2023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷1
一、单项选择题（每题5分，共40分）
1．（2022高二上·清远期中）在下列条件中，使与 ，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高二上·重庆市月考）已知直线l过点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ）
A． B．4 C． D．3
3．（2023高二上·魏县期末）已知与是直线为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论如何，总是无解
B．无论如何，总有唯一解
C．存在，使之恰有两解
D．存在，使之有无穷多解
4．（2023高二上·淮安开学考）在平面直角坐标系中，已知点P在直线上，且点P在第四象限，点．以PQ为直径的圆C与直线l的另外一个交点为T，满足，则圆C的直径为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二上·东城期末）圆心为，半径的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023高二上·大兴期末）已知M是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．（2023高二上·石景山期末）设椭圆离心率为e，双曲线的渐近线的斜率小于，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·定州期末）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（每题5分，共20分）
9．（2023高二上·临安开学考）是空间的一个基底，与 构成基底的一个向量可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高二上·山西期中）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（ ）
A．若的中点为M，则四面体是鳖臑
B．与所成角的余弦值是
C．点S是平面内的动点，若，则动点S的轨迹是圆
D．过点E，F，G的平面与四棱锥表面交线的周长是
11．（2022高二上·山西期中）下列关于直线方程的说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角可以是
B．直线过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为
C．过点的直线的直线方程还可以写成
D．经过两点的直线方程可以表示为
12．（2022高二上·山东期中）如图，在正三棱柱中，若，则（ ）
A．三棱锥的体积为 B．三棱锥的体积为
C．点C到直线的距离为 D．点C到直线的距离为
三、填空题（每题6分，共30分）
13．（2022高二上·丽水期末）已知点，，向量，则点的坐标为 ．
14．（2023高二上·吉林开学考）如图，正方体中，E为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
15．（2022高二上·江西月考）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数的值为 .
16．（2022高二上·江西期中）写出一个与轴相切，且圆心在轴上的圆的方程： .
17．（2022高二上·深圳月考）圆与圆的公切线方程为 ．
四、解答题（共5题，共60分）
18．（2023高二上·商丘期末）已知动点到点的距离与到轴的距离的差为2.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点的直线与动点的轨迹交于两点，直线与轴交于点，过作直线的垂线，垂足分别为，若（S表示面积），求.
19．（2023高二上·淮安开学考）已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线，，切点为.
（1）若，试求点的坐标；
（2）求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
20．（2023高二上·石景山期末）在中，边上的高所在的直线方程为边所在直线方程为．求点A和点C的坐标．
21．（2023高二上·石景山期末）已知椭圆的一个焦点为，且经过点和．
（1）求椭圆C的方程；
（2）O为坐标原点，设，点P为椭圆C上不同于M、N的一点，直线与直线交于点A，直线与x轴交于点B，求证：和面积相等．
22．（2023高二上·临安开学考）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，四边形为梯形，，.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】对于A选项，，由于，所以不能得出共面.
对于B选项，由于，则为共面向量，所以共面.
对于C选项， ，由于，所以不能得出共面.
对于D选项，由得，
而，所以不能得出共面，
故答案为：B
【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.
2．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为
，
又为直线外一点，且直线过点， ，
，
点到直线的距离为
故答案为：A．
【分析】 根据直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为，计算代入点到直线的距离公式计算即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】直线的斜率；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】与是直线为常数)上两个不同的点，
的斜率存在，
即，并且，
①②得：，
即.
方程组有唯—解.
故答案为：B.
【分析】利用与是直线为常数)上两个不同的点，所以直线的斜率存在，即，并且，所以，进而得出，从而得出方程组有唯—解。
4．【答案】D
【知识点】两条直线垂直的判定；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵P在直线上，且，
∴m
∴，
∵，
∴过的方程为，
与方程联立，
解得 ，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】
根据题意画图，根据两点距离公式求出，再根据直径求出即可.
