2007年全国各地中考试题压轴题精选讲座三
直角坐标下的几何与函数问题
例1、 (吉林省长春市) 26．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于两点，以为边作矩形，为的中点．以，为斜边端点作等腰直角三角形，点在第一象限，设矩形与重叠部分的面积为．
（1）求点的坐标．
（2）当值由小到大变化时，求与的函数关系式．
（3）若在直线上存在点，使等于，请直接写出的取值范围．
（4）在值的变化过程中，若为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的值．
例2.(沈阳市) 26．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；.
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
例3.(金华市) 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点在正半轴上，且．动点在线段上从点向点以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒．在轴上取两点作等边．
（1）求直线的解析式；
（2）求等边的边长（用的代数式表示），并求出当等边的顶点运动到与原点重合时的值；
（3）如果取的中点，以为边在内部作如图2所示的矩形，点在线段上．设等边和矩形重叠部分的面积为，请求出当秒时与的函数关系式，并求出的最大值．
例4.(山东省泰州市) 29．如图①，中，，．它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．
（1）求的度数．
（2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点的运动速度．
（3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．
（4）如果点保持（2）中的速度不变，那么点沿边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小，当点沿这两边运动时，使的点有几个？请说明理由．
习题三
1.（乐山市）28.如图（16），抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为；直线与抛物线交于点，与轴交于点，且．
（1）用表示点的坐标；
（2）求实数的取值范围；
（3）请问的面积是否有最大值？
若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．
2、.(湖南省怀化市)28. 两个直角边为6的全等的等腰直角三角形和按图1所示的位置放置与重合，与重合．
（1）求图1中，三点的坐标．
（2）固定不动，沿轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当点运动到与点重合时停止，设运动秒后和重叠部分面积为，求与之间的函数关系式．
（3）当以（2）中的速度和方向运动，运动时间秒时运动到如图2所示的位置，求经过三点的抛物线的解析式．
（4）现有一半径为2，圆心在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问⊙P在运动过程中是否存在⊙P与轴或轴相切的情况，若存在请求出的坐标，若不存在请说明理由．
3.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
4.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐
标系中，有一张矩形纸片OABC，已知
O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是
OA边上的动点(与点O、A不重合)．
现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；
再在OC边上选取适当的点E，将△P
OE沿PE翻折，得到△PFE，并使直
线PD、PF重合．
(1) 设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x
的函数关系式，并求y的最大值；
(2) 如图2，若翻折后点D落在BC
边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
（图1）
（图2）
（第29题图①）
A
C
B
Q
D
O
P
x
y
30
10
O
5
t
S
（第29题图②）
图1
图2
图1
图2
A
O
F
B
x
y
C
E
图（16）
B(0,4)
A(6,0)
E
F
O
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直角坐标下的几何与函数问题的参考答案
例1. 解: （1）作于，则．
，．
（2）当时，如图①，．
当时，如图②，
设交于．
．
．
即．
或．
当时，如图③，
设交于．
．
，
或．
当时，如图④，
．
（此问不画图不扣分）
（3）．
（提示：以为直径作圆，当直线
与此圆相切时，．）
（4）的值为，，．
（提示：当时，．当时，（舍），．当时，．）
例2. 解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）
（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得
解得
∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8
（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC
∴＝ 即＝
∴EF＝
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝
∴＝ ∴FG＝·＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m
自变量m的取值范围是0＜m＜8
（4）存在．
理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8 且－＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8
∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形．
例3. 解：（1）直线的解析式为：．
（2）方法一，，，，
，，
是等边三角形，，
HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，．
方法二，如图1，过分别作轴于，轴于，
可求得，
，
，
当点与点重合时，
，
．
，
．
（3）①当时，见图2．
设交于点，
重叠部分为直角梯形，
作于．
，，
，
，
，
，
，
，
．
随的增大而增大，
当时，．
②当时，见图3．
设交于点，
交于点，交于点，
重叠部分为五边形．
方法一，作于，，
，
，
方法二，由题意可得， HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，，，
再计算
，
．
，当时，有最大值，．
③当时，，即与重合，
设交于点，交于点，重叠部
分为等腰梯形，见图4．
HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，
综上所述：当时，；
当时， HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ；
当时，．
HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，
的最大值是．
例4. 解：（1）直线的解析式为：．
（2）方法一，，，，
，，
是等边三角形，，
HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，．
方法二，如图1，过分别作轴于，轴于，
可求得，
，
，
当点与点重合时，
，
．
，
．
（3）①当时，见图2．
设交于点，
重叠部分为直角梯形，
作于．
，，
，
，
，
，
，
，
．
随的增大而增大，
当时，．
②当时，见图3．
设交于点，
交于点，交于点，
重叠部分为五边形．
方法一，作于，，
，
，
方法二，由题意可得， HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，，，
再计算
，
．
，当时，有最大值，．
③当时，，即与重合，
设交于点，交于点，重叠部
分为等腰梯形，见图4．
HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，
综上所述：当时，；
当时， HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ；
当时，．
HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，
的最大值是．
习题三
1. 解：（1）抛物线过，
点在抛物线上，
，
点的坐标为．
（2）由（1）得，
，，．
（3）的面积有最大值，
的对称轴为，，点的坐标为，
由（1）得，
而
， 的对称轴是，
当时，取最大值，
其最大值为 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
2. 解：（1），，
（2）当时，位置如图Ａ所示，
作，垂足为，可知：，，
，，
当时，位置如图Ｂ所示．
可知：
（求梯形的面积及的面积时只要所用方法适当，所得结论正确均可给分）
与的函数关系式为： HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
（3）图2中，作，垂足为，当时，，
，
可知：，，
经过三点的抛物线的解析式为：
（4）当在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况，设点坐标为
当与轴相切时，有，，由得：，
由，得，
当与轴相切时，有
，得：，
综上所述，符合条件的圆心有三个，其坐标分别是：
，，
3. 解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为．
把A、B两点坐标代入上式，得
解之，得
故抛物线解析式为，顶点为
（2）∵点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
，
∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．
∵OA是的对角线，
∴．
因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的
取值范围是1＜＜6．
1 根据题意，当S = 24时，即．
化简，得 解之，得
故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．
点E1（3，－4）满足OE = AE，所以是菱形；
点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以不是菱形．
2 当OA⊥EF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的
坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，
使为正方形．
4. 解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．
∴．即．∴y=(0＜x＜4)．
且当x=2时，y有最大值．
(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．
设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ∴
y=．
(3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．
直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．
将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，
∴该直线为y=x＋1．
由得∴Q(5，6)．
故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．
图②
图①
图③
图④
图⑤
第26题图(批卷教师用图)
（图1）
（图2）
（图3）
（图4）
（图1）
（图2）
（图3）
（图4）
D
H
B
E
x
O
G
C
y
A
图Ｂ
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