人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
第 2 章直线和圆的方程
2.4.2圆的一般方程
圆的标准方程:
特征：
直接看出圆心与半径
知识回顾
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思考：我们知道，方程表示以为圆心，为半径的圆.可以将此方程变形为.
l
一般地，圆的标准方程可以变形为
(2)的形式.
问题1：方程是否一定可以表示一个圆？如果可以表示一个圆，其中的应满足什么条件？
(2)
将方程(2)的左边配方，并把常数项移到右边，得
①
(1)当时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)
表示以为圆心，为半径的圆；
(2)当时，方程(2)只有实数解，，
它表示一个点；
(3)当时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
问题1：方程是否一定可以表示一个圆？如果可以表示一个圆，其中的应满足什么条件？
我们把方程 （ ）叫做圆的一般方程.
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① 与系数相同并且不等于0；
②没有这样的二次项；
③圆心为，半径.
说明：
追问：圆的标准方程与圆的一般方程有什么关系？
问题2：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
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圆的标准方程明确地表达了圆的几何元素，即圆心坐标和半径长(重“形”).圆的一般方程表现出明显的代数形式(重“数”)，圆心和半径长需要代数运算才能得出.
练习1.判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径
(5) 2x2+2y2-12x+4y=0
(1) x2+2y2-6x+4y-1=0
(3) x2+y2-12x+6y+50=0
(2) x2+y2-3xy+5x+2y=0
圆心（1，-2） 半径3
圆心（3，-1） 半径
不是
不是
不是
(4) x2+y2-2x+4y-4=0
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.
解1：(待定系数法)
设过O, M1, M2的圆方程为
则
∴过O, M1, M2的圆方程为
解2：(待定系数法)
设过O, M1, M2的圆方程为
则
∴过O, M1, M2的圆方程为
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.
追问2：例的两种解法比较，你有什么体会？
追问1.求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是什么？
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于或的方程组；
(3)解出或，得到标准方程或一般方程.
解3：(几何方法)

l′

x
O(0,0)
y
M1(1,1)


M2(4,2)
l
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.
练习2.求圆心在直线上，且过点和的圆的一般方程.
解：设所求圆的一般方程为，则圆心为.
∵圆心在直线上，∴.
又∵点和在圆上，
∴.
.③
解③组成的方程组，得.
∴所求圆的一般方程为.
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
.
O
x
y
.B(4,3)
.
A(x0,y0)
.
M(x,y)
追问：什么是轨迹和轨迹方程？
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
.
O
x
y
.B(4,3)
.
A(x0,y0)
.
M(x,y)
相关点法步骤：
（1）设动点坐标为（求谁设谁）
（2）用动点坐标把相关点的坐标表示出来
（3）把相关点的坐标代入已知的轨迹
（4）整理化简，得到动点的轨迹方程.
练习3.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
所以点M的轨迹是以为圆心,半径长是1的圆.
3.方程形式的选用：
①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程;
②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解.
2.一般方程 标准方程
配方
展开
4.轨迹方程的求法：相关点法
课堂小结
1.我们把方程 （ ）叫做
圆的一般方程.
圆心为，半径.