】（1）求出直线l的斜率为2，进而利用点斜式求出直线方程，得到答案；
（2）根据点到直线距离公式进行计算.
【详解】（1）当时，直线l的方程为，斜率为，
则过点且与直线l平行的直线方程为，即；
（2）原点O到直线l的距离为，解得：.
20．(1)；（2）
【分析】（1）利用导数的几何意义得到切点的横坐标，从而得到纵坐标．
（2）设，切线方程为，由，得.用“设而不求法”
表示出利用，借助于韦达定理求解椭圆方程．
【详解】（1）设切点，且，所以切线l的斜率为，
得l的方程为.
又点在l上，，即点A的纵坐标．
（2）由（1）得，切线斜率，
设，切线方程为，由，得.
所以椭圆方程为，且过，
由，
.
将，代入得：，所以，
∴椭圆方程为．
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用直线平行求得，再利用点斜式即可求得直线的方程；
（2）先利用中点坐标公式求得BC的中点，再利用直线垂直求得，从而利用点斜式即可求得所求.
【详解】（1）因为，，所以，
因为直线与直线AB平行，所以，
又因为直线过点，所以直线为，即.
（2）因为，，
所以BC的中点为，，
故线段BC的垂直平分线的斜率为，
所以直线为，即.
22．(1)
(2)
【分析】（1）由，得，再将点代入椭圆方程中，结合可求出，从而可求出椭圆方程，
（2）设直线，，，将直线方程代入椭圆方程消去，整理后利用根与系数的关系，可得，表示出直线AP的斜率，直线的斜率，而，代入化简即可
【详解】（1）由，得（c为半焦距），
∵点在椭圆E上，则．
又，解得，，．
∴椭圆E的方程为．
（2）由（1）知．设直线，，．
由消去x，得．
显然．
则，．
∴．
由，，得直线AP的斜率，直线的斜率．
又，，，
∴．∴．
∵．
∴．
试卷第1页，共1页
试卷第13页，共9页
