第22章《二次函数》单元检测卷（含解析）

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第22章《二次函数》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　）
A．y＝x+2 B．y＝x3+1 C．y＝x2﹣4x D．y＝
2．抛物线y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）
3．将抛物线y＝﹣3x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣3（x+1）2+2 B．y＝﹣3（x﹣1）2+2
C．y＝﹣3（x+1）2﹣2 D．y＝﹣3（x﹣1）2﹣2
4．函数y＝mx2﹣m与y＝mx+m在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
5．二次函数y＝ax2+mx+n的图象如图，对称轴是直线x＝1，下列结论中正确的是（　　）
A．amn＜0 B．2a+m＝0 C．a+m+n＞0 D．3a+n＜0
6．二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴的交点情况是（　　）
A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定
7．如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣3 0 3 5 …
y … 16 ﹣5 ﹣8 0 …
则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（　　）
A．图象的顶点在第一象限
B．有最小值﹣8
C．图象与x轴的一个交点是（﹣1，0）
D．图象开口向下
8．若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都是二次函数y＝x2+4x+k的图象上的点，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
9．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是（　　）
A．米 B．10米 C．米 D．米
10．如图， 已知二 次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）与B（3，0）两点，与y轴交于点C，若点P在该抛物线的对称轴上，则PA+PC的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣3是二次函数，则a的取值范围是 　 　．
12．若二次函数y＝ax2﹣x+a2﹣4的图象过原点且开口向下，则a＝　 　．
13．已知二次函数y＝﹣x2+nx+c中，函数y与自变量x之间部分对应值如表所示，表格中的a＝　 　．
x … 0 1 2 3 …
y … a m 3 m …
14．抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点坐标是（1，﹣2），则该抛物线的解析式是 　 　．
15．现用长为6m的材料，做成一个如图所示的窗户框架，该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，设窗户位于上方的矩形的宽为x（m），窗户的总面积为y（m2），则y与x之间的函数关系式是 　 　（不用写出自变量的取值范围）．
16．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图，下列结论中：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b﹣c＞0；④a+b+c＝0．正确的有 　 　．（填序号）
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（8分）已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的解析式．
18．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的开口向上且经过点A（0，1），B（2，﹣1）．
（1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为2，求a的值．
19．（8分）定义：如果二次函数，（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．例如：求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝3，c1＝1．根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2、b2、c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请思考并解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2023的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
20．（8分）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度OM＝12米，顶点P到底部OM的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在x轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：
方案一是“川”字形内部支架（由线段AB，PN，DC构成），点B，N，C在OM上，且OB＝BN＝NC＝CM，点A，D在抛物线上，AB，PN，DC均垂直于OM；
方案二是“H”形内部支架（由线段A′B′，D′C′，EF构成），点B′，C′在OM上，且OB′＝B′C′＝C′M，点A′，D′在抛物线上，A′B′，D′C′均垂直于OM，E，F分别是A′B′，D′C′的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．
