集合简易逻辑、函数高考题分类汇编（2006、2007年度）

第一章 集合与简易逻辑
1．（2006年福建卷）已知全集且则等于(C)
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
2．（2006年安徽卷）设集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
解：，，所以，故选B。
3．（2006年陕西卷 ( http: / / / exam / 2006-06-07 / 192541160.html" \t "_blank )）已知集合集合则等于（B）
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
4．( 2006年重庆卷)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(uA)∪(uB)= ( D)
(A){1,6} (B){4,5}
(C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7}
5. （2006年上海春卷）若集合，则A∩B等于( B )
（A）. （B）. （C）. （D）.
6．（2006年全国卷II）已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝ ( D )
（A） （B）｛x|0＜x＜3｝
（C）｛x|1＜x＜3｝ （D）｛x|2＜x＜3｝
7．（2006年四川卷）已知集合，集合，则集合 （C）
（A） （B）
（C） （D）
8．（2006年天津卷）设集合，，那么“”是“”的（ B ）
A．充分而不必要条件 　 　　　B．必要而不充分条件
C．充分必要条件　 　　 　D．既不充分也不必要条件
9. （2006年湖北卷）有限集合中元素个数记作card，设、都为有限集合，给出下列命题：
①的充要条件是card= card+ card；
②的必要条件是cardcard；
③的充分条件是cardcard；
④的充要条件是cardcard.
其中真命题的序号是 （B ）
A. ③、④ B. ①、② C. ①、④ D. ②、③
10．解选B。选由card= card+ card+ card知card= card+ cardcard=0。由的定义知cardcard。
11．（2006年全国卷I）设集合，，则
A． B．
C． D．
12．集合M写成区间形式为（0，1），集合N写成区间形式为（2，2），M是N的真子集。故B成立。虽然是第一个小题儿，但是出成这个样子也是让人诧异的。
13．（2006年江苏卷）若A、B、C为三个集合，，则一定有
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
解：由知，，故选（A）
点评：本题主要考查集合间关系的运算
14．（2006年江西卷）已知集合M＝｛x|｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，xR｝，则MN＝（ C ）
A． B. {x|x1} C.｛x|x1｝ D. {x| x1或x0}
解：M＝｛x|x1或x0｝，N＝｛y|y1｝故选C
15．（2006年辽宁卷）设集合,则满足的集合B的个数是（ ）
(A)1 (B)3 (C)4 (D)8
【解析】，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个。故选择答案C。
【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想。
16．（2006年上海卷）已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝ 1 ．
17．（2006年上海卷）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这
四个点在同一平面上”的 [答]（ A ）
（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件．
(1)（ 2006年浙江卷）设集合≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B= (A )
(A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］
18．(2006年山东卷）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为 （D）
（A）0 （B）6 （C）12 （D）18
19．(2006年山东卷）下列四个命题中，真命题的序号有 ③④ （写出所有真命题的序号）.
①将函数y=的图象按向量v=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=
②圆x2+y2+4x+2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2
③若sin(+)= ,sin(－)=,则tancot=5
④如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.
（16题图）
第二章函数
1．（2006年福建卷）函数的反函数是 （A）
（A）　　　　（B）
（C）　　　　（D）
2．（2006年安徽卷）函数 的反函数是（ ）
A． B． C． D．
2．解：有关分段函数的反函数的求法，选C。
3．（2006年安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若则__________。
3．解：由得，所以，则。
4．（2006年广东卷）函数的定义域是
A. B. C. D.
4．解：由，故选B.
5．（2006年广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. B. C. D.
5、B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.
7．（2006年广东卷）函数的反函数的图象与y轴交于点(如图2所示)，则方程的根是
A. 4 B. 3 C. 2 D.1
7．的根是2，故选C
7．（2006年陕西卷 ( http: / / / exam / 2006-06-07 / 192541160.html" \t "_blank )）设函数的图像过点，其反函数的图像过点，则等于（ C ）
（A）3　　　　（B）4　　　　（C）5　　　　（D）6
8．（2006年陕西卷 ( http: / / / exam / 2006-06-07 / 192541160.html" \t "_blank )）已知函数若则 （A）
（A）　　　　　　　（B）
（C）　　　　　　　　（D）与的大小不能确定
9．（2006年陕西卷 ( http: / / / exam / 2006-06-07 / 192541160.html" \t "_blank )）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（C）
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
10．( 2006年重庆卷)如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB
所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是 ( D ) 　　　
题　（９）图
　　　　　
11. （2006年上海春卷）方程的解 2 .
12. （2006年上海卷）函数的反函数 .
13. （2006年上海春卷）已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当时， .
