初中数学人教版九下28.2.1 解直角三角形 课件(共25张PPT)
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版九下28.2.1 解直角三角形 课件(共25张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-18 08:34:36 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
28.2.1 解直角三角形
第二十八章 锐角三角函数
学习目标
1．能根据已知的两个条件（至少有一个是边）解直角三角形．（重点）
2．解直角三角形的过程中能选择适当的关系式．（难点）
世界遗产意大利比萨斜塔位于意大利中部比萨古城内的教堂广场上，是一组古罗马建筑群中的钟楼.该塔于1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线5.2 m，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险．当地从1990年对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离减少了43.8 cm．
新课导入
α
思考1：如果用“塔身中心线与垂直中心线所成的角α”来描述比萨斜塔的倾斜程度，根据已测量的数据你能求角α的度数吗？
从数学的角度看1972年的情形，上述问题可以抽象为什么几何图形？什么数学问题？
塔身中心线
垂
直
中
心
线
A
B
C
α
塔身中心线
垂
直
中
心
线
设塔顶中心点为 B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足为点 C．
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5.2 m，AB= 54.5 m，求∠A 的度数．
思考2：你能用学过的锐角三角函数知识，解决这个问题吗？（给出完整解答）
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5.2 m，AB= 54.5 m，求∠A 的度数．
C
A
B
解：由题意，得
sinA= ，
利用计算器可得∠A≈5°28′．
思考3：对于1350年落成时和2001年纠偏竣工时的情形，怎样求倾斜的角度？（说出思路，不用解答）
由sinA= 求得∠A 的正弦值，再用计算器求∠A的度数．
直角三角形中，已知两条边（斜边和一条直角边），求锐角的度数.
思考4：这些问题是在直角三角形中，已知什么元素？求什么元素？
讲授新课
梳理直角三角形中各元素之间的关系
一
思考：在上面的Rt△ABC中，除了能求出∠A 的度数，还能求出其他角或者边吗？（说出思路和依据，不用解答）
进一步，在直角三角形中，除了直角外的五个元素（两个锐角和三条边）之间有哪些关系？
如图，在Rt△ABC中，
（1）三边之间的关系
a2+b2=c2（勾股定理） ；
（2）两锐角之间的关系
∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系
A
C
B
c
a
b
归纳总结
学习解直角三角形的概念
二
思考：在直角三角形中，除直角外的五个元素中，知道其中的几个，就可以求其余元素？为什么？（说明该情况下直角三角形能唯一确定的原因）
定义：由直角三角形中的已知元素，求出其余
未知元素的过程，叫做解直角三角形．
归纳
在直角三角形中，知道除直角外的两个元素（至少有一个是边），即可以求出其余三个未知元素．
（结合判定直角三角形全等的方法进行说明）
已知两个角可以吗？
典型问题解析
三
思考：根据已知条件，解直角三角形问题可以大致分为哪几种类型？
归纳
解直角三角形的两种基本类型：
①已知一角一边，解直角三角形；
②已知两边，解直角三角形．
锐角
邻边、对边或斜边
两条直角边，或斜边和一条直角边
A
B
C
解：
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = ， ，
解这个直角三角形.
如果没有特殊角，怎样求第三边AB？
思考：上面的问题中，已知两条直角边，解直角三角形，你能总结一下这类问题的一般解法吗？
归纳
已知两条直角边a，b，解直角三角形的一般解法：
①
②由 ，求∠A；
③∠B=90°-∠A．
A
C
B
b
a
A
B
C
解：
变式1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = ， ，
解这个直角三角形.
