云南省云南师大实验中学昆明湖校区2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·昆明开学考） 下列根式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·昆明开学考）勾股定理为勾，为股，为弦，若“勾”为，“股”为，则“弦”是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·益阳）如图，的对角线交于点，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·长沙期末）一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
5．（2023九上·昆明开学考） 为了让学生了解国内外时事，培养读书看报、关心国家时事的好习惯，增强社会责任感，河南某校决定选择一批学生作为新闻播报员，现有一学生要进行选拔考核，按照：：的比例确定最终成绩，学生甲各项成绩百分制如下表，则学生甲最终的综合成绩为（ ）
笔试 面试 实际操作
A．分 B．分 C．分 D．分
6．（2023九上·昆明开学考） 在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少年上学期每天书面作业平均时长为，经过年下学期和年上学期两次调整后，年上学期平均每天书面作业时长为设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·昆明开学考） 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·云南）如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
9．（2023·北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．9
10．（2023九上·昆明开学考） 按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·杭州）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023九上·昆明开学考） 已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：
；
；
为任意实数；
；
其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）
13．（2019七上·哈尔滨月考）若 有意义，则x的取值范围是 ．
14．（2023九上·昆明开学考） 已知点、在二次函数的图象上，那么 填“”、“”、“”．
15．（2023九上·昆明开学考） 校生物小组有一块长，宽的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为，小道的宽应是 米．
16．（2023九上·昆明开学考） 在数学活动课上，小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个如图的正方形，而后将正方形的边固定，平推成图的图形，并测得，若图中的边长，则变形后图中图形的面积是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023八下·温州期中）解下列一元二次方程．
（1）
（2）
18．（2023九上·昆明开学考）某校组织学生参加安全知识竞赛，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取名学生，统计的成绩如下：
七年级：，，，，，，，，，．
八年级：，，，，，，，，，．
数据分析表 平均数 中位数 众数
七年级 分 分 分
八年级 分 分 分
根据以上信息回答下列问题：
（1） ， ．
（2）通过已有数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由．
19．（2023九上·昆明开学考） 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
（1）直接写出点的坐标；
（2）在对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标．
20．（2023九上·昆明开学考） 云南柚子是芸香科柑橘属的常绿乔木，柚子含有极为丰富的维生素，胡罗卜素，钙、钾、铁等微量元素，可以预防血栓、糖尿病，投入市场销售时，经调查，该柚子每天销售量千克与销售单价元千克之间符合一次函数关系，如图所示．
（1）求与的函数关系式；
（2）某农户今年共采摘该柚子千克，其保质期为天，若以元千克销售，问能否在保质期内销售完这批柚子？请说明理由．
21．（2023九上·昆明开学考） 阅读材料：
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，；
则，；
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为，；
，；
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ；
（2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．
22．（2023九上·昆明开学考） 昆明湖中学提醒学生，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为元个，经测算，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上每上涨元个，则月销售量将减少个，设售价在元个的基础上涨价元．
（1）用含有的代数式表示月销售量；
（2）为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
23．（2023九上·昆明开学考） 如图，平行四边形中，AE、CF分别是、的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积等于，求平行线与间的距离．
24．（2023九上·昆明开学考） 已知抛物线．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）点在该抛物线上且为整数，若的值为整数，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】
A： 被开方数是-3，无意义，不是二次根式，A不符合；
B：被开方数是2，有意义，是二次根式，B符合；
C：被开方数是a，当a为负数时无意义，不一定是二次根式，C不符合；
D：的根指数是3，不是二次根式，D不符合。
故答案为：B
【分析】
考查根指数和被开方数，根据定义进行判断即可。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】
根据勾股定理计算即可。
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的性质结合题意即可求解。
4．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得一次函数的图象经过第一、三、四象限，
故答案为：D
【分析】根据一次函数的性质结合题意即可求解。
5．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】
根据加权平均数的计算公式进行计算即可。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】
根据题意可得：
即
故答案为：C
【分析】
第一次调整后的时间为，第二次调整后的时间为，根据题意列出方程即可。
7．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】
A：，A错误；
B： ，B错误；
C：，C错误；
D： ，D正确。
故答案为：D
【分析】
根据根式的运算法则进行计算即可。特别要注意的运用。
8．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为M、N分别为AC、BC的中点，所以MN是△ABC的中位线，∴AB=2MN=6（米）。
故答案为：B。
【分析】根据三角形中位线定理，由中位线的长度直接得出第三边的长度即可。
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴m=，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
10．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】
每个各单项式都可以看作是由一个二次根式与一个a的乘方相乘，
二次根式的被开方数依次为1，2，3……， a的乘方中，a的次数依次为1，2，3……
所以第n个单项式为：
故答案为：C
【分析】
考查各式的组成，每个各单项式都可以看作是由一个二次根式与一个a的乘方相乘，依被开方数和次数的规律写出结果。
11．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质得OA=OB，∠ABC=90°，然后根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB是等边三角形，则∠BAO=60°，进而根据∠BAO的正切函数定义及特殊锐角三角函数值可求出的值，从而此题得解.