5．【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】根据题意，圆心为，半径，
圆的标准方程为。
故答案为：B．
【分析】利用圆心坐标和半径长得出圆的标准方程。
6．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设圆的圆心为，点到直线的距离为，过点作直线的垂线，垂足为，
则点到直线的距离为，所以，
又因为直线恒过定点，则垂足的轨迹为以为直径的圆，
则，所以
故答案为：B
【分析】设圆的圆心为，直线恒过定点，则点到直线的距离时与直线垂直，所以，即可得解.
7．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据双曲线方程可得，其渐近线方程为，
又因为，且渐近线的斜率小于，即；
所以，椭圆的离心率
即离心率e的取值范围是.
故答案为：B
【分析】根据渐近线斜率的取值范围可得出a，b的关系，再根据椭圆离心率的定义即可求得椭圆的 离心率e的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】由题意知，连接，设，设 ，
由双曲线的定义可得，
点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，
可得 ，则 ，即，
在 中， ，
由 ，则 ，由双曲线的定义可得 ，
因为，故，所以，
在中， ，
由余弦定理可得：，
即，所以，
结合，可得 ，
所以，故
所以双曲线的离心率为，则，
故答案为：；D
【分析】由题意结合焦距定义和双曲线中a，b，c三者的关系式知，连接，设，设 ，由双曲线的定义可得，再利用点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，可得 ，再结合勾股定理得出，在 中结合余弦函数的定义得出，由 ，则 ，由双曲线的定义可得 ，再利用，故，所以，在中， ，由余弦定理可得， 结合，可得 ，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出，再结合双曲线的离心率公式得出双曲线的离心率的值。
9．【答案】A,C
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】 解：因为， ，
可知 ， 均与 共面，不能构成基底的一个向量
故B、D错误；
假设 ，
则，但此方程组无解，
所以 与 不共面，可以构成基底，故A正确；
假设 ，
则，但此方程组无解，
所以 与 不共面，可以构成基底，故C正确；
故答案为：AC.
【分析】根据空间向量基本定理逐项分析判断.
10．【答案】A,B,C
【知识点】棱锥的结构特征；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】连接，
因为底面，面，所以，
又，面，面，，
所以面，又面，所以，
所以面MCB为直角三角形，
所以，又
由勾股定理知，所以面MBD为直角三角形，
又面BCD，面DCM均为直角三角形，
所以四面体是鳖臑，所以A符合题意；
以D为坐标原点，分别以为正半轴建系如图，
则，
故，，.
故与所成角的余弦值
，B符合题意；
对于C：因 ，，所以的轨迹是以为焦点的椭球面，
又，，
，又面，面，，
所以面，
即面垂直于椭球的长轴，故面截椭球的截面为圆，
所以动点S的轨迹是圆，所以C符合题意；
对于D：设平面的法向量为，
由可取，
设过点E，F，G的平面与交于，与交于，设，
故，又因为平面，
所以，解得，，
又，
由几何体的对称性知，
所以截面周长为，D不符合题意，
故答案为：ABC.
【分析】根据“鳖臑”的定义可判断A；以D为坐标原点，分别以为正半轴建系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可判断B、C、D.
11．【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】对于A，当时，直线方程为：，此时直线倾斜角为，A符合题意；
对于B，当直线过坐标原点时，，此时其在两坐标轴上的截距相等；
当直线不过坐标原点时，设，则，；
综上所述：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：或，B不符合题意；
对于C，在直线上，，
则，，C符合题意；
对于D，若或，则过两点的直线无法表示为，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】 由直线倾斜角的定义可判断A；分直线过坐标原点和直线不过坐标原点两种情况求解直线方程可判断B；可判断C；由直线的两点式方程可判断D.
12．【答案】A,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】三棱锥即三棱锥，其体积为，A符合题意，B不正确；
取AC的中点O，则，，
以O为原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立如图空间直角坐标系，
则，，，所以，，
所以在上的投影的长度为，
故点C到直线的距离，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】利用等体积法可求出三棱锥的体积，即可判断A、B；利用等面积法点C到直线的距离，即可判断C、D.
