第八章 二元一次方程组教学共案

二元一次方程组共案 备课人李丽
2014年至2015学年度第二学期七年级数学教案
8.1 二元一次方程组
【教学目标】
1.了解二元一次方程，二元一次方程组及它们的解的概念；
2.会检验一组数是不是某个二元一次方程组的解；
3.会列简单的二元一次方程和二元一次方程组。
【重、难点】
重点：二元一次方程的定义；
难点：二元一次方程的解和二元一次方程组的解。
【教学过程】
一、情境创设
小红到邮局寄挂号信，需要邮资3元8角。小红有票额为6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种面额的邮票？ 如果设需要票额为6角的邮票x张，需要票额为8角的邮票y张，你能列出方程吗？
思考：这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？
二、探索活动
在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米，如果设轿车的速度是a千米/小时，卡车的速度是b千米/小时，你能列出方程吗？
从以上题中你发现了什么？
新课教学
知识点1：二元一次方程的定义（重点）
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程
注意：（1）方程中含有两个未知数，即未知数的系数不为0；
（2）含有未知数的项的次数都是1，它不同于未知数的次数是1，这是定义理解上的易错点。如xy+2=3这个方程中，x、y两个未知数的次数都是1，但此项的次数却是2，所以它不是二元一次方程。
（3）二元一次方程是整式方程，即等式的两边必须都是整式（分母中不含有未知数）
例1.下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
①xy+2x－y=7； ②4x+1=x－y； ③+y=5； ④x=y； ⑤x2－y2=2
⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x
A．1 B．2 C．3 D．4
课堂练习1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．+4y=6 D．4x=
知识点2：二元一次方程组的定义
含有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。
注意：（1）两个方程都是一次方程；
（2）方程组中共含有两个未知数。
例2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． HYPERLINK "http://"
课堂练习2.在方程组、、、、 、中，是二元一次方程组的有（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
知识点3：二元一次方程的解（难点）
一般地使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解
同时强调二元一次方程解的书写格式 ,, …
一般地一个二元一次方程有无数解
例3.二元一次方程5a－11b=21 （ ）
A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解
课堂练习3.当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，求a的值．
知识点4.二元一次方程组的解(难点)
一般地使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．
一般地，一个二元一次方程组只有一个解。
例4.方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（ ）
A．
课堂练习4.判断下列各组未知数的知是不是二元一次方程组的解．
（1）,,
（2）, ,
(3) ,,
题型一二元一次方程（组）的概念的应用
1.若(a-3)x+y的a的绝对值-2次方=9是关于x,y的二元一次方程，求a的值
2.如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？
3.二元一次方程组 HYPERLINK "http://" 的解x，y的值相等，求k．
题型二 求二元一次方程的特殊解
二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．
2.若二元一次方程有正整数解，则的取值应为（ ）
A、正奇数 B、正偶数 C、正奇数或正偶数 D、0
题型三 利用二元一次方程组的解求式子的值
已知x,y是二元一次方程组x-2y=3和2x+4y=5的解，求代数式x平方-4y平方的值为
2.若关于x、y的二元一次方程组：x+y=5k，x-y=9k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，求k的值
题型四 二元一次方程组的实际运用
1.根据题意列出方程组：
（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？
（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
2.、王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元。其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元。问王大伯一共获纯利多少元？
3.在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：
甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；
乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；
丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；
请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？
