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人教A版（2019）2023-2024学年高二上学期期中模拟卷数学
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】空间中，点关于轴的对称点，纵坐标相同，横坐标与竖坐标相反，
所以点关于轴的对称点的坐标为。
故答案为：A
2．已知 ，则直线 ： 和直线 ： 的位置关系为（ ）
A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．垂直或重合
【答案】D
【解析】因为 ，所以 或 .当 时， ： ， ： ，
， 所以 ，则两直线垂直；当 时， ： ， ： ，则两直线重合.
故答案为：D
3．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直线可化为：，倾斜角θ，θ∈[0， π)，则tanθ=，因为即tanθ≥-1，所以θ∈.所以选B.
4．定点 ，动点Q在圆 上，线段 的垂直平分线交 于点M（O为坐标原点），则动点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．直线 C．双曲线 D．椭圆
【答案】D
【解析】如图所示：
因为 ，所以 ，因此点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为4，焦距为3的椭圆．
故答案为：D．
5．已知空间中三点，，，那么点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由题意得 ， ，
，
点到直线的距离为.
故答案为：A.
6．在平面直角坐标系中，已知点P在直线上，且点P在第四象限，点．以PQ为直径的圆C与直线l的另外一个交点为T，满足，则圆C的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵P在直线上，且，
∴m
∴，
∵，
∴过的方程为，
与方程联立，
解得 ，
∴
∴
故答案为：D.
7．设椭圆C： 的两个焦点分别为F1，F2， ，P是C上一点，若 ，且 ，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，
解得 ，
在△PF1F2中，由正弦定理： ，
解得 ，则 ，
又 ，可知 ， ，
得
解得 ， ， ，所以椭圆C方程
故答案为：D
8．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，，所以，
又，所以．
因为且，所以，
整理可得，
又动点M的轨迹是，
所以，解得，
所以，又，
所以，因为，
所以的最小值为．
故答案为：C．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．已知任意非零向量，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，则三点共线
【答案】B,D
【解析】对于：若，则，
且，故错误；
对于，若对空间中任意一点，
有，，
四点共面，B符合题意；
对于，是空间中的一组基底，
且，共面，
不可以构成空间的一组基底，C不符合题意；
对于，若空间四个点，，
，三点共线，D符合题意.
故答案为：BD
10．已知圆 ，点 是圆M上的动点，则下列说法正确的有（ ）
A．圆M关于直线 对称 B．直线 与M的相交弦长为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】A,C,D
【解析】圆M的标准方程是 ， ，半径为 ，
易得M点在直线 上，A正确；
点M到直线 的距离为 ，弦长为 ，B错；
由 得 代入圆的方程整理得 ，
， ，所以 的最大值是 ，C正确；
， ，所以 的最小值是 ，D正确．
故答案为：ACD.
11．如图，在正四棱柱中，，，点在上，且．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．异面直线与所成角的正切值为
C．平面
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】A,C,D
【解析】以 为坐标原点， 为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
对于A， ， ， ， ，A符合题意；
对于B， ， ，设异面直线 与 所成角为 ，
， ，B不符合题意；
对于C， ， ， ， ，
，又 ， 平面 ， 平面 ，C符合题意；
对于D， ， ，设平面 的法向量 ，
，令 ，则 ， ， ，
又 ， ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
12．已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则（ ）
A．的周长为 B．
C．平分线的斜率为 D．椭圆的离心率为
【答案】A,B,D
【解析】由点F1关于∠F1MF2平分线的对称点N在直线MF2上，又点F1关于∠F1MF2平分线的对称点N也在椭圆E上，得点N为直线MF2与椭圆E的交点，故△F1MN的周长为4a，可得A正确；
设∠F1MF2的平分线交F1N于点D，
设，则，即得，
故，又得
设|NF1| =2n，则|NM|=3n=|MF1|，
得|NF1|+|NM|+|MF1|= 8n=4a，即，可得B正确；
在△F1MF2，由余弦定理可得：|F1F2|2=|MF1|2 +|MF2|2-2|MF1| |MF2 |cos2a
得，即a2=3c2，可得，可得D正确；
不妨设点M在x轴上方，由题意可知，点N在椭圆的下顶点处，则N(0，b)，
由a2=3c2=3（a2-b2），得，，即kMN=，
设直线MD的倾斜角为θ，则
由对称性知 平分线的斜率为 或，可得C不正确.