13．【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】设 的坐标为，则 ，
因为 ，可得，即，
所以点的坐标为 .
故答案为： .
【分析】设 的坐标为，根据向量的坐标运算求解.
14．【答案】
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，
可得，
设平面 的一个法向量为，则，
令，则，可得，
则，
所以 直线与平面所成角的正弦值为 .
故答案为： .
【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求平面 的一个法向量，利用空间向量求线面夹角.
15．【答案】1
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】因为直线在两坐标轴上的截距相等，
当时，直线方程为：，与轴平行，不符合题意；
当时，令得：，令得：，
则，解得：，
综上：实数的值为1，
故答案为：1.
【分析】根据直线在两坐标轴上的截距相等得到关于m的方程，求解可得实数的值.
16．【答案】（答案不唯一）
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】设圆心，则所求圆的方程为，即。
故答案为：（答案不唯一）。
【分析】利用已知条件结合圆与y轴相切位置关系判断方法，进而设圆心，进而设出所求圆的标准方程，再转化为圆的一般方程为。
17．【答案】
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：圆，即，
得，
所以
故两圆内切，公切线只有一条，与两圆圆心的连线即x轴垂直，
由得
所以切点为，
故公切线方程为．
故答案为：．
【分析】根据两圆的位置关系可得两圆内切，公切线只有一条，与两圆圆心的连线即x轴垂直，把两圆方程联立求出切点，进而可得公切线方程.
18．【答案】（1）解：∵到的距离与到轴的距离的差为2，则到的距离与到直线的距离相等，
∴动点的轨迹是抛物线，其方程为.
（2）解：设.
∵，则，
∴.
又∵，则，
解得，
故.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）根据题意转化为到的距离与到直线的距离相等，结合抛物线的定义，即可求解；
（2）设，根据题意得到和，再由，化简得到，结合抛物线的定义，即可求解.
19．【答案】（1）解：设，
因为是圆的切线，，
所以，，
所以，解得，，
故所求点的坐标为，或.
（2）证明：设，的中点，
因为是圆的切线，
所以经过，，三点的圆是以为圆心，为半径的圆。
故其方程为，
化简，得，此式是关于的恒等式，
所以，解得或，
所以经过，，三点的圆必过定点和.
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】 (1)、设，因为是圆的切线，，求出MP，代入圆的方程求出.
(2)、 设，的中点，经过，，三点的圆是以为圆心，为半径的圆，求出方程，求出定点.
20．【答案】解：设边上的高线为，则直线联立可得点的坐标，即
即
又，所以的方程为，即
直线联立可得点的坐标，即，即
故，.
【知识点】直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】将BC边的高线与AC边的方程联立，解出A的坐标，利用C在AC上，且C也在BC上，列出方程组，求解可得C的坐标.
21．【答案】（1）解：由题意可知，椭圆的半焦距，
将代入椭圆方程得，即，
所以，
椭圆C的方程为.
（2）解：根据题意，设，
又，，如下图所示，
则直线、的斜率均存在，且；
所以，直线方程为
又直线与直线交于点A，所以
又因为，可得；
所以，的面积为
同理，直线方程为
直线与x轴交于点B，易得，则
所以，的面积为
要证明和面积相等，即证明成立即可，
整理得，由点P在椭圆C上可知，，
即，得，
即显然成立；
所以和面积相等.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】(1)根据椭圆焦点坐标和经过的两点即可求得椭圆C的方程；
(2)设出点P的坐标，即可表示出A，B两点坐标，再写出 和的面积公式，再利用点P在椭圆上即可证明等式成立，得出 和面积相等.
22．【答案】（1）解：取中点，连接，
分别为中点，，，
，，又，
，，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）解：取中点，连接，
，，四边形为平行四边形，
又，，即；
为等边三角形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面；
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
设，，则，，，，，
，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
，解得：，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1) 根据平行的性质可得 ，结合线面平行的判定定理分析证明；
(2)根据面面垂直的性质定理可得平面 ，以为坐标原点，正方向为轴，可建立示空间直角坐标系，利用空间向量求面面夹角.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷1
一、单项选择题（每题5分，共40分）
1．（2022高二上·清远期中）在下列条件中，使与 ，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】对于A选项，，由于，所以不能得出共面.