题型五 二元一次方程开放性题
1.写出一个二元一次方程，使x的系数大于2的自然数，y的系数小于-3的整数，且x等于2，y等于3是它的一个解
四、反馈练习
1.已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。
2.某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。
（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
3.如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？
4.二元一次方程组 HYPERLINK "http://" 的解x，y的值相等，求k．
5.已知x，y是有理数，且（│x│－1）2+（2y+1）2=0，则x－y的值是多少？
四、课堂小结
五、课后作业
8.2 消元——解二元一次方程组
【教学目标】
1.了解解二元一次方程组的基本思想，用消元法把二元一次方程组转化为一元一次方程；
2. 会用代入法解二元一次方程组；
3. 通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神。
【重、难点】
重点：（1）代入消元法解二元一次方程组；（2）用加减消元法解二元一次方程组；
难点：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程。
在8.1中我们已经看到，直接设两个未知数(设胜x场，负y场)，可以列方程组表示本章引言中问题的数量关系。如果只设一个未知数(设胜x场)，这个问题也可以用一元一次方程________________________来解。
分析：[1]2x＋(22－x)=40。
【教学过程】
一、情境创设
思考：上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系
二、探索活动
通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方程。这正是下面要讨论的内容
三、新课教学
知识点1：代入消元法解二元一次方程组（重点）
消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想
代入法：由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
（1）变形——将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的一次式表示另一个未知数；
（2）代入求解——用这个一次式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（3）求解——把这个未知数的值再代入一次式，求得另一个未知数的值；
（4）写解——写出方程组的解。
例1.解方程组
课堂练习1．解二元一次方程组
2. 已知（2x+3y-4）+∣x+3y-7∣=0则x= ，y=
知识点2：用加减消元法解二元一次方程组（重点）
加减法：两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法
用加减消元法解二元一次方程组的步骤：
（1）乘——使同一个未知数的系数相同或互为相反数；
（2）加减——把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数；
（3）解——解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
（4）回代——把求得的值代回方程中，求另一个未知数的值；
（5）联——用“﹛”把两个未知数的值联立起来。
注意：①当某一个未知数的系数的绝对值相等时，若符号不同，用加法消元，若符号相同，用减法消元；
②当某一个未知数的系数成倍数关系时，将系数较小的方程两边都乘这个倍数，把该未知数变为相等或互为相反数，再用加减法解方程组；
③当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，把该未知数的系数化为绝对值相等的数，再用加减消元法求解。
例2．（1）解方程组
（2）用加减法解方程组 应用（ ）
A ①-②消去y B ①-②消去x C ②- ①消去常数项 D 以上都不对
课堂练习2. 用加减法解下列方程组
（3）方程组 消去y后所得的方程是（ ）
A 6x=8 B 6x=18 C 6x=5 D x=18
题型一 解二元一次方程组
1. 代入消元法解方程组：
（1） （2）
2. 用加减法解二元一次方程解方程组：
（1） （2）
．
题型二 二元一次方程组的解与解二元一次方程组的综合运用
如果 x= 3是方程组 ax+by=1的解,求a2011 -2b20102的值
y= -2 ax-by=5
题型三 列二元一次方程组解决实际问题
1.根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量比(按瓶计算)为2:5。[7]某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶
2. 一批货物要运往A地，货主准备租用运输公司甲乙两种货车。已知过去他曾两次租用过这两种货车，第一次租用甲种货车两辆，乙种货车3辆，共运货物15.5吨;第二次租用甲种货车5辆，乙种货车6辆，共运货35吨，现在租用甲种货车3辆，乙种货车5辆，一次刚好运完这批货。如果按每吨付费25元计算，那么货主应付多少运费
题型四 利用二元一次方程组求值
已知丨a+b-3丨+(a-b+1)2=0求（3a-b）2012的值
题型五 二元一次方程的探究开放性问题
关于x,y的方程组｛4x+4ky+1=0① 8y-4x=1②是否有解？若有，请解出这个方程组；若没有，请说明理由
题型六 求二元一次方程组的字母系数
已知方程组{3x+5y=a+2，2x+3y=a的解适合x+y=8求a的值
四、反馈练习
1一.填空题
1.在方程中,若,则.若,则;
2.若方程写成用含x的式子表示y的形式:_________________;写成用含y的式子表示x的形式:___________________________;
3. 已知是方程2x+ay=5的解，则 a= .