14．（2006年全国卷II）函数y＝lnx－1(x＞0)的反函数为 (B )
（A）y＝ex＋1(x∈R) （B）y＝ex－1(x∈R)
（C）y＝ex＋1(x＞1) (D)y＝ex－1(x＞1)
15．（2006年全国卷II）函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点
对称，则f(x)的表达式为 (D )
(A)f(x)＝(x＞0) (B)f(x)＝log2(－x)(x＜0)
(C)f(x)＝－log2x(x＞0) (D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
16．（2006年天津卷）已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（　D　）
A． 　 B． 　　 　C． D．
17. （2006年湖北卷）设，则的定义域为 （B）
A. B.
C. D.
17．解选B。由得，的定义域为。故，解得。故的定义域为。
18. （2006年湖北卷）关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是 （B）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
18．解选B。本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令①，则方程化为②，作出函数的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0故当t=0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个；当时，方程②有两个相等正根t＝，相应的原方程的解有4个；故选B。
19．（2006年全国卷I）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则
A． B．
C． D．
2．的反函数是，所以。选D。
（1）（2006年江苏卷）已知，函数为奇函数，则a＝
（A）0　　　　（B）1　　　　（C）－1　　　　（D）±1
解：法一：由函数是定义域为R的奇函数，则， 即，则a＝0，选A
法二：得：，则a＝0，选A
点评：主要考查奇函数的定义和性质
20．（2006年江西卷）某地一年的气温Q（t）（单位： c）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10 c，令G（t）表示时间段〔0,t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ A ）
解：结合平均数的定义用排除法求解
21．（2006年江西卷）设f（x）＝log3（x＋6）的反函数为f－1（x），若〔f－1（m）＋6〕〔f－1（n）＋6〕＝27，则f（m＋n）＝___________________
解：f－1（x）＝3x－6故〔f－1（m）＋6〕〔f－1（x）＋6〕＝3m3n＝3m ＋n＝27
m＋n＝3f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2
22．（2006年辽宁卷）设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A)是奇函数 (B)是奇函数
(C) 是偶函数 (D) 是偶函数
【解析】A中则，
即函数为偶函数，B中，此时与的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定，
C中，，即函数为奇函数，D中，
，即函数为偶函数，故选择答案D。
【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算。
23． （2006年辽宁卷）设是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意有,则称A对运算封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是
(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集
【解析】A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中12＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C。
【点评】本题考查了阅读和理解能力，同时考查了做选择题的一般技巧排除法。
24．（2006年辽宁卷）设则__________
【解析】.
【点评】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.
25．（2006年北京卷）已知是上的减函数，那么的取值范围是 (C)
（A） （B）
（C） （D）
26．（2006年上海卷）若函数＝（＞0，且≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则＝ 1/2 ．
27．（ 2006年浙江卷）已知0＜a＜1，logm＜logn＜0，则 (A )
(A)1＜n＜m (B) 1＜m＜n
(C)m＜n＜1 (D) n＜m＜1
28.( 2006年湖南卷）函数的定义域是( D )
A.(3,+∞) B.[3, +∞) C.(4, +∞) D.[4, +∞)
29. ( 2006年湖南卷）“a=1”是“函数在区间[1, +∞)上为增函数”的( A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
30．(2006年山东卷）函数y=1+ax(0（A） （B） （C） （D）
31． (2006年山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 (B)
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
32．(2006年山东卷）设p：x－x－20>0,q：<0,则p是q的 (A)
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
33．（2006年江苏卷）设a为实数，记函数的最大值为g(a)。
　　　（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)
（Ⅱ）求g(a)
（Ⅲ）试求满足的所有实数a
解：（I）∵，
∴要使有意义，必须且，即
∵，且……① ∴的取值范围是。
由①得：，∴，。
（II）由题意知即为函数，的最大值，
∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，故；
（2）当时，，，有=2；
（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若即时，，
若即时，，
若即时，。
综上所述，有=。
（III）当时，；
当时，，，∴，
，故当时，；
当时，，由知：，故；
当时，，故或，从而有或，
要使，必须有，，即，
此时，。
综上所述，满足的所有实数a为：或。
点评：本题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力
34. （2006年上海春卷）设函数.
（1）在区间上画出函数的图像；
（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；
（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.
34. [解]（1）
……4分
（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此
. ……8分
由于. ……10分
（3）[解法一] 当时，.
， ……12分
. 又，
① 当，即时，取，
.
，
则. ……14分
② 当，即时，取， ＝.
由 ①、②可知，当时，，.
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. ……16分
[解法二] 当时，.
由 得，
令 ，解得 或， ……12分
在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点. ……14分
如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. ……16分
(21) ( 2006年重庆卷)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.
（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0 )= x0,求函数f(x)的解析表达式.
解：（Ⅰ）因为对任意xεR，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以
f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.
又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.
若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.
（Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.
所以对任意xεR，有f(x)- x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,
又因为f(x0)- x0，所以x0- x=0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即
f(x)= x2 –x.
但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.
若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为
f(x)= x2 –x+1（xR）.