对于B选项，由于，则为共面向量，所以共面.
对于C选项， ，由于，所以不能得出共面.
对于D选项，由得，
而，所以不能得出共面，
故答案为：B
【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.
2．（2022高二上·重庆市月考）已知直线l过点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为
，
又为直线外一点，且直线过点， ，
，
点到直线的距离为
故答案为：A．
【分析】 根据直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为，计算代入点到直线的距离公式计算即可得答案.
3．（2023高二上·魏县期末）已知与是直线为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论如何，总是无解
B．无论如何，总有唯一解
C．存在，使之恰有两解
D．存在，使之有无穷多解
【答案】B
【知识点】直线的斜率；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】与是直线为常数)上两个不同的点，
的斜率存在，
即，并且，
①②得：，
即.
方程组有唯—解.
故答案为：B.
【分析】利用与是直线为常数)上两个不同的点，所以直线的斜率存在，即，并且，所以，进而得出，从而得出方程组有唯—解。
4．（2023高二上·淮安开学考）在平面直角坐标系中，已知点P在直线上，且点P在第四象限，点．以PQ为直径的圆C与直线l的另外一个交点为T，满足，则圆C的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线垂直的判定；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵P在直线上，且，
∴m
∴，
∵，
∴过的方程为，
与方程联立，
解得 ，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】
根据题意画图，根据两点距离公式求出，再根据直径求出即可.
5．（2023高二上·东城期末）圆心为，半径的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】根据题意，圆心为，半径，
圆的标准方程为。
故答案为：B．
【分析】利用圆心坐标和半径长得出圆的标准方程。
6．（2023高二上·大兴期末）已知M是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设圆的圆心为，点到直线的距离为，过点作直线的垂线，垂足为，
则点到直线的距离为，所以，
又因为直线恒过定点，则垂足的轨迹为以为直径的圆，
则，所以
故答案为：B
【分析】设圆的圆心为，直线恒过定点，则点到直线的距离时与直线垂直，所以，即可得解.
7．（2023高二上·石景山期末）设椭圆离心率为e，双曲线的渐近线的斜率小于，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据双曲线方程可得，其渐近线方程为，
又因为，且渐近线的斜率小于，即；
所以，椭圆的离心率
即离心率e的取值范围是.
故答案为：B
【分析】根据渐近线斜率的取值范围可得出a，b的关系，再根据椭圆离心率的定义即可求得椭圆的 离心率e的取值范围.
8．（2023高二上·定州期末）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】由题意知，连接，设，设 ，
由双曲线的定义可得，
点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，
可得 ，则 ，即，
在 中， ，
由 ，则 ，由双曲线的定义可得 ，
因为，故，所以，
在中， ，
由余弦定理可得：，
即，所以，
结合，可得 ，
所以，故
所以双曲线的离心率为，则，
故答案为：；D
【分析】由题意结合焦距定义和双曲线中a，b，c三者的关系式知，连接，设，设 ，由双曲线的定义可得，再利用点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，可得 ，再结合勾股定理得出，在 中结合余弦函数的定义得出，由 ，则 ，由双曲线的定义可得 ，再利用，故，所以，在中， ，由余弦定理可得， 结合，可得 ，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出，再结合双曲线的离心率公式得出双曲线的离心率的值。
二、多项选择题（每题5分，共20分）
9．（2023高二上·临安开学考）是空间的一个基底，与 构成基底的一个向量可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】 解：因为， ，
可知 ， 均与 共面，不能构成基底的一个向量
故B、D错误；
假设 ，
则，但此方程组无解，
所以 与 不共面，可以构成基底，故A正确；
假设 ，
则，但此方程组无解，
所以 与 不共面，可以构成基底，故C正确；
故答案为：AC.
【分析】根据空间向量基本定理逐项分析判断.