4.二元一次方程有一个公共解,则m=______,n=_____;
5.已知,那么
二选择题
1.对于方程组,是二元一次方程组的为( )
A.(1)和(2) B.(3)和(4) C.(1)和(3) D.(2)和(4)
2.若是方程的一个解,则等于( )
3.方程组的解为( )
4.已知满足方程组,则的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2、若，是方程组的一组解，求m的值。
3、已知等式(2A－7B)x+(3A－8B)=8x+10，对一切实数x都成立，求A、B的值。
拓展训练：
解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
五、课堂小结
六、课后作业
8.3 实际问题与二元一次方程组
【教学目标】
1．会用列表方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组；
2．熟练二元一次方程组的解法和基本思路；
3．让学生体验把复杂问题转化为简单问题的同时，增强克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养团队精神。
【重、难点】
重点：分析实际问题，找等量关系并列二元一次方程组解决；
难点：转化问题，寻找问题中的等量关系列方程。
【教学过程】
一、情境创设
一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
　　第一次 第二次
　　甲种货车辆数（单位：辆） 2 5
　　乙种货车辆数（单位：辆） 3 6
　　累计运货吨数（单位：吨） 15.5 35
　　现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，你能算出货主应付运费多少元吗？
思考：（1） 用什么方法解决这个问题呢？（列方程组）
（2） 列二元一次方程组解应用题的一般步骤是什么？
二、探索活动
养牛场原有30只大牛和15只小牛，每天约用饲料675kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时每天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计每只大牛每天约用饲料18~20kg，每只小牛每天约用饲料7~8kg.你认为他的估计正确吗？
（1） 题目要求我们解决什么问题？（检验李大叔估计是否正确）想知道李大叔估计的是否正确，我们应怎么办？（也就是说问题转化为求每只大牛和每只小牛1天约用饲料多少kg）
（2） 以上两个量是未知量，题目中还出现了哪些量？
（3） （列表）根据已知条件，这些未知量和已知量之间存在什么关系？
（4） 以上关系能用数学式子表示出来吗？你打算如何解决题目中所提出的问题？
新课教学
知识点1：列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转化为“已知”的重要方法.它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系，合理设未知数，列出方程组求解．
注意： （1）寻找等量关系的方法有：①画出示意图分析；②列表分析；③信息的分类处理等等．
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称．
（3）一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
（4）最后的结果必须使实际问题有意义．
2、列方程组是列方程组解应用题的关键步骤 一般来说必须满足：
（1）方程两边的数值要相等； （2）同类量的单位要相同； （3）方程两边的代数式表示的是同类量．
3、列方程组常用的问题
（1）行程问题：路程=速度×时间 （2）工程问题：工作量=工作效率×工作时间 （3）浓度问题：溶质质量=溶液质量×浓度 （4）存款问题：本息和=本金＋利息，利息=本金×期数×利率 （5）调配问题 （6）方案设计及最佳方案选择问题等。
例1. 某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台．改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10％，乙种机器产量要比第一季度增产20％．该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？
分析：依题意有等量关系：第一季度生产甲、乙两种机器共480台；第二季度生产这两种机器共554台．
解：设该厂第一季度生产甲种机器x台，乙种机器 y台，
依题意得：
解这个方程组，得
答：该厂第一季度生产甲种机器220台，乙种机器260台．
课堂练习1.（1） 绿化队完成春季植树任务，如果每人植树15棵，则有85棵未植；如果每人植树17棵，则有29棵未植，绿化队有多少人？春季植树多少棵？
（2）六年级一、二班都有44名学生，两班都有一些同学参加了数学课外小组。一班没参加的人数是二班参加人数的4倍；二班没参加人数是一班参加人数的3倍。求一班、二班参加数学课外小组的各有几人。
知识点2：列二元一次方程组解应用题的一般步骤（难点）
1、审:分析题意,找出已、未知之间的数量关系和相等关系.
2、设:选择恰当的未知数(直接或间接设元),注意单位的同一 和语言完整.
3、列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程(组).
4、解:解所列的方程(组).
5、验: (有两次检验 ①是否是所列方程(组)的解;②是否满足实际意义).
6、答:注意单位和语言完整.
各类应用题的等量关系
㈠工程问题: 工作量=工作效率 ×工作时间
㈡行程问题: 路程=速度×时间
⑴相遇问题的等量关系:二者路程之和=全程
⑵追及问题的等量关系:快者路程=慢者先走路程(或相距路程)+慢者后走路程
㈢增长率问题:如果把基数用a表示,末数用A表示,增长率 (下降率)用x表示,时间间隔用n表示,则增长率问题的数量关系可表示为a(1±x)n =A
㈣利润问题:利润=销售价-进货价 , 利润率= 销售价=(1+利润率) × 进货价
㈤ 利息问题:利息=本金 × 利率 × 时间 本利和=本金+利息
㈥几何图形问题:体积问题:长方体,正方体,圆柱,圆锥等
面积问题:S长方形=ab, S正方形=a2 , S圆 =πR2
其他几何图形问题(如线段 周长等)
㈦其他类应用题
例2．小刚家去年种植芒果的收入扣除各项支出后节余5000元,今年他家芒果又喜获丰收,收入比去年增加了20%,由于实行了科学管理,今年的支出比去年减少了5%,因此今年节余比去年多1750元.求小刚家今年种植芒果的收入和支出各是多少
