2023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷2
一、单项选择题（每题5分，共40分）
1．（2023高二上·朝阳开学考）已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得”是“平面ABC”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；共面向量定理
【解析】【解答】解：充分性：存在实数，，使得成立，则共线，平面或平面，充分性不成立，
必要性：若平面，则共线，存在实数，，使得成立，必要性成立，
“存在实数x，y，使得”是“平面ABC”必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用存在实数，，使得平面或平面，结合充分必要条件定义判断.
2．（2023高二下·北仑开学考）已知空间向量，，，若，则（ ）
A．2 B．-2 C．14 D．-14
【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，
所以，
所以m-n=6-(-8)=14，
故选：C
【分析】利用空间向量平行的性质，列出方程组，解得m，n即可得答案.
3．（2023高二下·平阳月考）已知直线斜率为k，且，那么倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】直线l的斜率为k，且，
∴，.
∴.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而得出倾斜角的取值范围。
4．（2023高三上·上海市开学考）已知三条直线l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】C
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：由题意知与不平行，、、将平面分为六个部分则、、交于一点，或与平行，或与平行，
当时，与平行满足题意；，斜率为，斜率为，当时，即，与平行满足题意；
联立求得，代入：求得，此时、、交于一点，满足题意的有3个.
故答案为：C.
【分析】由题意知、、将平面分为六个部分则、、交于一点，或与平行，或与平行，进而讨论求解.
5．（2023高二下·江门期末）若直线与圆相切，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆可化为，
可知圆心为，半径，
由题意可得，即，解得.
故答案为：A.
【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再利用圆的切线性质列式求解即可.
6．（2023高三上·广州月考）已知分别是椭圆的左，右焦点，M，N是椭圆上两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：连接，设
，则，
因为，即，则
，
可得，解得，
所以
，
在
中，因为，
可得
，则，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：C.
【分析】设，根据椭圆的定义结合勾股定理解得，进而中，利用勾股定理运算求解即可.
7．（2023高三上·深圳月考）分别是双曲线的左 右焦点，直线为双曲线的一条渐近线，关于直线的对称点为，且在以为圆心 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 与关于渐近线的对称，又为，中点，与渐近线平行， ，
，
，即，
，化简得
双曲线的离心率.
故答案为：D.
【分析】由题可得与渐近线平行，所以，，进而化简得.
8．（2023高三上·上海市开学考）已知抛物线y2＝2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，A'、B'分别为A、B在l
上的射影，M为A'B'的中点
①A'F⊥B'F；
②AM⊥BM；
③A'F∥BM；
④A'F与AM的交点在y轴上；
⑤AB'与A'B交于原点．
其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：①如图：
由抛物线的定义得，，
又轴，，
同理，，，①正确；
②如图：
取的中点，连接，又为的中点，
点在以为直径的圆上，，②正确；
③如图：
，，，，
，，在中，，，
又由②知，，③正确；
④由③知与的交点为中点，又为抛物线焦点，在抛物线准线上，与的交点在轴上，④正确；
⑤设，，则，，设直线方程为：，
联立，得，则，，，直线方程为：过原点，同理可以证明直线过原点，与交于原点，⑤正确.
故答案为：D.
【分析】 ① 根据抛物线的定义和平行得，，所以得到；
② 根据抛物线定义和梯形的中位线得点在以为直径的圆上，所以；
③ 在中，通过证明，，得到结合②判断；
④ 由③知与的交点为中点结合为抛物线焦点，在抛物线准线上判断；
⑤ 设直线方程与抛物线联立，求直线斜率，写出直线方程结合韦达定理化简证明过原点，同理直线过原点，所以判断与交于原点；
二、多项选择题（每题5分，共20分）
9．（2022高二上·和田期中）在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，存在唯一点P使得DP与直线的夹角为
C．当时，的最小值为
D．当点P落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】当时，如图（1），的轨迹为线段，由正方体的结构特征，可知平面平面，而平面，∴平面，A符合题意；
当时，如图（1），点的轨迹为线段，直线直线，当与重合时，与直线所成角最大，即与直线所成角最大，最大为，B不符合题意；
当时，如图（2），点轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，可知．C符合题意；
当点落在以为球心，为半径的球面上时，点的轨迹为以为圆心，1为半径的四分之一圆弧，建立如图所示的平面直角坐标系，则，
则的轨迹方程为：，设，
有可得，
故，故，
因为，故当时，．D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】根据已知条件，结合向量关系，分别对答案进行空间关系的判断和求值，求出结果即可.
10．（2022高二上·湖北期中）下列四个命题中真命题有（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1
C．点关于直线的对称点为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的截距式方程
【解析】【解答】对A：任意一条直线都有倾斜角，但直线倾斜角为时，没有斜率，A符合题意；
对B：直线与直线平行，故可得，解得，
则直线，即，则两平行线之间的距离，B不符合题意；
对C：设点关于直线的对称点为，则，且，
解得，故点关于直线的对称点为，C符合题意；
对D：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】对A：根据直线倾斜角和斜率的相关知识，即可判断；对B：根据直线平行求得参数，再利用平行线之间的距离公式求解两平行直线之间的距离，即可判断；对C：设出所求对称点，根据中点坐标满足直线，以及直线斜率之间的关系，即可求得结果，从而判断；对D：考虑直线经过原点的情况，即可判断.
11．（2023高二下·温州期末）已知圆，点，点在圆上，为原点，则下列命题正确的是（ ）
A．在圆上 B．线段长度的最大值为
C．当直线与圆相切时， D．的最大值为
【答案】B,C,D
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】A、 把点， 代入圆的方程可得，不在圆上，选项错误.
B、线段，长度的最大值为，选项正确.