21．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）求△ABC的面积．
22．（12分）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5，沿此 抛物线篮球可准确落入篮圈．
（1）求篮圈中心到地面的距离为多少米．
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
（3）篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案）
23．（12分）综合与探究
如图，顶点为M的抛物线y＝a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△BCM是不是直角三角形，并说明理由；
（3）若P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APB＝S△PCM，直接写出点P的坐标．
第22章《二次函数》单元检测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数是二次函数，判断即可．
【解答】解：A、y＝x+2是一次函数，故此选项不符合题意；
B、y＝x3+1不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝x2﹣4x是二次函数，故此选项符合题意；
D、y＝，等号右边是分式，不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由y＝y＝（x﹣1）2﹣3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，﹣3）．
故选：C．
3．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2向左平移1个单位所得直线解析式为：y＝﹣3（x+1）2；
再向上平移2个单位为：y＝﹣3（x+1）2+2，即y＝﹣3（x+1）2+2．
故选：A．
4．【分析】由二次函数图象的开口及与y轴交点的位置可确定m的正负，再利用一次函数y＝mx+m经过的象限确定m的正负，对比后即可得出结论．
【解答】解：∵y＝mx+m＝m（x+1），
∴一次函数图象经过点（﹣1，0），故B、C不合题意；
A、由二次函数y＝mx2﹣m的图象开口向下，交y轴的正半轴，可知m＜0，由一次函数y＝mx+m的图象经过第二、三、四象限可知m＜0，结论一致，A选项符合题意；
D、由二次函数y＝mx2﹣m的图象开口向下，交y轴的正半轴，可知m＜0，由一次函数y＝mx+m的图象经过第一、二、三象限可知m＞0，结论矛盾，D选项不合题意；
故选：A．
5．【分析】根据二次函数的图象与对称轴可以判断选项A和B的正误，根据当x＝1时的函数值小于0，可以判断选项C的正误，根据抛物线的对称性可以判断选项D的正误；从而得解．
【解答】解：根据图象可知，开口向上，且与y轴交点在x轴下方，
∴a＞0，n＜0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴x＝﹣＝1＞0．
∴m＝﹣2a＜0，
∴amn＞0，2a+m＝0．
故选项A错误，符合题意；选项B正确，符合题意；
由图象可知，当x＝1时，函数值y＜0即a+m+n＜0，
故选项C错误，不符合题意；
根据抛物线的对称性，知当x＝﹣1与x＝3时，对应的函数值均等于零，
∴a﹣m+n＝0①，9a+3m+n＝0②0；
∴①×3+②得，3a+n＝0．
故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
6．【分析】根据判别式Δ＞0，得出结论．
【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣c）＝9+8c，
∵c＞0，
∴9+8c＞0，
∴Δ＞0，
∴二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
7．【分析】由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题意知，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣5）（x+1）＝（x﹣2）2﹣9，
∴函数的图象开口向上，顶点为（2，﹣9），图象与x轴的一个交点是（﹣1，0）和（5，0），
∴顶点在第四象限，函数有最小值﹣9，
故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意．
故选：C．
8．【分析】根据题意可以将函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：∵y＝x2+4x+k＝（x+2）2﹣4+k，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣4，y1）关于对称轴的对称点为（0，y1），且﹣1＜0＜1，
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
9．【分析】已知抛物线上距水面AB高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把y＝8代入抛物线解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF长．
【解答】解：由于两盏警示灯E、F距离水面都是8米，因而两盏警示灯之间的水平距离就是直线y＝8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．
故有，
即x2＝80，
解得，．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：（米）．
故选：A．
10．【分析】先求出二次函数的解析式，然后求出C的坐标，根据对称性将AP+PC转化为PB+PC，因为PB+PC≥BC，
所以得出PB+PC的最小值为BC，求出BC即可．
【解答】解：∵y＝x2+bx+c过（﹣1，0），（3，0），
∴，
解得：，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵AP＝BP，
