第2章 函数
单元检测卷（北师大版2019）
一、单选题
1．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻t与水面高度y关系图像如图，图中为一线段，与之对应的容器形状是如下四个图中的（ ）
A． B．
C． D．
2．的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
4．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（ ）
A． B．
C．或 D．
5．设函数，若，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
7．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，若，则的值可能是（ ）
A． B．3 C． D．5
10．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．当时， D．当时，
12．已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（ ）
A．图象关于直线对称 B．
C．的最小正周期为4 D．对任意都有
三、填空题
13．已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为 .
14．已知幂函数在上单调递增，则的解析式是 .
15．已知定义在上的奇函数满足，当时，，若对一切恒成立，则实数的最大值为 .
16．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题
17．在①，②，且，③恒成立，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点（1，2），______.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域.
18．已知函数，且，．
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明．
19．若幂函数在其定义域上是增函数.
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围.
20．（1）已知，求函数的解析式；
（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（3）已知，求函数的解析式；
（4）已知的定义在R上的函数，，且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．
21．已知函数是定义域上的奇函数.
（1）确定的解析式；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.
22．已知函数满足，当时，成立，且．
(1)求，并证明函数的奇偶性；
(2)当，不等式恒成立，求实数的取值范围．试卷第2页，共3页
试卷第1页，共1页
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试卷第5页，共1页第2章 函数
单元检测卷（北师大版2019）
一、单选题
1．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻t与水面高度y关系图像如图，图中为一线段，与之对应的容器形状是如下四个图中的（ ）
A． B．
C． D．
2．的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
4．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（ ）
A． B．
C．或 D．
5．设函数，若，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
7．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，若，则的值可能是（ ）
A． B．3 C． D．5
10．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．当时， D．当时，
12．已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（ ）
A．图象关于直线对称 B．
C．的最小正周期为4 D．对任意都有
三、填空题
13．已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为 .
14．已知幂函数在上单调递增，则的解析式是 .
15．已知定义在上的奇函数满足，当时，，若对一切恒成立，则实数的最大值为 .
16．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题
17．在①，②，且，③恒成立，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点（1，2），______.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域.
18．已知函数，且，．
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明．
19．若幂函数在其定义域上是增函数.
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围.
20．（1）已知，求函数的解析式；
（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（3）已知，求函数的解析式；
（4）已知的定义在R上的函数，，且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．
21．已知函数是定义域上的奇函数.
（1）确定的解析式；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.
22．已知函数满足，当时，成立，且．
(1)求，并证明函数的奇偶性；
(2)当，不等式恒成立，求实数的取值范围．
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参考答案：
1．C
【解析】根据时刻t与水面高度y关系图像，确定容器横截面面积的变化可得．
【详解】开始水面高度变化幅度逐渐变慢，后面高度变化幅度逐渐变快，
最后变化幅度不变，因此容器横截面面积是逐渐变大，然后逐渐变小，
后面面积不变，只有C相符．
故选：C．
【点睛】本题考查函数图象的识别，解题关键是确定水面高度变化图象与实际图形的哪个量建立定性关系，从而判断出结论．
2．C
【分析】先由，求出的范围，可求出的定义域，而对于相同的对应关系，的范围和相同，从而可求出的定义域.
【详解】因为，所以，所以，
所以的定义域为，
所以由，得，
所以的定义域为，
故选：C
3．A
【分析】根据给定的函数，借助二次函数分段讨论其单调性作答.
【详解】当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，则函数在上单调递增，
所以函数的单调递减区间是.
故选：A
4．A
【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.
【详解】因为函数既是幂函数又是的减函数，
所以解得：.
故选：A.
5．B
【分析】首先设，代入原式可得，再分别讨论和，两种情况求，再求.
【详解】令，，则
1°时，，则无解．
2°时，，∴，∴
时，，则；时，无解
综上：.
故选：B．
6．A
【详解】不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.
7．B
【分析】通过是奇函数和是偶函数可以确定函数的解析式与周期，进而求出结果.
【详解】因为是奇函数，所以①，且关于点对称，
因为是偶函数，所以②，且关于对称，
所以的周期为，
令，由①得，由②得
又，所以，，
令，由①得，
所以，，
所以.
故选：B
8．B
【分析】根据一次函数和二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可.
【详解】若时，，；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值；
若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得.
故选：B
【点睛】关键点睛：利用分类讨论法，结合最值的性质是解题的关键.
9．AD
【分析】直接根据分段函数的解析式，解方程即可求解.
【详解】因为函数，且，
所以，解得：；或者，解得：.
故选：AD
10．AB
【分析】根据函数奇偶性的定义，结合幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】解：对于A，函数的定义域为，且，
所以函数为奇函数，根据幂函数的性质，可得函数在区间上单调递增，故A正确；
对于B，函数的定义域为，且，
所以函数为奇函数，易知在上单调递增，故B正确；
对于C，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，函数在区间上单调递减，故D错误.
