初中数学人教版九下28.1 锐角三角函数（第2课时）课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
28.1 锐角三角函数
（第2课时）
第二十八章 锐角三角函数
学习目标
1.理解余弦、正切等锐角三角函数的概念，会利用定义求三角函数值．（重点）
2.体会锐角三角函数的函数特征．（难点）
新课导入
　　探究　Rt△ABC和Rt△A＇B＇C＇中，∠C=∠C＇=90°，∠A=∠A＇，∠A和∠A＇的对边与邻边如图所示．
（1） 与 有什么关系？请给出证明．
证明：∵∠C= ∠C＇=90°，∠A=∠A＇．
　　∴Rt △ABC ∽Rt △　　　　．
　　∴ 　 　，
　　即　 ．
＇
＇
＇
A B C
解： = ．
　　探究　Rt△ABC和Rt△A＇B＇C＇中，∠C=∠C＇=90°，∠A=∠A＇，∠A和∠A＇的对边与邻边如图所示．
（2） 与 有什么关系？请给出证明．
证明：∵∠C= ∠C＇=90°，∠A=∠A＇．
　　∴Rt △ABC ∽Rt △　　　　．
　　∴ 　 　，
　　即　 ．
＇
＇
＇
A B C
解： ．
在直角三角形中，当锐角的度数一定时，
无论这个直角三角形大小如何，
它的邻边与斜边的比是一个定值，
它的对边与邻边的比是一个定值．
归纳总结
学习余弦和正切的概念
一
讲授新课
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
∠A的邻边
斜边
cos A =
∠B的邻边
斜边
cos B = =
∠B的余弦，记作cosB，即
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即
∠A的对边
∠A的邻边
tan A =
∠B的对边
∠B的邻边
tan B =
∠B的正切，记作tanB，即
探索：我们学习了关于直角三角形中两边比的三个概念分别是什么？它们与三角形的大小有关系吗？与角度的大小有关系吗？有什么关系？
归纳：锐角的正弦、余弦和正切与三角形的大小______关系，与角度的大小 ______关系，随着角度的变化而_______，即对于锐角的每一个确定的值，它的正弦、余弦和正切都有____________的值与之对应，从而形成了______关系，即锐角的正弦、余弦和正切是_________的函数，______________是自变量．
没有
有
变化
唯一确定
函数
这个锐角
锐角（的度数）
学习三角函数的概念
二
命名：锐角的正弦、余弦和正切称为这个锐角的三角函数．
讨论：如果锐角不在直角三角形中，那么它的三角函数值还存在吗？
总结：锐角的三角函数是由锐角的大小决定的，即使不在直角三角形中，它的三角函数依然存在，放在直角三角形中更方便利用定义式求解．
求锐角三角函数的值
三
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
A
B
C
10
6
解：由勾股定理，得
因此
思考：
1．能求∠B的三个三角函数的值吗？
A
B
C
10
6
2．如果改变题目的条件，使三角函数的值不变，那么条件可以怎样改变？从以下角度思考：
（1）换掉一条边长，即只保留“AB=10，BC=6”中的一个条件，再增加另一个条件；
A
B
C
10
6
用“AC=8”换掉“AB=10，BC=6”中的任何一个条件均可．
（2）改变两条边长，即“AB=10，BC=6”两个条件中的数据都改为其他数，有多少种改法，这些不同的改法有什么共同特点？
A
B
C
10
6
有无数种改法，比如：
AB=5，BC=3；
或AB=15，BC=9；
或AB=1，BC=0.6；等等．
这些不同的改法中，AB：BC=5：3．
（3）不给出两条边长的具体数值，可以吗？尝试写出一个符合题意的条件，并进行解答；
A
B
C
把“AB=10，BC=6”改为“AB：BC=5：3”．
解：设AB=5k，则BC=3k，
由勾股定理，得
因此
（4）只给出∠B的一个三角函数值，没有关于边长的条件，可以吗？尝试编题并解答．
A
B
C
例：在 Rt△ABC 中，∠C=90°， 求sinA，cosA，tanA的值
由勾股定理，得
因此
解：由 得，若设AB=5k，则BC=3k，
3．给出∠B的一个三角函数值，以及“AB=10，BC=6”中的一个条件，能求出什么？尝试编题并解答．
能求其他未知的边长和锐角三角函数值．
A
B
C
10
6
例：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=6，
求AC，AB以及sinA，cosA，tanA，sinB，tanB的值．
由勾股定理，得
解：由 得，若设AB=5k，则BC=3k，
A
B
C
6
由BC=6，得3k=6，解得k=2，则AB=10.
因此
对比上述两个锐角的三角函数值，发现什么等量关系？为什么会有这种关系？
sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．
由锐角的正弦、余弦和正切定义，可知：
A
B
C
1. 教材第65页练习第1-2题．
2. 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙O相切与点 C，若 BC=4，AB=5，则
sinA=______，cosB=______，tanA=______.
·
A
O
B
C
课堂练习
4. 如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，
若 ，
那么 ( )
B
a
O
C
D
B
A
P
3. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，∠A=35°，则直角边 BC 的长是 （ ）
A.
B.
C.
D.
A
A
B
C
5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，求 sinA，tanA 的值．
解：
A
B
C
设 AC = 15k，则 AB = 17k.
由勾股定理，得
∴
课堂小结
1．综合两节课所学内容，说一下常见的三种锐角三角函数的求法．
2．为什么说锐角三角函数是一种函数，谁是谁的函数？谁是自变量？
3．结合本节课所学内容，谈一下你对类比思想的认识．
正弦
余弦
正切
锐角∠A的
三角函数
布置作业
A组：
1．教材第68页习题28.1第1题（只求余弦值和正切值），第2题．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5．求∠A的三个三角函数值．
B组：
1．教材第70页习题28.1第10题（证明结论）．
2. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求cosB，tanC的值.
A
B
C
提示：求锐角的三角函数值的问题，当图形中没有直角三角形时，可以用恰当的方法构造直角三角形.