∴PA+PC＝BP+PC≥BC，
当P，B，C三点共线时，
PA+PC＝BC，
∴（PA+PC）min＝BC＝＝3，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【分析】根据二次函数的定义即可得．
【解答】解：∵函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，
∴2﹣a≠0，即a≠2，
故答案为：a≠2．
12．【分析】由二次函数图象开口向下及该图象过原点，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+a2﹣4的图象过原点，且开口向下，
∴，
解得：a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．【分析】根据表格中的数据，可得出抛物线的对称轴，进而求出n，再将点（2，3）代入可求出c，即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为x＝1和x＝3时，函数值都是m，
所以抛物线的对称轴为直线x＝2，
则，解得n＝4，
所以y＝﹣x2+4x+c．
将（2，3）代入函数表达式得，
﹣22+4×2+c＝3，
解得c＝﹣1，
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x﹣1．
将x＝0代入得，
y＝﹣1，即a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．【分析】根据解析式可知a＝﹣1，设顶点式即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点坐标是（1，﹣2），
设y＝a（x﹣1）2﹣2，
又∵a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2﹣2，
即y＝﹣x2+2x﹣3，
故答案为：y＝﹣x2+2x﹣3．
15．【分析】根据各边之间的关系，可得出窗户位于上方的矩形的长为m，利用窗户的总面积＝3×窗户位于上方的矩形的面积，即可找出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：∵该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，且窗户框架的总长度为6m，
∴窗户位于下方的矩形的长为2xm，窗户位于上方的矩形的长为＝m，
根据题意得：y＝3x ，
即y＝6x﹣8x2．
故答案为：y＝6x﹣8x2．
16．【分析】根据二次函数与x轴的交点可对结论①进行判定；根据二次函数的开口方向、对称轴及与y轴的交点可对a，b，c的符号进行判定，进而可对结论②进行判定；根据二次函数的对称轴及二次函数图象与y轴交点的坐标可对结论③进行判断；根据二次函数的对称轴及与x轴交点的情况可判断当x＝1时，y＜0，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
故结论①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象得开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，
∴＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
故结论②不正确；
∵b＝2a，
∴2a+b﹣c＝4a﹣c，
∵a＜0，c＞0，
∴4a＜0，﹣c＜0，
∴4a﹣c＜0，
∴2a+b﹣c＜0，
故结论③不正确；
∵设二次函数y＝ax2+bx+c图象于x的交点横坐标分别为x1，x2，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且﹣3＜x1＜﹣2，
∴0＜x2＜1，
∴当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故结论④不正确．
综上所述：正确的结论是①．
故答案为：①．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．【分析】（1）先利用顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），再解方程（x﹣2）2﹣1＝0，得抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）或（3，0），接着求出抛物线与y轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数的图象；
（2）利用抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式即可．
【解答】解；（1）∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
当y＝0时，（x﹣2）2﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）或（3，0），
当x＝0时，y＝（x﹣2）2﹣1＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
如图，
（2）由（1）知，抛物线解析式是：y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3．
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x2﹣4x．
18．【分析】（1）把A，B代入利用待定系数法求得解析式，进一步把解析式化成顶点式即可求得；
（2）由题意，x＝1或x＝3时，y取得最大值2，由此构建方程求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）经过点A（0，1），B（2，﹣1），a＝1，
∴，
∴，
∴y＝x2﹣3x+1，
∵y＝x2﹣3x+1＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线的顶点坐标为（，﹣）；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的开口向上且经过点A（0，1），B（2，﹣1），