课堂练习2. < 中华人民共和国道路交通安全法实施条例>中规定:超速行驶属违法行为.为确保行车安全,一段高速公路全程限速110千米/小时(即任一时刻的车速都不能超过110千米/小时).以下是张师傅和李师傅行驶完这段全程为400千米的高速公路时的对话片段.张: “你的车速太快了,平均每小时比我多跑20千米,少用我一小时就跑完了全程,还是慢点.”李: “虽然我的时速快,但最大时速不超过我平均速度的10%,可没有超速违法啊.”李师傅违法超速了吗
题型一 列二元一次方程组解决行程问题
甲、乙两从A地出发，向同一方向前进，甲步行先走小时后，乙骑自行车追 赶，当乙骑了2小时后，乙还在甲的后面1.5千米处，再走1小时后，乙在甲的前面2.5千米处，求甲、乙两人的速度．
甲、乙两列火车每列各长180米，如果两列车相对行驶，从车头相遇到车尾离开共需12秒钟，如果两列车同向行驶，那么从甲的车头遇到乙的车尾，直到甲的车尾超过乙的车头共需60秒钟，假定列车速度不变，求两列火车的速度各是多少？（注意单位）
题型二 列二元一次方程组解决生产中的工作调配问题
某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，贤计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套
题型三 列二元一次方程组解决工程问题
某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队 因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成，问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？
题型四 列二元一次方程组解决商品问题
在"五一"期间，某超市打折促销，已知A商品7.5折销售，B商品8折销售，买20件A商品与10件B商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A商品和10件B商品共用1090元。求A、B商品打折前的价格。
题型五 列二元一次方程组解决增长率问题
某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校生将增加10%，则该校现在有初中生多少人？在校高中生有多少人？
题型六 列二元一次方程组解决生活中的和差倍分问题
在读书活动中，某校将一批书按以下原则分给各班：第一班取走100本，又取走余下的十分之一：第二班取走200本，又取走余下的十分之一...以此类推，最后全部书被各班取走，而且各班所得的书相等，问共多少本书，班数是多少
题型七 列二元一次方程组解决数字问题
有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写上一个0,则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，求这个两位数和这个一位数。
题型八 列二元一次方程组解决方案决策问题
“丽园”开发公司生产的960件新产品,需要加工后才能投放市场.现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，公司需付甲工厂加工费用每天80元，乙工厂加工费用每天120元。
⑴求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
⑵公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成，在加工过程中，公司需派一名工程师每天到厂里进行技术指导，并负担每天5元的误餐补助费。请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案
四、反馈练习
1、某厂有66人加工木器，每人一天可以加工3张桌子或10只椅子，问安排多少人加工桌子，多少人加工椅子刚好使桌椅配套（一张桌子配4张椅子）
2.某班同学参加运土劳动，一部分同学挑土，另一部分同学抬土。已知全班同学共用土筐 59个，扁担36条，抬土和挑土的同学各有多少人？
3. 某蔬菜公司收购美丽蔬菜140吨，准备加工后上市销售。该公司的加工能力是：每天精加工6吨或者粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天细加工才能按计划完成任务？
4. 某校有两种类型的学生宿舍30间，大的宿舍每间可以住8人，小的宿舍每间可以住5人，该校198个住宿学生刚好注满这30间宿舍，问大小宿舍各有多少间？
5. 《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食。树上的一只鸽子对觅食的鸽子说：“若从你们中飞过来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上和树下的鸽子就一样多。”你知道树上和树下各有多少只鸽子吗？
6. 已知一个两位数，个位与十位数字的和是8，这个两位数比它的个位数字的3倍大8， 则这个两位数是多少？
7. 一个三位数，各个数字之和为10，百位数字比十位数字大1，如果把百位数字与十位 数字对调，所得到的新数比原数的三倍还多61，求原来的三位数。
8. 某厂今年总收入比总支出多三万元，计划明年总收入比总支出多6.96万元，已 知计划明年总收入比今年增加20%，总支出比今年减少8%，那么今年总收入和总支出各是多少元？
9桃三李四橄榄七”，这是一则民间流传很广的古老的算题。它是说：桃子一个三文钱， 李子一个四文钱，而橄榄一文钱可以买到7个，若拿100文钱去买这三种水果，每 种都要买，又要恰好买100个，问每种应买几个？.
10. 医院为给病人治病，需配置一种药品，要用浓度80%和20%的酸配置成4千克浓度为 50%的酸，则这两种酸各需要多少千克？
11. 甲乙两人从相距36千米的两地相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们 在乙出发后2.5小时后相遇；如果乙先走2小时，那么他们在甲出发后3小时相遇，求甲乙两人的速度。
12.某运动场的环形跑道是400米，甲、乙两人在跑道上的同一地点，分别以不变的 速度练习长跑和骑自行车。他们同时出发，如果背向而行，则每隔20秒他们相遇一 次；如果同向而行，则每隔40秒他们相遇一次。求他们的速度。
13. 甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时， 逆水行船用24小时，求轮船在静水中的速度和水的速度。
五、课堂小结
六、课后作业
8.4 三元一次方程组的解法
【教学目标】
1．了解三元一次方程组的概念.
