2023-2024学年安徽省淮南市西部地区九年级（上）第一次综合设计数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省淮南市西部地区九年级（上）第一次综合设计数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.将方程化为一般形式后为( )
A. B.
C. D.
3.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
4.一元二次方程的根是( )
A. B.
C. ， D. ，
5.已知等腰三角形的两边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的底边长为( )
A. B. C. D. 或
6.若实数，分别满足方程，，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.如图在同一个坐标系中函数和的图象可能的是( )
A. B.
C. D.
8.抛物线的图象如图所示，对称轴为直线，与轴交于点，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D. 当时，随的增大而减小
9.关于的一元二次方程的解为，，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，和是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，，点落在的中点处，且的中点与、三点共线，现在让在直线上向右作匀速移动，而不动，设两个三角形重合部分的面积为，向右水平移动的距离为，则与的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11.请写出一个开口向下，且经过点的二次函数解析式：______．
12.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
13.若、是方程的两个实数根，则______．
14.二次函数为常数，且中的与的部分对应值如表．
解答下列问题：
方程的根是______ ；
当时，的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
解方程：．
16.本小题分
已知关于的一元二次方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．
17.本小题分
二次函数的图象过点，且当时，，求这个二次函数的解析式，并判断点是否在这个函数的图象上．
18.本小题分
已知函数和的图象交于点和点，并且的图象与轴交于点．
求函数和的解析式；
直接写出为何值时，
；
；
．
19.本小题分
如图，学校打算用的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙如图，面积是求生物园的长和宽．
20.本小题分
一元二次方程．
若方程有两实数根，求的范围．
设方程两实根为，，且，求．
21.本小题分
如图，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点过点作轴，交该图象于点若、．
求该抛物线的对称轴；
求的面积．
22.本小题分
如图，一农户原来种植的花生，每公顷产量为，出油率为即每花生可加工出花生油现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率．
23.本小题分
如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面的处飞出在轴上，运动员乙在距点的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约高球第一次落地后又弹起据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半解答下列问题：注意：取，
求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
求足球第二次飞出到落地时，该抛物线的表达式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：方程是一元二次方程，符合题意；
B.当时，该方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C.是二元二次方程，不符合题意；
D.方是分式方程，不符合题意．
故选：．
利用一元二次方程的定义，即可得到答案．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由原方程，得
，
则．
故选：．
通过去括号、移项、合并同类项将已知方程转化为一般形式．
本题考查了一元二次方程的一般形式．一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．
3.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：．
根据，顶点坐标是可得答案．
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
或，
，．
故选：．
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
5.【答案】
【解析】解：，
，
或，
解得：，，
等腰三角形的两边长分别或；
该等腰三角形的底边长为或；
故选：．
先把方程化为，可得，，再根据等腰三角形的定义可得答案．
本题考查的是一元二次方程的解法，等腰三角形的定义，熟练的解一元二次方程是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由实数，满足条件，，
可把，看成是方程的两个根，
，，
．
故选A．
由实数，满足条件，，可把，看成是方程的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．
本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把，看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．
7.【答案】
【解析】解：当时，函数的图象经过一、三、四象限；函数的开口向上，对称轴在轴上；
当时，函数的图象经过二、三、四象限；函数的开口向下，对称轴在轴上，故C正确．
故选：．
分与两种情况进行讨论即可．
本题考查了一次函数、二次函数的图象和系数的关系，是基础知识要熟练掌握．
8.【答案】
【解析】解：选项A，抛物线开口向上，
．
抛物线的对称轴为，
，即．
故选项A错误；
选项B，抛物线与轴有两个公共点，
一元二次方程有两个不等的实数根．
故选项B错误；
选项C，由题图可知，当时，抛物线有最低点，且在轴下方，
二次函数有最小值，且．
当时，二次函数的值故选项C正确；
选项D，由图可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
当时，随增大而减小是错误的，故选项D错误．
故选：．
根据抛物线的对称轴位置及开口方向可判断的符号，即可判断选项A；根据抛物线与轴交点的个数可判断选项B；当时，利用的值判断选项C；结合对称轴及二次函数的增减性判断选项D．
本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线开口向上下，在对称轴的左侧，随的增大而减小增大；在对称轴的右侧，随的增大而增大减小．