故选：AB.
11．ACD
【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项.
【详解】解：设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，，
又，所以，D正确．
故选：ACD.
12．ABD
【分析】由奇偶性知的对称中心为、对称轴为，进而推得，即可判断各选项的正误.
【详解】由的对称中心为，对称轴为，
则也关于直线对称且，A、D正确，
由A分析知：，故，
所以，
所以的周期为4，则，B正确；
但不能说明最小正周期为4，C错误；
故选：ABD
13．f(x)=2x
【分析】利用换元法，用方程组思想求得，然后用配凑法得出．
【详解】根据题意3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，
用x+2代替x可得3f(x+1)+2f(﹣1﹣x)=2x+4，…①
用﹣x代替x可得3f(﹣x﹣1)+2f(1+x)=﹣2x…②
①②消去f(﹣1﹣x)可得：5f(1+x)=10x+12，
∴f(x+1)=2x2(x+1)，
f(x)=2x，
故答案为：f(x)=2x.
14．
【分析】根据幂函数的定义和性质求解.
【详解】解：是幂函数，
，解得或，
若，则，在上不单调递减，不满足条件；
若，则，在上单调递增，满足条件；
即.
故答案为：
15．/0.25
【分析】根据题设条件画出函数的图象，结合图象可求实数的最大值.
【详解】因为，故的图象关于中心对称
当时，，
故的图象如图所示：
结合图象可得：只需当时，即可，
即，故，
故答案为：.
16．
【分析】根据的范围去绝对值，再根据二次函数的单调性，即可求解.
【详解】，
时，，
时，=.
①当即时，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意;
②当，即时，函数在单调递增，
③当即时，此时函数在单调递减，在单调递增，不符合题意;
④当即时，此时函数在单调递增，
⑤当时，函数在单调递减，不符合题意，
函数在处，函数连续，综合②④可知，函数在区间单调递增，则.
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）若选条件①，设，用待定系数法求得即可；若选条件②,设，根据对称轴是，结合条件列方程求得即可；若选条件③，设.，根据条件，列方程求得即可.
（2）直接由（1）中解析式，求二次函数在上的值域即可.
【详解】（1）选条件①.
设，
则.
因为，所以，
所以，解得.因为函数的图像经过点（1，2），
所以，得.故.
选条件②.
设，
则函数图像的对称轴为直线.
由题意可得，解得.故.
选条件③
设.
因为，所以.
因为恒成立，所以，解得，
故.
（2）由（1）可知.因为，所以，
所以.所以在上的值域为.
18．(1)；
(2)单调递增，证明见解析.
【分析】（1）由题可得即可求出，得到的解析式；
（2）根据单调性的定义即可判断证明.
【详解】（1）由题意，得，即,
解得：，．故．
（2）方法一：在上单调递增．
证明：，，且，则．
由，得，，，
所以，即．故在上单调递增．
方法二：在上单调递增．
证明：，，且，则．
由，得，，所以．故在上单调递增．
19．（1）；（2）或.
【解析】（1）根据幂函数的概念，以及幂函数单调性，求出，即可得出解析式；
（2）根据函数单调性，将不等式化为，求解，即可得出结果.
【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或，
又是增函数，即，，则；
（2）因为为增函数，所以由可得，解得或
的取值范围是或.
20．（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【分析】（1）直接用换元法即可求得解析式.
（2）直接用待定系数法即可求得解析式.
（3）直接用构造方程组法即可求得解析式.
（4）直接用赋值法即可求得解析式.
【详解】（1）方法一 设，则，，即，所以，所以（）.
方法二 因为，所以．
（2）因为是二次函数，所以设．由，
得．
由，得，整理得，所以，所以
所以．
（3）因为，①
所以，②
，得，
所以．
（4）方法一 令，则，所以．
方法二 令，则，即，令，则．
21．（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式；
（2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论；
（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，
即，化简得，因此，；
（2）任取、，且，即，
则，
，，，，，，.
，，因此，函数在区间上是减函数；
（3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，
由得，所以，解得.
因此，不等式的解集为.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
22．(1)，证明见解析；
(2).
【分析】（1）令，可得，令，，从而即可证明；
（2）由已知条件，可得为增函数，又原不等式等价于恒成立，则在上恒成立，令，分离参数即可求解.
【详解】（1）解：令，可得，
令，则，所以，
所以，
所以为奇函数；
（2）解：，即，
所以，
又当时，成立，所以为增函数，
所以在上恒成立，
令，可得在上恒成立，
又，，所以当时，，
所以，即.
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试卷第5页，共12页
