4.1.1 n次方根与分数指数幂 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)
2.能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)
3.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)
良渚古城遗址地处浙西山地丘陵与杭嘉湖平原杭接壤地带,地势西高东低,南面和北面都是天目山脉的支脉,东苕溪和良渚港分别由城的南北两侧向东流过,凤山和雉山两个自然的小山,分别被利用到城墙的西南角和东北角.
新课引入
杭州良渚古城外围水利系统,是迄今所知中国最早的大型水利工程,也是世界最早的水坝系统 (并不是最早的水坝),距今已经有4700至5100年.
2019年7月6日下午,在阿塞拜疆首都巴库举行的联合国教科文组织第43届世界遗产委员会会议上,随着大会主席阿布法斯·加拉耶夫落槌，位于浙江杭州的“良渚古城遗址”成功列入《世界遗产名录》,中华文明五千多年历史得到实证,遗产地的价值以及真实性、完整性得到了世界范围的认可.
你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗
在学习幂函数时，我们把正方形场地边长c关于面积S的函数 ,像 这样分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、
立方根的意义入手展开研究.
为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展
到全体实数.初中我们已经学过整数指数幂.
温故知新
思考1：4的平方根是多少？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？
思考2：-27的立方根是多少？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？
±2；
非负数才有平方根；
2个
-3；
任何实数都有立方根；
1个
温故知新
思考3：一般地，实常数a的平方根、立方根是什么概念？
平方根：如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
立方根：如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
平方根：如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
立方根：如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
思考5：如果 ， ， ，
类比上面的说法，你有什么结论？
思考6：推广到一般情形，a的n次方根
是一个什么概念？试给出其定义。
探究新知
探究新知
n次方根：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中,n＞1,且n∈N*
a
a的平方根
4
9
0
-4
-9
a
a的立方根
27
8
0
-8
-27
a
a的五次方根
32
1
0
-1
-32
±2
±3
0
3
2
0
-2
-3
2
1
0
-1
-2
a
a的四次方根
81
16
0
-16
-81
±3
±2
0
探究新知
a=
x
n
a
a的立方根
27
8
0
-8
-27
3
2
0
-2
-3
a
a的五次方根
32
1
0
-1
-32
2
1
0
-1
-2
n为奇数时:
a只有一个n次方根
a是正数时，a的奇数次方根是正数
a是负数时，a的奇数次方根是负数
探究新知
n为偶数时:
a是正数时,有两个互为相反数
的偶数次方根
负的偶数次方根记为：
正的偶数次方根记为：
a
a的平方根
4
9
0
-4
-9
±2
±3
0
a
a的四次方根
81
16
0
-16
-81
±3
±2
0
a是负数时,没有偶数次方根
探究新知
a
a的平方根
4
9
0
-4
-9
a
a的立方根
27
8
0
-8
-27
a
a的五次方根
32
1
0
-1
-32
±2
±3
0
3
2
0
-2
-3
2
1
0
-1
-2
a
a的四次方根
81
16
0
-16
-81
±3
±2
0
0的任何次方根都是0，即=0
(当n是奇数)
(当n是偶数,且a＞0)
(1)
（2）0的任何次方根是
（3）负数没有偶次方根.
0
归纳总结：
根指数
根式
被开方数
式子 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数
学习新知
结论： .
1.根据方根的意义确定下面式子的值：
练一练
(1)= ;
(2)= ;
(3)= .
a
探究新知
结论：
学习新知
探究 根据n次方根的定义和运算，我们知道
___________________(a>0)
___________________(a>0)
也就是说，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式.
思考 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？
事实上，任何一个根式都可以表示为分数指数幂的形式
例如：
, .
一般地
规定正数的正分数指数幂的意义是：
所以，在条件的下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿.
规定正数的负分数指数幂的意义是：
例如，
规定0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.
把下列的分数指数式化为根式，把根式化成分数指数式.
练一练
（1）= ； （2）= ；
（3）= ； （4）= .
答案：（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
练习：课本第107页练习1
整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用，有如下运算性质：
例2 求值：（1） ；（2） .
解：
（1）法一；
（2）法一.
法二；
法二.
法三.
练一练
(1)= ; (2)
(3) (4)
求值：
答案：（1）8 ； （2） ；
（3） ； （4） 2 .
解：
例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式( 其中a>0).
； .
(1) ；
(2) .
例4 计算下式各式(式中字母均是正数).
教材P107页练习1,2,3
解：
解：
解：
请同学们谈谈本节课的收获与体会.
本节课你学到了什么？
发现了什么？
有什么收获？
还存在什么没有解决的问题？
课堂小结