初中数学人教版八上13.3.2等边三角形第1课时 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
13.3.2 等边三角形
1．探索等边三角形的性质和判定；能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明.
2.通过探索、猜想、证明、归纳等数学活动过程，发展逻辑推理能力.
3.体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣.
同学们知道的等腰三角形的性质和判定有哪些内容？
性质：等腰三角形的两个底角相等.
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边
上的高互相重合.
判定：如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是
等腰三角形.　　
请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么区别和联系？
A
B
C
A
B
C
联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；
区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条.
图形 边 角 轴对称图形
等腰 三角形 两边相等 （定义） 两底角相等 （等边对等角） 是（三线合一）
一条对称轴
等边 三角形 三边相等 （定义）
思考：将等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？
结论
证明： ∵AB=AC.
∴∠B=∠C .(等边对等角)
同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
已知：AB=AC=BC ，
求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
问题: 等边三角形有“三线合一”的性质吗
等边三角形有几条对称轴？
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.
顶角的平分线、底边的高
底边的中线
三线合一
一条对称轴
三条对称轴
结论
图形 等腰三角形
　性 质
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
三个角都相等，
对称轴（3条）
等边三角形
对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
且都是60
两条边相等
三条边都相等
例1:如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，
求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
变式：如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
例2： △ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM
＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
对比
图形 等腰三角形
判 定
三个角都相等的三角形是等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
等边三角形
　证明： ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C =60°．
∵DE∥BC，
∴∠B =∠ADE，∠C =∠AED．
∴∠A=∠ADE =∠AED．
∴△ADE 是等边三角形．
　　例3：如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形.
　证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
∵DE∥BC，
∴∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
∴∠A =∠ADE =∠AED.
∴△ADE 是等边三角形.
　　变式1：若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
　　变式2：若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？
　证明： ∵　△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵DE∥BC，
∴∠B =∠D，∠C =∠E．
∴∠EAD =∠D =∠E．
∴△ADE 是等边三角形．
A
D
E
B
C
变式3：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
1. 以下叙述中不正确的是（ ）
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B．其中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等
C
2．已知等边三角形ABC的边长为6，D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF⊥BC于点F，过点F作FG⊥AB于点G，当点G与点D重合时，AD的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
A
3.如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．
求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．
等边
三角形
定义
底=腰
特殊性
性质
特殊性
边
角
轴对称性
判定
特殊性
三边法
三角法
等腰三角形法
1.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明如下：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形.
2.完成本节课配套习题.