如果没有特殊角，怎样求第三边AC？
思考：上面的问题中，已知一条直角边和斜边，解直角三角形，你能总结一下这类问题的一般解法吗？
归纳
已知一条直角边（比如a）和斜边c，解直角三角形的一般解法：
①
②由 ，求∠A；
③∠B=90°-∠A．
A
C
B
c
a
A
B
C
解：
变式2 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 60°，BC = ，解这个直角三角形．
60°
如果没有特殊角，怎样借助三角函数求第三边AB？
思考：上面的问题中，已知一条直角边和一个锐角，解直角三角形，你能总结一下这类问题的一般解法吗？
归纳
已知一条直角边和一个锐角（比如a，∠A），解直角三角形的一般解法：
①∠B=90°-∠A；
②
③
A
C
B
a
如果已知b，∠A，怎样求a，c？
A
B
C
解：
变式3 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 60°，AB = ，解这个直角三角形．
60°
如果没有特殊角，怎样借助三角函数求第三边AC？
思考：上面的问题中，已知斜边和一个锐角，解直角三角形，你能总结一下这类问题的一般解法吗？
归纳
已知斜边c和一个锐角（比如∠A），解直角三角形的一般解法：
①∠B=90°-∠A；
②
③
A
C
B
c
1. 在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是（ ）
A．已知BC=3，∠C=90°
B．已知∠C=∠B=45°
C．已知∠C=90°，∠A=2∠B
D．已知∠C=90°，∠A=30°，BC=5
D
课堂练习
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列各式正确的是 ( )
A. b=a·tanA B. b=c·sinA C. b=c·cosA D. a=c·cosA
C
3. （教材第73页例2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
A
B
C
b
c
a
35°
解：
4. 教材第74页练习题．
课堂小结
1．什么叫解直角三角形？ 直角三角形中，除直角外，五个元素之间有怎样的关系？
2．两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一条边和一个锐角，或两边，就能解这个直角三角形？
3．你能根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法吗？
解直角三角形
解题依据
除直角外五个元素中，知二（至少一边）求三
勾股定理
两锐角互余
锐角三角函数
已知两边
已知一边
一角
两条直角边
一直角边与斜边
一直角边与一角
斜边与一角
布置作业
A组：教材第77页习题28.2第1，6题．
B组：
1．在△ABC中，∠ABC=90°．若AC =100， ，
则AB=（ ）
A． B． C．60 D．80
2. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB= ，
则 AC 的长为 .
3. 根据图中数据，求 AB 和 BC 的长．
提示：作CD⊥AB于点D，将△ABC分割为Rt△ACD，Rt△CDB，可得 CD，AD，BD 的长，从而求解．
28.2.1 解直角三角形
第二十八章 锐角三角函数
学习目标
1．能根据已知的两个条件（至少有一个是边）解直角三角形．（重点）
2．解直角三角形的过程中能选择适当的关系式．（难点）
世界遗产意大利比萨斜塔位于意大利中部比萨古城内的教堂广场上，是一组古罗马建筑群中的钟楼.该塔于1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线5.2 m，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险．当地从1990年对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离减少了43.8 cm．
新课导入
α
思考1：如果用“塔身中心线与垂直中心线所成的角α”来描述比萨斜塔的倾斜程度，根据已测量的数据你能求角α的度数吗？
从数学的角度看1972年的情形，上述问题可以抽象为什么几何图形？什么数学问题？
塔身中心线
垂
直
中
心
线
A
B
C
α
塔身中心线
垂
直
中
心
线
设塔顶中心点为 B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足为点 C．
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5.2 m，AB= 54.5 m，求∠A 的度数．
思考2：你能用学过的锐角三角函数知识，解决这个问题吗？（给出完整解答）
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5.2 m，AB= 54.5 m，求∠A 的度数．
C
A
B
解：由题意，得
sinA= ，
利用计算器可得∠A≈5°28′．
思考3：对于1350年落成时和2001年纠偏竣工时的情形，怎样求倾斜的角度？（说出思路，不用解答）
由sinA= 求得∠A 的正弦值，再用计算器求∠A的度数．
直角三角形中，已知两条边（斜边和一条直角边），求锐角的度数.