10．（2022高二上·山西期中）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（ ）
A．若的中点为M，则四面体是鳖臑
B．与所成角的余弦值是
C．点S是平面内的动点，若，则动点S的轨迹是圆
D．过点E，F，G的平面与四棱锥表面交线的周长是
【答案】A,B,C
【知识点】棱锥的结构特征；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】连接，
因为底面，面，所以，
又，面，面，，
所以面，又面，所以，
所以面MCB为直角三角形，
所以，又
由勾股定理知，所以面MBD为直角三角形，
又面BCD，面DCM均为直角三角形，
所以四面体是鳖臑，所以A符合题意；
以D为坐标原点，分别以为正半轴建系如图，
则，
故，，.
故与所成角的余弦值
，B符合题意；
对于C：因 ，，所以的轨迹是以为焦点的椭球面，
又，，
，又面，面，，
所以面，
即面垂直于椭球的长轴，故面截椭球的截面为圆，
所以动点S的轨迹是圆，所以C符合题意；
对于D：设平面的法向量为，
由可取，
设过点E，F，G的平面与交于，与交于，设，
故，又因为平面，
所以，解得，，
又，
由几何体的对称性知，
所以截面周长为，D不符合题意，
故答案为：ABC.
【分析】根据“鳖臑”的定义可判断A；以D为坐标原点，分别以为正半轴建系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可判断B、C、D.
11．（2022高二上·山西期中）下列关于直线方程的说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角可以是
B．直线过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为
C．过点的直线的直线方程还可以写成
D．经过两点的直线方程可以表示为
【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】对于A，当时，直线方程为：，此时直线倾斜角为，A符合题意；
对于B，当直线过坐标原点时，，此时其在两坐标轴上的截距相等；
当直线不过坐标原点时，设，则，；
综上所述：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：或，B不符合题意；
对于C，在直线上，，
则，，C符合题意；
对于D，若或，则过两点的直线无法表示为，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】 由直线倾斜角的定义可判断A；分直线过坐标原点和直线不过坐标原点两种情况求解直线方程可判断B；可判断C；由直线的两点式方程可判断D.
12．（2022高二上·山东期中）如图，在正三棱柱中，若，则（ ）
A．三棱锥的体积为 B．三棱锥的体积为
C．点C到直线的距离为 D．点C到直线的距离为
【答案】A,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】三棱锥即三棱锥，其体积为，A符合题意，B不正确；
取AC的中点O，则，，
以O为原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立如图空间直角坐标系，
则，，，所以，，
所以在上的投影的长度为，
故点C到直线的距离，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】利用等体积法可求出三棱锥的体积，即可判断A、B；利用等面积法点C到直线的距离，即可判断C、D.
三、填空题（每题6分，共30分）
13．（2022高二上·丽水期末）已知点，，向量，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】设 的坐标为，则 ，
因为 ，可得，即，
所以点的坐标为 .
故答案为： .
【分析】设 的坐标为，根据向量的坐标运算求解.
14．（2023高二上·吉林开学考）如图，正方体中，E为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
【答案】
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，
可得，
设平面 的一个法向量为，则，
令，则，可得，
则，
所以 直线与平面所成角的正弦值为 .
故答案为： .
【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求平面 的一个法向量，利用空间向量求线面夹角.
15．（2022高二上·江西月考）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数的值为 .
【答案】1
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】因为直线在两坐标轴上的截距相等，
当时，直线方程为：，与轴平行，不符合题意；
当时，令得：，令得：，
则，解得：，
综上：实数的值为1，
故答案为：1.
【分析】根据直线在两坐标轴上的截距相等得到关于m的方程，求解可得实数的值.
16．（2022高二上·江西期中）写出一个与轴相切，且圆心在轴上的圆的方程： .