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可知，
，，，
所以．
故错误．
因为抛物线的对称轴是直线，
所以时与时的函数值相等．
又由图象可知，
时，函数值大于．
所以时，函数值也大于．
即．
故正确．
因为抛物线开口向下，且对称轴为直线，
所以当时，函数有最大值．
则当为任意实数时，总有，
即．
故错误．
因为抛物线与轴有两个交点，
所以，
即．
故正确．
故选：．
【分析】
根据二次函数中系数与图像的关系，二次函数图象的对称性，二次函数的最值，结合根的判别式进行分析判断。
13．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】当x-1≥0时， 有意义
解得x≥1
故答案为x≥1
【分析】根据二次根式被开方数为非负数解答即可.
14．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】
∴
故答案为：＞
【分析】
代入x值求出对应的y值，再进行比较。也可以根据函数的变化规律进行比较。
15．【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】
解：设小道宽x米，根据题意得，
(32-x)(20-x)=540
解得，x1=2， x2=50(不合题意舍去)
即小道的宽为2米。
故答案为：2
【分析】
设小道宽x米，可以把种植部分看作是一个矩形，矩形的长为32-x，宽为20-x，列方程即可求出路宽。
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：将正方形的边固定，平推成菱形，则边长长度不改变，
．
过点作于点，如图，
，
，
，
．
．
故答案为：．
【分析】
过A作AE⊥BC于E，根据含有30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出AE，再计算面积。
17．【答案】（1）解：因式分解可得，
，
∴或，
解得：，，
故方程的解为： ，
（2）解：移项得，
，
因式分解可得，
，
∴，，
解得：，；
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）对原方程因式分解可得(x-6)(x+2)=0，据此求解；
（2）首先移项，然后分解因式可得(x-3)(4x-1)=0，据此求解.