故选：ABD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．已知圆 过椭圆 ： 的焦点与短轴端点，则椭圆 的标准方程为 .
【答案】
【解析】由题意，圆 过椭圆 ： 的焦点与短轴端点，
可得 ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
故答案为： ．
14．平面内一点 到直线 ： 的距离为： ．由此类比，空间中一点 到平面 ： 的距离为 ．
【答案】
【解析】平面内一点 到直线 ： 的距离为： ．由此类比，空间中一点 到平面 的距离为：
.
所以空间中一点 到平面 ： 的距离为 .
故答案为：
15．已知椭圆 ， 为其左、右焦点， 为椭圆 上除长轴端点外的任一点， 为 内一点，满足 ， 的内心为 ，且有 （其中 为实数），则椭圆 的离心率 =
【答案】
【解析】详解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∴G为 的重心，
∴G点坐标为 ．
∵ ，
∴ 轴，
∴I的纵坐标为 ．
在 中， ，
∴ ．
又I为 的内心，
∴I的纵坐标 即为内切圆半径．
由于I把 分为三个底分别为 的三边，高为内切圆半径 的小三角形，
∴ ，
∴
即 ，
∴ ，
∴椭圆C的离心率 ．
16．已知圆与交于两点.若存在，使得，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径
若两圆相交，则，所以，即，
又两圆相交弦所在直线方程为：即
所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，则弦长，所以，则，所以，
若存在，使得，则，即，所以的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在 中，已知 ，BC边所在直线方程为 .
（1）求BC边上的高AD所在直线的方程；
（2）若AB，AC边的中点分别为E，F，求直线EF的方程.
【答案】（1）解： 方程为 ， ，
设直线AD方程为 ，
点 代入，得 ，
直线AD的方程为 .
（2）解： AB，AC边的中点分别为E，F，
EF为 的中位线，
，且点A到直线EF的距离等于直线EF，BC之间的距离，
设直线EF的方程为 ，
则 ，
即 ，解得 ，
直线EF的方程为 .
18．如图，在四棱锥 中， ， ， .平面 平面 ， 为等边三角形，点 是棱 上的一动点.
(Ⅰ)求证： 平面 ；
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
【答案】解：（Ⅰ）证明：如图所示：
作 中点 ，连接 交于点 ，
则由 知： 且 ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是菱形，
故 ，
在 中， 分别为 的中点，
故 ,
即 ，
又 平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ；
（Ⅱ）如上图所示：以点 为原点，分别以 ， 所在的直线为 轴， 轴，以过点 垂直于底面的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，
由题意知， ， ， ，
过点 作直线 与 垂直，且 .
平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
又 ，
即 ，
点 在线段 的中垂线上，
由对称性可知： ， ， 三点共线，
由 ，得： ，
，
又由 ，得： ，
点 的坐标为 ，
， ，
设平面 的法向量
，
即 ，
令 ，则 ，
设 ，则 ，
则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则
.当 时取等号，
直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
19．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线，，切点为.
（1）若，试求点的坐标；
（2）求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
【答案】（1）解：设，
因为是圆的切线，，
所以，，
所以，解得，，
故所求点的坐标为，或.
（2）证明：设，的中点，
因为是圆的切线，
所以经过，，三点的圆是以为圆心，为半径的圆。
故其方程为，
化简，得，此式是关于的恒等式，
所以，解得或，
所以经过，，三点的圆必过定点和.