2007年高考数学试题分类汇编（集合与简易逻辑、函数）
(07广东)已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ）
A. B. C. D. C.
（07广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（ ）
A. B. C. D. B.
(07广东) 已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.
解：若 , ,显然在上没有零点, 所以 .
令 , 解得
①当 时, 恰有一个零点在上;
②当，即时，在
上也恰有一个零点.
③当在上有两个零点时, 则
或
解得或
综上所求实数的取值范围是 或 .
（07全国Ⅰ）设，集合，则（ ）
A．1 B． C．2 D． C.
（07全国Ⅰ）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ）
A． B．2 C． D．4 A
（07全国Ⅰ）设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
B
（07全国Ⅰ）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则__________。
（07江西）若集合M＝{0，l，2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y ∈M}，则N中元素的个数为
A．9 B．6 C．4 D．2 C.
（07江西）设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为
A．－ B．0 C． D．5 B.
（07江西）设p：f(x)＝ex＋In x＋2x2＋mx＋l在(0，＋∞)内单调递增，q：m≥－5，则p是q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 B.
（07江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）
A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3 C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h1
A.
（07湖北）设P和Q是两个集合，定义集合=，如果，那么等于
A．{x|0B.
（07湖北）已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；⑤是的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（）
A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤ B
（07湖北）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 .
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.
（07安徽）若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是
A. a＜-1 B. ≤1 C.＜1 D.a≥1
B.
（07安徽）若，
则的元素个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
C.
（07安徽）定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为
A.0 B.1 C.3 D.5
D.
（07安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为
(A) (0≤x≤2)
(B) (0≤x≤2)
(C) (0≤x≤2)
(D) (0≤x≤2)
B.
（07安徽）设a＞1,且,则的大小关系为
(A) n＞m＞p (B) m＞p＞n (C) m＞n＞p (D) p＞m＞n
B.
（07北京）对于函数①，②，
③.判断如下三个命题的真假：
命题甲：是偶函数；命题乙：上是减函数，在区间上是增函数；命题丙：在上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）
A.①③ B.①② C. ③ D. ② D
（07北京）已知集合，，若，则实数的取值范围是 .
（07北京）已知函数分别由下表给出：
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则的值 ；满足的的值 . 1，2
（07北京）已知集合其中，由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序实数对，集合的元素个数分别为.若对于任意的，则称集合具有性质.
（Ⅰ）检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合写出相应的集合；
（Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明：；
（Ⅲ）判断的大小关系，并证明你的结论.
（Ⅰ）解：集合不具有性质，具有性质，其相应的集合是
；
（Ⅱ）证明：首先由中的元素构成的有序实数对共有个，因为,
又因为当，
所以当，于是集合中的元素的个数最多为，即.
（Ⅲ）解：，证明如下：
①对于，根据定义
如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是与中至少有一个不成立，故与也是中的不同元素.可见中的元素个数不多于中的元素个数，即；
②对于，根据定义
如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是与中至少有一个不成立，故与也是中的不同元素.可见中的元素个数不多于中的元素个数，即.
由①②可知.
（07宁夏）设函数为奇函数，则实数 。 －1
（07宁夏）已知命题：，则（ ）
A. B.
C. D.
C.
(07浙江)设，是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）
A. B.
C. D.
C.
（07天津）在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ）
A.在区间上是增函数，区间上是增函数
B.在区间上是增函数，区间上是减函数
C.在区间上是减函数，区间上是增函数
D.在区间上是减函数，区间上是减函数
B.
(07天津)设均为正数，且，，.则（ ）
A. B. C. D. A.
(07湖南)函数的图象和函数的图象的交点个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1 B.
(07湖南)设集合，都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的、（）都有， （表示两个数中的较小者），则的最大值是（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13 B.
(07福建)已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
C.
(07重庆)命题：“若，则”的逆否命题是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
D.
(07重庆)已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
D
(07重庆)若函数的定义域为R，则实数的取值范围 。
（07山东）已知集合，，则（ ）
A. B. C. D. B.
(07山东)设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为（ ）
A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 A.
(07山东)命题“对任意的”的否定是（ ）
A.不存在 B.存在
C.存在 D. 对任意的
C.
(07山东)下列各小题中，是的充分必要条件的是
①有两个不同的零点
②是偶函数
③
④
A.①② B.②③ C.③④ D. ①④ D.
(07山东)函数的图象恒过定点A,若点A在直线上，其中，则的最小值为 . 8
(07上海)已知函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。
解：（1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.
（2）设，
，
由得，
要使在区间是增函数只需，
即恒成立，则。
另解（导数法）：，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，
故当时，在区间是增函数。
D
A
B
图（1）
O
O
12
6
12
O
6
6
12
t
t
t
10 c
G(t)
G(t)
10 c
G(t)
10 c
10 c
G(t)
O
6
12
t
C
G(t)
10 c
6
12
t
O