初中数学人教版八上13.3.1等腰三角形第1课时 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
13.3.1 等腰三角形第1课时
1.探索并证明等腰三角形的两个性质，能利用性质证明两个角相等或两条线段相等.
2.结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用，了解作辅助线的技巧，发展“转化”及“分类讨论”的数学思想.
3.引导学生对图形观察、发现，激发学生的求知欲望和学习兴趣，帮助学生养成良好的学习习惯和勤于思考、勇于探索的的思想品质，建立学习的自信心.
欣赏下列图片，找出图片中的三角形，观察它们的特点.
探究
　　如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
A
B
C
D
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
找一找：把剪出的等腰△ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.你能发现等腰三角形的性质吗？
重合的线段 重合的角
　
A
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C.
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
C
A
B
C
证明：
作底边的中线AD， 则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
D
还有哪些方法可以得到∠B= ∠C？
A
B
C
则有∠1＝∠2，
D
1
2
在△ABD和△ACD中，
证明: 作顶角的平分线AD，
AB＝AC
∠1＝∠2
AD＝AD
∴ △ABD≌ △ACD，
∴ ∠B＝∠C.
还有哪些方法可以得到∠B= ∠C？
A
B
C
则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90 ，
D
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
证明: 作△ABC 的高线AD，
AB＝AC
AD＝AD
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴ ∠B＝∠C .
几何语言：
在△ABC中，
∵ AC=AB（ 已知）
∴ ∠B=∠C （等边对等角）
等腰三角形的性质1：
等腰三角形的两个底角相等
A
B
C
结论
A
B
C
D
例1：如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 ° ，在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
⒈等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为:
75°， 30°
70°，40°或55°，55°
35°，35°
⒉等腰三角形一个角为70°，它的另外两个角为:
3.等腰三角形一个角为110°，它的另外两个角为:
归纳
① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180°
⑤0°＜底角＜90°
结论:在等腰三角形中,
由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
A
B
C
D
　　 等腰三角形的性质:
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
结论
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
性质2的几何语言：
如图,在△ABC中,
A
B
C
D
三线合一
不重合！
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（X）
（X）
（X）
（X）
（√）
（√）
判断对错
例2：已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
图②
图①
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
图②
图①
G
1.等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，则∠B=（ ）
A．30° B．60° C．75° D．85°
C
2.等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ）
A．80° B．20°
C．20°或80° D．50°或80°
C
3.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°求∠1和∠ADC的度数．
解：∵ AB=AC，D是BC边上的中点，
∠ADC＝ 90°，
∵ ∠BAC=180°-30°-30°=120°，
∴∠1=60°.
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高
互相重合，简称“三线合 一”
等腰三角形
学习的数学思想及方法:
分类讨论和一题多解
解决等腰三角形问题时常用的辅助线
1.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________.
36°
72°
△ABC、
△DBA、
△BCD
A
B
C
D
2.完成本节配套习题.