20．椭圆：上顶点为，左焦点为，中心为．已知为轴上动点，直线与椭圆交于另一点；而为定点，坐标为，直线与轴交于点．当与重合时，有，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设的横坐标为，且，当面积等于时，求的取值．
【答案】（1）设，由知，即，
由知，即，
则，故椭圆的标准方程为．
（2）直线的方程为，与联立，可得
，且，有，即；
直线的方程为，令，可得；
由知，
即，．
而，解得，或（舍去）．
故的取值为．
21．如图，在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面QAD⊥底面ABCD，M是QD的中点．
（1）求证：AM⊥平面QCD；
（2）在棱BQ上是否存在点N使平面ACN⊥平面ACM成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）因为侧面QAD是正三角形，是QD的中点，
所以，
因为，面面ABCD，面面面ABCD，
所以面QAD，
又面QAD，所以，
又平面QCD，
所以平面QCD.
（2）以A为原点，AB，AD所在直线分别为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
所以，
设平面ACM的法向量为，则
即令，得.所以，
，设，
则，
设平面ACN的法向量为，则
即
令
得.所以，
若平面平面ACM，
则，即，所以，即，
所以当时，平面平面ACM.
22．已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣ =0截得的弦长为2
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得 为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（I）圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x﹣y﹣ =0的距离d= =1，
∴2=2 ，解得a2=2，又 = ，a2=b2+c2，
联立解得：a2=2，c=1=b．
∴椭圆C的标准方程为： +y2=1．
（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得 为定值．
设A（x1，y1），B（x2，y2），联立 ，化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
则x1+x2= ，x1 x2= ．
=（x1﹣m，y1） （x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣1）（x2﹣1）=（1+k2）x1 x2﹣（m+k2）（x1+x2）+m2+k2
=（1+k2） ﹣（m+k2） +m2+k2
= ，
令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m= ．
因此在x轴上存在定点M（ ，0），使得 为定值
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人教A版（2019）2023-2024学年高二上学期期中模拟卷数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ，则直线 ： 和直线 ： 的位置关系为（ ）
A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．垂直或重合
3．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．定点 ，动点Q在圆 上，线段 的垂直平分线交 于点M（O为坐标原点），则动点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．直线 C．双曲线 D．椭圆
5．已知空间中三点，，，那么点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知点P在直线上，且点P在第四象限，点．以PQ为直径的圆C与直线l的另外一个交点为T，满足，则圆C的直径为（ ）
A． B． C． D．
7．设椭圆C： 的两个焦点分别为F1，F2， ，P是C上一点，若 ，且 ，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．已知任意非零向量，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，则三点共线
10．已知圆 ，点 是圆M上的动点，则下列说法正确的有（ ）
A．圆M关于直线 对称 B．直线 与M的相交弦长为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
11．如图，在正四棱柱中，，，点在上，且．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．异面直线与所成角的正切值为
C．平面
D．直线与平面所成角的正弦值为
12．已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则（ ）
A．的周长为 B．
C．平分线的斜率为 D．椭圆的离心率为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．已知圆 过椭圆 ： 的焦点与短轴端点，则椭圆 的标准方程为 .
14．平面内一点 到直线 ： 的距离为： ．由此类比，空间中一点 到平面 ： 的距离为 ．
15．已知椭圆 ， 为其左、右焦点， 为椭圆 上除长轴端点外的任一点， 为 内一点，满足 ， 的内心为 ，且有 （其中 为实数），则椭圆 的离心率 =
16．已知圆与交于两点.若存在，使得，则的取值范围为 .
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在 中，已知 ，BC边所在直线方程为 .
（1）求BC边上的高AD所在直线的方程；
（2）若AB，AC边的中点分别为E，F，求直线EF的方程.
18．如图，在四棱锥 中， ， ， .平面 平面 ， 为等边三角形，点 是棱 上的一动点.
(Ⅰ)求证： 平面 ；
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
19．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线，，切点为.
（1）若，试求点的坐标；
（2）求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
20．椭圆：上顶点为，左焦点为，中心为．已知为轴上动点，直线与椭圆交于另一点；而为定点，坐标为，直线与轴交于点．当与重合时，有，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设的横坐标为，且，当面积等于时，求的取值．
21．如图，在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面QAD⊥底面ABCD，M是QD的中点．
（1）求证：AM⊥平面QCD；
（2）在棱BQ上是否存在点N使平面ACN⊥平面ACM成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由．
22．已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣ =0截得的弦长为2
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得 为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
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