18．【答案】（1）90；90
（2）解：八年级学生成绩较好，理由是：
两个年级中位数和众数相同，八年级的平均数比七年级高，故八年级成绩更好．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】
解：（1）按从小到大的顺序排列七年级的10个数据，在第5和第6位置上的都是90，所以中位数是（90+90）÷2＝90，即a=90；
在八年级的10个数据中，出现次数最多的是90，所以众数是90，即b=90。
故答案为：90， 90
【分析】
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）比较两个年级的平均数，中位数，众数，较高的表示成绩更好。
19．【答案】（1）抛物线的对称轴是直线，
，
，
抛物线与轴交于，两点，点的坐标是，
，
联立得，
解得，
二次函数的解析式为，
令得，
解得或，
点的坐标为；
（2）解：点，关于直线对称，
，
，
如图，连接，线段与直线的交点就是所求作的点，
设直线的表达式为，
把和代入得：，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】
（1）根据对称轴和A点坐标求出解析式，再求B点坐标；
（2）A和B关于对称轴对称，PA+PC＝PB+PC，当B、P、C在共线时，PB+PC最小。连接BC交对称轴于P，先求出CB的解析式，再求P的坐标即可。
20．【答案】（1）解：设，将坐标和代入，
得，解得，
．
（2）解：能在保质期内销售完这批柚子．
当时，，
千克．
天内可销售千克．
又，
能在保质期内销售完这批柚子．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）从图像上取两点坐标，用待定系数法求出解析式即可；
（2）先根据（1）中解析式求出售价为14元时的每天销售量，再求出和销售量，与总产量进行比较即可。
21．【答案】（1）；
（2）解：一元二次方程的两根分别为，，
，，
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：
（1）
故答案为： ，
【分析】
（1）根据根与系数的关系进行求解即可。特别要注意符号的变化；
（2）根据根与系数的关系得出m+n和mn的值，再代入代数式中求值。
22．【答案】（1）解：根据题意得：；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽可能让顾客得到实惠，
，
．
答：该品牌头盔的实际售价应定为元个．
【知识点】列式表示数量关系；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设涨价x元，则销售量减少10x个，实际销售量为600-10x，即y=600-10x。
（2）根据总利润＝每件利润×销售量，列出方程求出x，再计算实际售价。要注意取舍方程的根。
23．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
、分别是、的平分线，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的面积等于，
，
，
即，
由知四边形是菱形，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
即，
由勾股定理得，
即平行线与间的距离是．
【知识点】平行线之间的距离；等边三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）先证明四边形AECF是平行四边形，再根据AE=AF可证是菱形；
（2）先根据∠B＝60°可证明△ABE是等边三角形，结合△ABE的面积求出AB的长，进而求出BC的长和AB边上高。
24．【答案】（1）解：，
则抛物线的顶点坐标为：；
（2）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，
则，
则，
或或或时，为整数．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】
（1）把解析式写成顶点式，可得顶点坐标；
（2）把P坐标代入解析式得到n和m的关系式，再代入T式中，求出符合条件的m值即可。
1 / 1云南省云南师大实验中学昆明湖校区2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·昆明开学考） 下列根式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】
A： 被开方数是-3，无意义，不是二次根式，A不符合；
B：被开方数是2，有意义，是二次根式，B符合；
C：被开方数是a，当a为负数时无意义，不一定是二次根式，C不符合；
D：的根指数是3，不是二次根式，D不符合。
故答案为：B
【分析】
考查根指数和被开方数，根据定义进行判断即可。
2．（2023九上·昆明开学考）勾股定理为勾，为股，为弦，若“勾”为，“股”为，则“弦”是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】
根据勾股定理计算即可。
3．（2023·益阳）如图，的对角线交于点，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的性质结合题意即可求解。
4．（2023八下·长沙期末）一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得一次函数的图象经过第一、三、四象限，
故答案为：D
【分析】根据一次函数的性质结合题意即可求解。
5．（2023九上·昆明开学考） 为了让学生了解国内外时事，培养读书看报、关心国家时事的好习惯，增强社会责任感，河南某校决定选择一批学生作为新闻播报员，现有一学生要进行选拔考核，按照：：的比例确定最终成绩，学生甲各项成绩百分制如下表，则学生甲最终的综合成绩为（ ）
笔试 面试 实际操作
A．分 B．分 C．分 D．分
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】
根据加权平均数的计算公式进行计算即可。
6．（2023九上·昆明开学考） 在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少年上学期每天书面作业平均时长为，经过年下学期和年上学期两次调整后，年上学期平均每天书面作业时长为设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】
根据题意可得：
即
故答案为：C
【分析】
第一次调整后的时间为，第二次调整后的时间为，根据题意列出方程即可。
7．（2023九上·昆明开学考） 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】
A：，A错误；
B： ，B错误；
C：，C错误；
D： ，D正确。
故答案为：D
【分析】
根据根式的运算法则进行计算即可。特别要注意的运用。
8．（2023·云南）如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为M、N分别为AC、BC的中点，所以MN是△ABC的中位线，∴AB=2MN=6（米）。
故答案为：B。
【分析】根据三角形中位线定理，由中位线的长度直接得出第三边的长度即可。
9．（2023·北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴m=，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
10．（2023九上·昆明开学考） 按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】
每个各单项式都可以看作是由一个二次根式与一个a的乘方相乘，
二次根式的被开方数依次为1，2，3……， a的乘方中，a的次数依次为1，2，3……
所以第n个单项式为：
故答案为：C
【分析】
考查各式的组成，每个各单项式都可以看作是由一个二次根式与一个a的乘方相乘，依被开方数和次数的规律写出结果。
11．（2023·杭州）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质得OA=OB，∠ABC=90°，然后根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB是等边三角形，则∠BAO=60°，进而根据∠BAO的正切函数定义及特殊锐角三角函数值可求出的值，从而此题得解.
