(共19张PPT)
4.6.3余角和补角
初中数学华师大版七上第四章图形的初步认识
1.将一副直角三角板如图所示摆放,则图中∠ADC的大小为( )
A.75° B.120° C.135° D.150°
2.如图,已知点A在直线l上,从点A引出的两条射线之间的夹角是90°,若∠1=30°,则∠2的度数为( )
A.40° B.60° C.30° D.50°
3.如图,∠AOB=90°,若∠1=35°,则∠2的度数是( )
A.35° B.45° C.55° D.70°
温故而知新
B
C
C
创设情境
上节课我们研究了角的比较与运算,学会了进行角的和差倍分计算,今天我们继续研究角之间的关系.
③后面两幅图中∠1与∠2的和是多少?
测量计算:①下面是我们用的一副三角尺,这两个三角尺中分别都有一个90°,请你分别计算一下两个三角形中其他两个角的和是多少度?
②一架梯子斜靠在墙上,请你测量一下∠BAC和∠CAB的大小,再计算一下它们的和,你发现有什么特殊之处?
1.阅读教材,获取新知
阅读课本第152页,回答下列问题:
探究新知
(1)用量角器量一量第一组图中两个角的大小,求出两个角的和,你有什么发现?是不是和我们前面结果相同?
(2)两个角的和等于90°(直角)这两个角 .简称 .
互余
互为余角
(2)若∠1+∠2=90°,则说∠1是∠2的 或∠2是∠1的 或∠1与∠2互余.
余角
余角
∵∠1+∠2=90°∴∠1是∠2的余角(余角的定义)
几何语言表达为:
(3)若∠1与∠2互余,那么∠1+∠2= .
90°
几何语言表达为:
∵∠1与∠2互余∴∠1+∠2=90°(余角的性质)
中国有一个30°的角,美国有一个60°的角,它们互余吗?
温馨提示:互为余角表示两个角特殊的大小关系,与位置无关.
温馨提示:互为补角表示两个角特殊的大小关系,与位置无关.
(2)两个角的和等于180°(平角),这两个角 .简称 .
(3)若∠3+∠4=180°,则说∠3是∠4的 或∠4是∠3的 或∠3与∠4互补.
(4)若∠3与∠4互补,那么∠3+∠4= .
互补
互为补角
几何语言表达为:
∵∠3+∠4=180°∴∠4是∠3的补角(补角的定义)
补角
补角
几何语言表达为:
∵∠3与∠4互补∴∠3+∠4=180°(补角的性质)
180°
同理可得:等角的补角 .
若∠2=∠4,由以上两个等式可知:∠1与∠3的大小关系是 ,即等角的余角 .
由上述两个等式可知:∠1与∠3的大小关系是 ,即同角的余角 .
(1)若∠1是∠2的余角,则可得到等式:∠1= .
若∠3也是∠2的余角,则可得到等式:∠3= .
(2)若∠1是∠2的余角,则可得到等式:∠1= .
若∠3是∠4的余角,则可得到等式:∠3= .
90°-∠2
2.小组合作,深入探究:
同理可得:同角的补角 .
180°-∠4
180°-∠2
90°-∠2
相等
相等
相等
相等
相等
相等
例1:已知∠α=50°17',求∠α的余角和补角.
精讲例题
1.精讲例1
学生试做.
注意:度分秒的进率是60
分析:根据余角和补角的概念就可求出,计算的时候注意借一当六十来减.
解:∠α的余角=90°-50°17'=39°43'
∠α的补角=180°-50°17'=129°43'
例2 如图所示,∠AOC和∠BOD都是直角.
(1)填空:图中与∠BOC互余的角有 和 ;
(2)∠AOD与∠BOC互补吗?为什么?
2.精讲例2
分析:根据∠BOD=∠AOC=90°
可找出与∠BOC互余的角.
根据∠COA=∠BOD=90°,得出∠BOA=∠DOC,然后将∠AOD拆开两部分求出∠COB+∠AOD=180°,可得∠BOC与∠AOD互补.