9.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程的解就是函数与的交点的横坐标，
，
抛物线开口向下，
，
在轴下方，
，
如图所示：
，
故选：．
先把关于的一元二次方程的解转化为直线和抛物线的交点，再结合图形进行判断即可．
本题考查抛物线与轴的交点，以及直线与抛物线的交点问题，解题关键是把一元二次方程的根转化为直线和抛物线的交点．
10.【答案】
【解析】解：本题的运动过程应分两部分，从开始到两三角形重合，另一部分是从重合到分离；
在第一部分，三角形在直线上向右作匀速运动，则重合部分面积的增加速度不断变快；而另一部分面积的减小速度越来越小．
故选：．
注意分析随的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
本题考查了动点问题的函数图象．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
11.【答案】答案不唯一
【解析】解：开口向下且过点的抛物线解析式，
可以设顶点坐标为，
故解析式为：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
根据二次函数的性质，二次项系数小于时，函数图象的开口向下，再利用过点得出即可．
此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的各种形式，利用特殊点代入求得答案即可．
12.【答案】且
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
的一元二次方程
，
的取值范围是：且．
故答案为：且．
由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式且，则可求得的取值范围．
此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
13.【答案】
【解析】【解答】
解：为方程的实数根，
，
，
，
、是方程的两个实数根，
，
．
故答案为：．
【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，，也考查了一元二次方程根的定义．
先根据一元二次方程根的定义得到，则，于是可化简为，然后再根据根与系数的关系得，再利用整体代入的方法计算即可．
14.【答案】，
【解析】解：由，得，
可知二次函数与一次函数的交点为和，
所以方程的根是，；
根据表格可知抛物线的对称轴是，当时，函数值随着的增大而增大，
抛物线开口向下．
，
解得，
可知当和时，．
当时，．
故答案为：，；．
将方程整理，可知方程的根是二次函数和一次函数图象的交点横坐标；
结合表格分析抛物线的特点，求出时的值，进而得出答案．
本题主要考查了二次函数图象的性质，从表格中获取信息是解题的关键．
15.【答案】解：，
，
，，
．
【解析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
16.【答案】解：设方程的另一根为．
关于的一元二次方程的一个根是，
满足关于的一元二次方程，
，即，
，
解得，或；
又由韦达定理知，
解得，即方程的另一根是．
【解析】根据一元二次方程的解的定义，将代入关于的一元二次方程，求得的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根．
本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
17.【答案】解：把，点代入得，解得，
所以二次函数的解析式为；
当时，，
所以点不在这个函数的图象上．
【解析】先把，点代入得到关于、的方程组，解方程组确定二次函数的解析式为；然后把代入进行检验，可确定点是否在这个函数的图象上．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：设二次函数的解析式为，然后把二次函数图象上的点的坐标代入得到关于、、的方程组，解方程组求出、、的值，从而确定二次函数的解析式．
18.【答案】解：把点、点、点代入得，
，
解得，
；
把点和点代入得，
解得，
．
如图，在同一坐标系中画出和的图象，
由图象可得当时，；当或时，；当或时，．
【解析】利用待定系数法求出函数解析式即可；
在同一坐标系中画出和的图象，根据图象即可得到答案．
此题考查二次函数和一次函数交点问题，还考查了待定系数法、图象法解不等式等知识，熟练掌握待定系数法和数形结合是解题的关键．
19.【答案】解：设宽为 ，则长为
由题意，得 ，
解得 ，
当时，，
当时，
答：围成矩形的长为 、宽为 ，或长为 、宽为．
【解析】可设宽为 ，则长为，根据等量关系：面积是列出方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20.【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
且，即，
解得且，
的取值范围为．
方程两实根为，，
，，
，
，
，
，
解得：；
经检验是原方程的解．
【解析】根据关于的一元二次方程有两个实数根，得出且，求出的取值范围即可；
根据方程两实根为，，求出和的值，再根据，得出，再把和的值代入计算即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
21.【答案】解：轴，
，两点关于抛物线对称轴对称，
，
此抛物线的对称轴为直线：，即
连接，
，关于对称轴对称，，
抛物线的对称轴为直线：，
，
，
的面积．
【解析】先求解的坐标，再结合的坐标求解对称轴方程即可；
利用抛物线的对称性求解，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
本题考查的是抛物线的性质，由对称的两点求解抛物线的对称轴，再根据对称轴求解抛物线上点的坐标，理解对称轴的含义是解本题的关键．
22.【答案】解：设新品种花生产量的增长率为，则新品种花生出油率的增长率为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：新品种花生产量的增长率为．
【解析】设新品种花生产量的增长率为，则新品种花生出油率的增长率为，根据种植新品种花生后每公顷收获的花生可加工出花生油，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：由题意知，，，顶点坐标，
设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为，
将代入得，，
解得，
，
足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为；
当时，，
解得：，不合题意，舍去，
，
由题意，设第二次落地的抛物线的顶点坐标为，设第二次落地的抛物线为，
当时，，
解得，不合题意，舍去，
，
足球第二次飞出到落地时，抛物线的表达式为．
【解析】由题意知，，，顶点坐标，设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为，，进而可得抛物线的表达式；
当时，，设第二次落地的抛物线为，当时，，计算求出满足要求的值，进而可得抛物线的表达式．
本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
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