【答案】（答案不唯一）
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】设圆心，则所求圆的方程为，即。
故答案为：（答案不唯一）。
【分析】利用已知条件结合圆与y轴相切位置关系判断方法，进而设圆心，进而设出所求圆的标准方程，再转化为圆的一般方程为。
17．（2022高二上·深圳月考）圆与圆的公切线方程为 ．
【答案】
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：圆，即，
得，
所以
故两圆内切，公切线只有一条，与两圆圆心的连线即x轴垂直，
由得
所以切点为，
故公切线方程为．
故答案为：．
【分析】根据两圆的位置关系可得两圆内切，公切线只有一条，与两圆圆心的连线即x轴垂直，把两圆方程联立求出切点，进而可得公切线方程.
四、解答题（共5题，共60分）
18．（2023高二上·商丘期末）已知动点到点的距离与到轴的距离的差为2.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点的直线与动点的轨迹交于两点，直线与轴交于点，过作直线的垂线，垂足分别为，若（S表示面积），求.
【答案】（1）解：∵到的距离与到轴的距离的差为2，则到的距离与到直线的距离相等，
∴动点的轨迹是抛物线，其方程为.
（2）解：设.
∵，则，
∴.
又∵，则，
解得，
故.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）根据题意转化为到的距离与到直线的距离相等，结合抛物线的定义，即可求解；
（2）设，根据题意得到和，再由，化简得到，结合抛物线的定义，即可求解.
19．（2023高二上·淮安开学考）已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线，，切点为.
（1）若，试求点的坐标；
（2）求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
【答案】（1）解：设，
因为是圆的切线，，
所以，，
所以，解得，，
故所求点的坐标为，或.
（2）证明：设，的中点，
因为是圆的切线，
所以经过，，三点的圆是以为圆心，为半径的圆。
故其方程为，
化简，得，此式是关于的恒等式，
所以，解得或，
所以经过，，三点的圆必过定点和.
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】 (1)、设，因为是圆的切线，，求出MP，代入圆的方程求出.
(2)、 设，的中点，经过，，三点的圆是以为圆心，为半径的圆，求出方程，求出定点.
20．（2023高二上·石景山期末）在中，边上的高所在的直线方程为边所在直线方程为．求点A和点C的坐标．
【答案】解：设边上的高线为，则直线联立可得点的坐标，即
即
又，所以的方程为，即
直线联立可得点的坐标，即，即
故，.
【知识点】直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】将BC边的高线与AC边的方程联立，解出A的坐标，利用C在AC上，且C也在BC上，列出方程组，求解可得C的坐标.
21．（2023高二上·石景山期末）已知椭圆的一个焦点为，且经过点和．
（1）求椭圆C的方程；
（2）O为坐标原点，设，点P为椭圆C上不同于M、N的一点，直线与直线交于点A，直线与x轴交于点B，求证：和面积相等．
【答案】（1）解：由题意可知，椭圆的半焦距，
将代入椭圆方程得，即，
所以，
椭圆C的方程为.
（2）解：根据题意，设，
又，，如下图所示，
则直线、的斜率均存在，且；
所以，直线方程为
又直线与直线交于点A，所以
又因为，可得；
所以，的面积为
同理，直线方程为
直线与x轴交于点B，易得，则
所以，的面积为
要证明和面积相等，即证明成立即可，
整理得，由点P在椭圆C上可知，，
即，得，
即显然成立；
所以和面积相等.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】(1)根据椭圆焦点坐标和经过的两点即可求得椭圆C的方程；
(2)设出点P的坐标，即可表示出A，B两点坐标，再写出 和的面积公式，再利用点P在椭圆上即可证明等式成立，得出 和面积相等.
22．（2023高二上·临安开学考）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，四边形为梯形，，.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）解：取中点，连接，
分别为中点，，，
，，又，
，，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）解：取中点，连接，
，，四边形为平行四边形，
又，，即；
为等边三角形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面；
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
设，，则，，，，，
，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
，解得：，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1) 根据平行的性质可得 ，结合线面平行的判定定理分析证明；
(2)根据面面垂直的性质定理可得平面 ，以为坐标原点，正方向为轴，可建立示空间直角坐标系，利用空间向量求面面夹角.
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