∠AOB
∠COD
解:
(2)∠AOD与∠BOC互补,理由如下:
因为∠AOC和∠BOD都是直角,
所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°,
又因为∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD,
所以∠AOD+∠BOC=
∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=180°,
所以∠AOD与∠BOC互补.
故答案为:∠AOB,∠COD
例3 如图,O是直线AB上的一点,∠BOD=23°,OD、OE分别是∠BOC、∠AOC的平分线.
(1)图中所有与∠COD互余的角有 ;
(2)图中与∠COD互补的角有 ;
(3)求∠AOE的度数.
分析:先由角平分线的定义可得∠AOE=∠COE,∠COD=∠BOD,再结合平角的定义可得∠AOE+∠COD=∠COD+∠COE=90°,就可找到互余的角;
第三小题由角平分线的定义可求
得 的度数,结合平角的定义求解 的度数,再利用角平分线的定义可求出了 的度数
3.精讲例3
∠AOE
∠AOE,∠COE
∠AOD
∠BOC
∠AOC
(3)∵OD是∠BOC的平分线,∠BOD=23°,
∴∠BOC=2∠BOD=46°,
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣46°=134°,
∵OE是∠AOC的角平分线,
∴∠AOE=∠EOC= ∠AOC=67°.
2.如图,已知∠BAC=90°,∠ADC=∠ADB=90°,则图中与∠B互余的角有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
1.若∠A=54°,则∠A的补角是( )
A.36° B.126° C.46° D.136°
课堂练习
B
B
5.如图,已知∠COE=∠BOD=∠AOC=90°,则图中与∠BOC相等的角为 ,与∠BOC互补的角为 ,与∠BOC互余的角为 .
3.如果两个角互补,那么这两个角( )
A.均为钝角 B.均为锐角
C.一个为锐角,另一个为钝角
D.均为直角,或一个为锐角,另一个为钝角
D
4.一个角等于它的余角的2倍,那么这个角的补角是( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
C
∠DOE
∠DOA
∠DOC或∠BOA
5.如图,如果∠1=65°15′,∠2=78°30′,则∠3是多少度?
解:∵∠1+∠2+∠3=180°,
∴∠3=180°﹣∠1﹣∠2
=180°﹣65°15′﹣78°30′
=36°15′.
故答案为:36°15′.
课堂总结
1.两个角的和等于90°(直角),这两个角 .
简称 .
2.两个角的和等于180°(平角),这两个角 .简称 .
3.互为余角、互为补角表示两个角特殊的大小关系,与位置无关.
4.性质:同角(或等角)的余角相等,同角(或等角)的补角相等
布置作业
1.P153页课后练习1,2题
2.P153页习题4.6:7,8题
3.下面是小宇同学的数学日记,请仔细阅读并回答问题.
2022年12月27日 星期二 晴
今天,我们数学兴趣小组讨论了一个画图问题:如图1,已知∠AOB,请画一个∠AOC,使∠AOC与∠BOC互余. 对这个问题,我刚开始没有什么思路,但是我们通过小组讨论,发现射线OC在∠AOB的外部,尝试画出示意图,如图2所示;然后用三角尺画出直角∠BOD,如图3所示,找到∠BOC的余角∠COD;进而分析要使∠AOC与∠BOC互余,则需∠AOC=∠COD.因此,我们找到了解决问题的方法:用三角尺作射线OD,使∠BOD=90°,利用量角器画出∠AOD的平分线OC,这样就得到了∠AOC与∠BOC互余.小组活动后我对这种画法进行了证明,并且我有如下思考:用同样的办法能否画出已知角的补角呢?…
(1)请帮小宇补全下面的证明过程.
已知:如图3,射线OC,OD在∠AOB的外部,∠BOD=90°,OC平分∠AOD.
求证:∠AOC与∠BOC互余.
证明:∵∠BOD=90°,
∴∠BOC+ =90°.
∵OC平分∠AOD,
∴ = .
∴∠BOC+∠AOC=90°.
即∠AOC与∠BOC互余.
(2)参考小宇日记中的画法,请在图4中画出一个∠AOE,使∠AOE与∠BOE互补.