思考4：这些问题是在直角三角形中，已知什么元素？求什么元素？
讲授新课
梳理直角三角形中各元素之间的关系
一
思考：在上面的Rt△ABC中，除了能求出∠A 的度数，还能求出其他角或者边吗？（说出思路和依据，不用解答）
进一步，在直角三角形中，除了直角外的五个元素（两个锐角和三条边）之间有哪些关系？
如图，在Rt△ABC中，
（1）三边之间的关系
a2+b2=c2（勾股定理） ；
（2）两锐角之间的关系
∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系
A
C
B
c
a
b
归纳总结
学习解直角三角形的概念
二
思考：在直角三角形中，除直角外的五个元素中，知道其中的几个，就可以求其余元素？为什么？（说明该情况下直角三角形能唯一确定的原因）
定义：由直角三角形中的已知元素，求出其余
未知元素的过程，叫做解直角三角形．
归纳
在直角三角形中，知道除直角外的两个元素（至少有一个是边），即可以求出其余三个未知元素．
（结合判定直角三角形全等的方法进行说明）
已知两个角可以吗？
典型问题解析
三
思考：根据已知条件，解直角三角形问题可以大致分为哪几种类型？
归纳
解直角三角形的两种基本类型：
①已知一角一边，解直角三角形；
②已知两边，解直角三角形．
锐角
邻边、对边或斜边
两条直角边，或斜边和一条直角边
A
B
C
解：
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = ， ，
解这个直角三角形.
如果没有特殊角，怎样求第三边AB？
思考：上面的问题中，已知两条直角边，解直角三角形，你能总结一下这类问题的一般解法吗？
归纳
已知两条直角边a，b，解直角三角形的一般解法：
①
②由 ，求∠A；
③∠B=90°-∠A．
A
C
B
b
a
A
B
C
解：
变式1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = ， ，
解这个直角三角形.
如果没有特殊角，怎样求第三边AC？
思考：上面的问题中，已知一条直角边和斜边，解直角三角形，你能总结一下这类问题的一般解法吗？
归纳
已知一条直角边（比如a）和斜边c，解直角三角形的一般解法：
①
②由 ，求∠A；
③∠B=90°-∠A．
A
C
B
c
a
A
B
C
解：
变式2 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 60°，BC = ，解这个直角三角形．
60°
如果没有特殊角，怎样借助三角函数求第三边AB？
思考：上面的问题中，已知一条直角边和一个锐角，解直角三角形，你能总结一下这类问题的一般解法吗？
归纳
已知一条直角边和一个锐角（比如a，∠A），解直角三角形的一般解法：
①∠B=90°-∠A；
②
③
A
C
B
a
如果已知b，∠A，怎样求a，c？
A
B
C
解：
变式3 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 60°，AB = ，解这个直角三角形．
60°
如果没有特殊角，怎样借助三角函数求第三边AC？
思考：上面的问题中，已知斜边和一个锐角，解直角三角形，你能总结一下这类问题的一般解法吗？
归纳
已知斜边c和一个锐角（比如∠A），解直角三角形的一般解法：
①∠B=90°-∠A；
②
③
A
C
B
c
1. 在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是（ ）
A．已知BC=3，∠C=90°
B．已知∠C=∠B=45°
C．已知∠C=90°，∠A=2∠B
D．已知∠C=90°，∠A=30°，BC=5
D
课堂练习
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列各式正确的是 ( )
A. b=a·tanA B. b=c·sinA C. b=c·cosA D. a=c·cosA
C
3. （教材第73页例2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
A
B
C
b
c
a
35°
解：
4. 教材第74页练习题．
课堂小结
1．什么叫解直角三角形？ 直角三角形中，除直角外，五个元素之间有怎样的关系？
2．两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一条边和一个锐角，或两边，就能解这个直角三角形？
3．你能根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法吗？
解直角三角形
解题依据
除直角外五个元素中，知二（至少一边）求三
勾股定理
两锐角互余
锐角三角函数
已知两边
已知一边
一角
两条直角边
一直角边与斜边
一直角边与一角
斜边与一角
布置作业
A组：教材第77页习题28.2第1，6题．
B组：
1．在△ABC中，∠ABC=90°．若AC =100， ，
则AB=（ ）
A． B． C．60 D．80
2. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB= ，
则 AC 的长为 .
3. 根据图中数据，求 AB 和 BC 的长．
提示：作CD⊥AB于点D，将△ABC分割为Rt△ACD，Rt△CDB，可得 CD，AD，BD 的长，从而求解．