12．（2023九上·昆明开学考） 已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：
；
；
为任意实数；
；
其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可知，
，，，
所以．
故错误．
因为抛物线的对称轴是直线，
所以时与时的函数值相等．
又由图象可知，
时，函数值大于．
所以时，函数值也大于．
即．
故正确．
因为抛物线开口向下，且对称轴为直线，
所以当时，函数有最大值．
则当为任意实数时，总有，
即．
故错误．
因为抛物线与轴有两个交点，
所以，
即．
故正确．
故选：．
【分析】
根据二次函数中系数与图像的关系，二次函数图象的对称性，二次函数的最值，结合根的判别式进行分析判断。
二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）
13．（2019七上·哈尔滨月考）若 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】当x-1≥0时， 有意义
解得x≥1
故答案为x≥1
【分析】根据二次根式被开方数为非负数解答即可.
14．（2023九上·昆明开学考） 已知点、在二次函数的图象上，那么 填“”、“”、“”．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】
∴
故答案为：＞
【分析】
代入x值求出对应的y值，再进行比较。也可以根据函数的变化规律进行比较。
15．（2023九上·昆明开学考） 校生物小组有一块长，宽的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为，小道的宽应是 米．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】
解：设小道宽x米，根据题意得，
(32-x)(20-x)=540
解得，x1=2， x2=50(不合题意舍去)
即小道的宽为2米。
故答案为：2
【分析】
设小道宽x米，可以把种植部分看作是一个矩形，矩形的长为32-x，宽为20-x，列方程即可求出路宽。
16．（2023九上·昆明开学考） 在数学活动课上，小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个如图的正方形，而后将正方形的边固定，平推成图的图形，并测得，若图中的边长，则变形后图中图形的面积是 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：将正方形的边固定，平推成菱形，则边长长度不改变，
．
过点作于点，如图，
，
，
，
．
．
故答案为：．
【分析】
过A作AE⊥BC于E，根据含有30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出AE，再计算面积。
三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023八下·温州期中）解下列一元二次方程．
（1）
（2）
【答案】（1）解：因式分解可得，
，
∴或，
解得：，，
故方程的解为： ，
（2）解：移项得，
，
因式分解可得，
，
∴，，
解得：，；
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）对原方程因式分解可得(x-6)(x+2)=0，据此求解；
（2）首先移项，然后分解因式可得(x-3)(4x-1)=0，据此求解.