∴，
∴b＝﹣2a﹣1（a＞0），
∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+1，a＞0，在1≤x≤3时，y的最大值为2，
∴x＝1时，y＝2或x＝3时，y＝2，
∴2＝a﹣（2a+1）+1或2＝9a﹣3（2a+1）+1，
解得a＝﹣2（舍弃）或a＝，
∴a＝．
19．【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式；
（2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案；
（3）首先求出A、B、C三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定．
【解答】解：（1）根据题意得，
解得，
故解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣3．
（2）根据题意得，
∴，
∴（m+n）2023＝（﹣2+3）2023＝12023＝1．
（3）根据题意得A（1，0），B（3，0），C（0，﹣6），
∴A1（﹣1，0），B1（﹣3，0），C1（0，6），
又y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
且经过点A1，B1，C1的二次函数为y＝﹣2（x+1）（x﹣3）＝﹣2x2+4x+6，
∵，
∴两个函数互为“旋转函数”．
20．【分析】（1）先确定顶点坐标，再利用待定系数法即可求出该抛物线的表达式；
（2）分别求出方案一和方案二的内部支架材料长度，再比较即可．
【解答】解：（1）∵该抛物线型构件的底部宽度OM＝12米，顶点P到底部OM的距离为9米，
∴顶点P的坐标为P（6，9），点O的坐标为O（0，0），点M的坐标为M（12，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+9，将O（0，0）的横纵坐标代入，
得0＝a（0﹣6）2+9，
解得a＝，
∴该抛物线的函数表达式为y＝，即y＝；
（2）方案二的内部支架节省材料．理由如下：
方案一：∵OB＝BN＝NC＝CM，OM＝12米，
∴OB＝3米，OC＝9米，
当x＝3时，y＝，即AB＝米，
当x＝9时，y＝，即CD＝米，
∴方案一内部支架材料长度为AB+NP+CD＝（米），
方案二：∵OB′＝B′C′＝C′M，OM＝12米，
∴OB′＝4米，OC′＝8米，EF＝B′C′＝4米，
当x＝4时，y＝，即A′B′＝8米，
当x＝8时，y＝，即C′D′＝8米，
∴方案二内部支架材料长度为A′B′+EF+C′D′＝8+4+8＝20（米），
∵＞20，
∴方案二的内部支架节省材料．
21．【分析】（1）先求解C的坐标，再结合D的坐标求解对称轴方程即可；
（2）利用抛物线的对称性求解A（﹣2，0），再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵CD⊥y轴，
∴C，D两点关于抛物线对称轴对称D（6，4），
∴C（0，4），
∴此抛物线的对称轴为直线：，即x＝3
（2）连接AC，
∵A，B关于对称轴对称，B（8，0），
抛物线的对称轴为直线：x＝3，
∴A（﹣2，0），
∴AB＝8﹣（﹣2）＝10，
∴△ABC的面积＝．
22．【分析】（1）求出篮圈中心的横坐标为4﹣2.5＝1.5，在y＝﹣0.2x2+3.5中，令x＝1.5可得篮圈中心到地面的距离为3.05米；（2）设球出手时，他跳离地面的高度是h米，知出手点坐标为（﹣2.5，1.8+0.2+h），故1.8+0.25+h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，解出h的值可得答案；
（3）在y＝﹣0.2x2+3.5中，令y＝3.05得x＝1.5（舍去）或x＝﹣1.5，即知两名运动员之间的距离不能超过1米．
【解答】解：（1）根据已知可得，篮圈中心的横坐标为4﹣2.5＝1.5，
在y＝﹣0.2x2+3.5中，令x＝1.5得y＝﹣0.2×1.52+3.5＝3.05，
∴篮圈中心的纵坐标为3.05，
∴篮圈中心到地面的距离为3.05米；
（2）设球出手时，他跳离地面的高度是h米，则出手点坐标为（﹣2.5，1.8+0.2+h），
∴1.8+0.25+h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，
解得h＝0.2，
∴球出手时，他跳离地面的高度是0.2米；
（3）在y＝﹣0.2x2+3.5中，令y＝3.05得：3.05＝﹣0.2x2+3.5，
解得x＝1.5（舍去）或x＝﹣1.5，
∵﹣1.5﹣（﹣2.5）＝1，
∴两名运动员之间的距离不能超过1米．
23．【分析】（1）将点C坐标代入解析式求得a即可；
（2）先根据抛物线解析式求得点M、B、C的坐标，继而可得线段BC、CM、BM的长，根据勾股定理的逆定理即可判断；
（3）由S△PCM＝S△PCH﹣S△CHM＝CH×（xM﹣xP），S△APB＝AB×yP，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+1）2﹣4与y轴相交于点C（0，﹣3）．
∴﹣3＝a﹣4，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3；
（2）△BCM是直角三角形，理由：
∵由（1）知抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，
∴M（﹣1，﹣4），
令y＝0，得：x2+2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC2＝9+9＝18，CM2＝1+1＝2，BM2＝4+16＝20，
∴BC2+CM2＝BM2，
∴△BCM是直角三角形；
（3）设点P（t，t2+2t﹣3），延长PM交y轴于点H，
由点P、M的坐标得，直线PM的表达式为：y＝（t+1）（x+1）﹣4，
当x＝0时，y＝（t+1）（x+1）﹣4＝t﹣3，即点H（0，t﹣3），
则CH＝﹣3﹣（t﹣3）＝﹣t，
则S△PCM＝S△PCH﹣S△CHM＝CH×（xM﹣xP）＝（﹣t）（﹣1﹣t）＝（t2+t），
而S△APB＝AB×yP＝2yP＝2（t2+2t﹣3）＝（t2+t），
解得：x＝，
则点P的坐标为：（，）或（，）．