初中数学人教版八上13.4课题学习 最短路径问题 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
13.4 课题学习
1.通过对最短路径的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.
2.让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径的思想方法.
3.在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心.
如图，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短
如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，因为垂线段最短.
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.深入学习最短路径问题.
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
C
抽象成
A
B
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
实际问题
A
B
l
探究1：现在假设点A，B分别是直线l 异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
A
l
B
C
根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
连接AB，与直线l相交于一点C.
探究2：如果点A,B分别是直线l 同侧的两个点，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
B
l
B ′
C
结论
探究3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．
∴　AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴　AC +BC＜AC′+BC′．
即　AC +BC 最短．
A
B
l
B ′
C
C ′
例1：如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，求BF+EF的最小值.
解：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，AB=BC，BD=CD，
∴点B与点C关于直线AD对称.
∵点F在AD上，∴BF=CF，∴BF+EF=CF+EF，
∴连接CE，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
∵当CE⊥AB时，CE最小，
∴当CE⊥AB时，BF+EF的最小值.
∵AB·CE=BC·AD，∴CE=AD=5，
∴BF+EF的最小值是5.
结论
求线段和的最小值问题:
找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
B
A
A
B
N
M
B
A
●
●

N
M
N
M
N
M
折
移
思考：如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
当点N 在直线b 的什么位置时，AM+MN+NB最小？
由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.
探究：将AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M 移到点N，点A移到点A′，则AA′ = MN，AM + NB = A′N + NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时， A′N+NB最小？
连接A′B与b相交于N，N点即为所求.
试说明桥建在M′N′上时，从A到B的路径AMNB增大.
例2：如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
D
D ′
C
C′
E
E′
B
解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E ′，D′.作DD′，EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′,
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小.
A
D ′
C
C′
E
E′
B
F
G
D
结论
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
1.牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.
A
B
P
Q
.
.
.
.
解：如图所示，AP+PQ+BQ最短.
2.（1）如图①，在AB直线一侧C，D两点，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA，OB上分别存在点E、F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由．
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M，N，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，M，N，四点组成的四边形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由．
A
B
C
D
P
O
A
B
N
O
A
B
M
图①
图②
图③
P
O
A
B
N
O
A
B
M
A
B
C
D
C'
P
P'
P''
E
F
M'
N'
E
F
图①
图②
图③
原理
线段公理和垂线段最短
牧马人饮马问题
解题方法
造桥选址问题
关键是将固定线段“桥”平移
最短路径问题
轴对称知识+线段公理
解题方法
1.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（　　）
A．（0，3） B．（0，2）
C．（0，1） D．（0，0）
A
B′
C′
E
2.完成本节课配套习题.