18．（2023九上·昆明开学考）某校组织学生参加安全知识竞赛，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取名学生，统计的成绩如下：
七年级：，，，，，，，，，．
八年级：，，，，，，，，，．
数据分析表 平均数 中位数 众数
七年级 分 分 分
八年级 分 分 分
根据以上信息回答下列问题：
（1） ， ．
（2）通过已有数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由．
【答案】（1）90；90
（2）解：八年级学生成绩较好，理由是：
两个年级中位数和众数相同，八年级的平均数比七年级高，故八年级成绩更好．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】
解：（1）按从小到大的顺序排列七年级的10个数据，在第5和第6位置上的都是90，所以中位数是（90+90）÷2＝90，即a=90；
在八年级的10个数据中，出现次数最多的是90，所以众数是90，即b=90。
故答案为：90， 90
【分析】
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）比较两个年级的平均数，中位数，众数，较高的表示成绩更好。
19．（2023九上·昆明开学考） 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
（1）直接写出点的坐标；
（2）在对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标．
【答案】（1）抛物线的对称轴是直线，
，
，
抛物线与轴交于，两点，点的坐标是，
，
联立得，
解得，
二次函数的解析式为，
令得，
解得或，
点的坐标为；
（2）解：点，关于直线对称，
，
，
如图，连接，线段与直线的交点就是所求作的点，
设直线的表达式为，
把和代入得：，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】
（1）根据对称轴和A点坐标求出解析式，再求B点坐标；
（2）A和B关于对称轴对称，PA+PC＝PB+PC，当B、P、C在共线时，PB+PC最小。连接BC交对称轴于P，先求出CB的解析式，再求P的坐标即可。
20．（2023九上·昆明开学考） 云南柚子是芸香科柑橘属的常绿乔木，柚子含有极为丰富的维生素，胡罗卜素，钙、钾、铁等微量元素，可以预防血栓、糖尿病，投入市场销售时，经调查，该柚子每天销售量千克与销售单价元千克之间符合一次函数关系，如图所示．
（1）求与的函数关系式；
（2）某农户今年共采摘该柚子千克，其保质期为天，若以元千克销售，问能否在保质期内销售完这批柚子？请说明理由．
【答案】（1）解：设，将坐标和代入，
得，解得，
．
（2）解：能在保质期内销售完这批柚子．
当时，，
千克．
天内可销售千克．
又，
能在保质期内销售完这批柚子．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）从图像上取两点坐标，用待定系数法求出解析式即可；
（2）先根据（1）中解析式求出售价为14元时的每天销售量，再求出和销售量，与总产量进行比较即可。
21．（2023九上·昆明开学考） 阅读材料：
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，；
则，；
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为，；
，；
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ；
（2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：一元二次方程的两根分别为，，
，，
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：
（1）
故答案为： ，
【分析】
（1）根据根与系数的关系进行求解即可。特别要注意符号的变化；
（2）根据根与系数的关系得出m+n和mn的值，再代入代数式中求值。
22．（2023九上·昆明开学考） 昆明湖中学提醒学生，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为元个，经测算，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上每上涨元个，则月销售量将减少个，设售价在元个的基础上涨价元．
（1）用含有的代数式表示月销售量；
（2）为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
【答案】（1）解：根据题意得：；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽可能让顾客得到实惠，
，
．
答：该品牌头盔的实际售价应定为元个．
【知识点】列式表示数量关系；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设涨价x元，则销售量减少10x个，实际销售量为600-10x，即y=600-10x。
（2）根据总利润＝每件利润×销售量，列出方程求出x，再计算实际售价。要注意取舍方程的根。
23．（2023九上·昆明开学考） 如图，平行四边形中，AE、CF分别是、的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积等于，求平行线与间的距离．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
、分别是、的平分线，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的面积等于，
，
，
即，
由知四边形是菱形，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
即，
由勾股定理得，
即平行线与间的距离是．
【知识点】平行线之间的距离；等边三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）先证明四边形AECF是平行四边形，再根据AE=AF可证是菱形；
（2）先根据∠B＝60°可证明△ABE是等边三角形，结合△ABE的面积求出AB的长，进而求出BC的长和AB边上高。
24．（2023九上·昆明开学考） 已知抛物线．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）点在该抛物线上且为整数，若的值为整数，求的值．
【答案】（1）解：，
则抛物线的顶点坐标为：；
（2）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，
则，
则，
或或或时，为整数．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】
（1）把解析式写成顶点式，可得顶点坐标；
（2）把P坐标代入解析式得到n和m的关系式，再代入T式中，求出符合条件的m值即可。
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