2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．
3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路．
4．通过消元可把“三元”转化为“二元”，充分体会“转化”是解二元一次方程组的基本思路.。
【重、难点】
重点：（1）使学生会解简单的三元一次方程组．
（2）通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想
难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法。
【教学过程】
一、情境创设
小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张． 1．题目中有几个条件？ 2．问题中有几个未知量？ 3．根据等量关系你能列出方程组吗？
思考：1．题目中有几个条件？
2．问题中有几个未知量？
3．根据等量关系你能列出方程组吗？
二、探索活动
怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？
新课教学
知识点1：三元一次方程组的概念
方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一次，并且方程组中一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。
例1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（　　）
A．x+y=1 B．x2-4=0 C．x=2 D． y-x=-1
2y+z=-2 y+1=x 2y=-3 x+z=3
3y=6 xy-z=-3 x-z=1 2y-z=0
课堂练习1下列方程组中是三元一次方程组的是( )
A B C D D
知识点2：解三元一次方程组的基本思路与一般步骤（重点）
解三元一次方程组的一般步骤：
首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．
（2）然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．
（3）再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．
（4）解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．
（5）最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
例2.解方程组
课堂练习2. 解方程组
题型一 灵活求解三元一次方程组
解方程组 x:y=3:4 ①
y:z=4:5 ②
x+y+z=36 ③
题型二 特殊三元一次方程组的简便方法
已知方程组 x+y=3a的解使式子x-2y+3z的值等于-10,求a的值
y+z=5a
z+x=4a
题型三 三元一次方程组的简单应用
已知等式y=ax2+bx+c当x=1时y=2当x=-1时y=-2当x=2时y=3求a b c的值
题型四 列三元一次方程组解决生活实际问题水费价格：不超过6立方米部分，每立方米2元。超过6立方米至10立方米部分，每立方米4元。超过10立方米部分，每立方米8元。 某居民三月和四月共用水15立方米，交水费44元，（四月用水量多于三月用水量），求三月和四月用水量？如果某居民某月用水量是13.5立方米，则他需要交水费多少元？
题型五 利用三元一次方程组解决开放创新问题
四、反馈练习
在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，则z＝_______.
已知单项式－8a3x＋y－z b12 cx＋y＋z与2a4b2x－y＋3zc6，则x＝____，y＝____，z＝_____.
3．解方程组 ,则x＝_____，y＝______，z＝_______.
4．已知代数式ax2＋bx＋c，当x＝－1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为_______.
5．已知 ，则x∶y∶z＝___________.
6．解方程组 ，若要使运算简便，消元的方法应选取（ ）
A、先消去x B、先消去y C、先消去z D、以上说法都不对
7．方程组 的 解是（ ）
A、 B、 C、 D、
8．若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
9．若方程组 的解x与y相等，则a的值等于（ ）
A、4 B、10 C、11 D、12
10．已知∣x－8y∣＋2（4y－1）2＋3∣8z－3x∣＝0，求x＋y＋z的值.
11．解方程组
（2）
12．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女？
13、解下列方程组：
(1) (2)
14、已知方程组的解应该是，一个学生解题时，把c看错了，因此得到解为，求a、b、c的值
15.小明手里有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中，1元纸币的张数是2元纸币张数的4倍，求1元、2元、5元的纸币各多少张？
五、课堂小结
六、课后作业
3x – 2y = 19
2x + y = 1
⑴
x+y=5 ①
x-y=1 ②
⑵
2x+3y=40 ①
3x -2y=-5 ②
②
①
x＋y－z＝11
y＋z－x＝5
z＋x－y＝1
x－3y＋2z＝0
3x－3y－4z＝0
x＋y－z＝11
y＋z－x＝5
z＋x－y＝1
x＋y＝－1
x＋z＝0
y＋z＝1
x＝－1
y＝1
z＝0
x＝1
y＝0
z＝－1
x＝0
y＝1
z＝－1
x＝－1
y＝0
z＝1
4x＋3y＝1
ax＋（a－1）y＝3
x＋y－z＝6
x－3y＋2z＝1
3x＋2y－z＝4
x＋y＝3
y＋z＝5
x＋z＝6