C、当直线与圆相切时，解得，选项正确.
D、设动点，，，，把，
代入，，最大值为 ，选项正确.
故选：BCD.
【分析】把点，代入圆的方程判断A，圆外一点到圆上一点的距离判断B选项，切线长与半径及点与圆心距离的勾股定理判断C，向量乘积判断D选项.
12．（2023高二下·杭州期末）设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线离心率的最小值为4
B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】A、由题意知 ， 双曲线离心率，当且仅当时等号成立，双曲线离心率的最小值为2，A错误；
B、由A知， 双曲线 ，双曲线的渐近线方程为，即，B正确；
C、当直线斜率不存在， 成立
若直线斜率存在，设，，设中点为，中点为，设直线：，联立 ，两式相减化简得，即，求得，
双曲线的渐近线方程为，联立 ，求得，，
，
，重合，或，C正确；
D、不妨设点，在第一象限，在第四象限，分别作，垂直于轴，垂足分别为，，则
若，则 双曲线，双曲线的渐近线方程为，
双曲线在第一象限的方程为，，在点A得切线方程为，联立 ，求得，，，
，D正确.
故答案为：BCD
【分析】A根据离心率公式结合基本不等式求解判断；B结合A得进而求解渐近线方程判断；C求出设中点为和中点为得到，进而可以得到；D结合图形和渐近线得，再利用导数求出切线方程与渐近线方程联立求.
三、填空题（每题5分，共20分）
13．（2023高二上·湖北月考）在方向上的投影向量的坐标为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】在方向上的投影向量为：
，
故答案为：.
【分析】根据向量的夹角公式和共线向量定理，求得，即可求解.
14．（2023高一下·资阳期末）复平面内复数，对应的两点之间的距离为 .
【答案】5
【知识点】复数在复平面中的表示；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：复数，，对应的两点的坐标分别为（8，5），（4，2），再利用两点间距离公式得.
故答案为：5.
【分析】先求出复数对应两点的坐标，再利用两点间距离公式求解即可.
15．（2023高二上·淮安开学考）已知两定点，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为 .
【答案】12
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设，则
，
整理为：
，
的最大值为圆心距加上两个圆的半径，即，
故答案为：12.
【分析】设，根据距离公式整理可得，的最大值为圆心距加上两个圆的半径即可求出.
16．（2023高二下·崇明期末）抛物线的焦点到准线的距离是 .
【答案】2
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点为，准线为，
故抛物线的焦点到准线的距离是2.
故答案为：2.
【分析】分别求出抛物线的焦点和准线，从而求得答案.
四、解答题（共4题，共70分）
17．（2023高二下·遂宁期末）分别求适合下列条件的方程：
（1）长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）经过点的抛物线的标准方程.
【答案】（1）解：设椭圆的长轴长为，焦距为
由条件可得.所以.
所以，
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为
（2）解：当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，
此时，所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为.
综上所述，所求抛物线的标准方程为或
【知识点】椭圆的标准方程；抛物线的标准方程
【解析】【分析】（1）由已知条件确定a，c，再根据 求出b，再分焦点在x轴、焦点在y轴时两种情况求出椭圆标准方程；
（2）分焦点在x轴的负半轴时、焦点在y轴的负半轴时两种情况设出抛物线的标准方程，把点 代入进行求解，可得抛物线的标准方程.
18．（2023高三上·湛江开学考）如图，直三棱柱中，平面平面．
（1）证明：；
（2）若，为上一点，且，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：过作于，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，且平面，
所以，
在直三棱柱中，平面，且平面，
所以，
由可知，且，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
（2）解：以为坐标原点，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，即，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
所以，
，，
二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 过作于，根据面面垂直性质定理得平面，进而通过证明 和得到 平面，所以；
(2) 以为坐标原点，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 利用空间向量求二面角的余弦值．
19．（2023高二上·淮安开学考）在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为.
（1）求点和点的坐标；
（2）求边上的高所在的直线的斜截式方程.
【答案】（1）解：由已知应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，
由，
得，故，
由，
所以所在直线方程为，
所在直线方程为，
由，得
所以点和点的坐标为，.
（2）解：由（1）知所在直线方程为，
所以直线的斜率为，
因为，
所以直线所在的方程为，即，
所以直线的斜截式方程为.
【知识点】直线的斜率；直线的斜截式方程
【解析】【分析】 (1)、 由已知应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，先求出斜率，求出 AC方程与BC方程，求交点.
(2)、 由（1）知所在直线方程为，所以直线的斜率为，把带去求出即可.
20．（2023高二上·温州期末）已知点及圆C：．
（1）求过P且与圆C相切的直线方程；
（2）以PC为直径的圆交圆C于A，B两点，求．
【答案】（1）解：由题知，圆C的圆心，
当k不存在时，，符合题意．
当k存在时，设直线方程为，即
，所以
∴，即
综上所述，切线方程为或
（2）解：以PC为直径的圆的方程为
所以AB直线方程为
所以C到直线AB的距离为
∴.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】 (1)分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用点到直线的距离等于半径，即可求解出过P且与圆C相切的直线方程；
(2)两圆相减即可得公共弦所在的直线方程，再根据点到直线的距离公式与垂径定理即可求解出 .
21．（2023高二上·淮安开学考）已知圆.
（1）若圆上恰有三个点到直线(斜率存在)的距离为1，且在两坐标轴上的截距相等，求的方程.
（2）点为圆上任意一点，过点引单位圆的切线，切点试探究：平面内是否存在一点和固定常数，使得？
【答案】（1）解：圆标准方程为，圆心为，半径为，
圆上恰有三个点到直线(斜率存在)的距离为1，则圆心到直线的距离为，
由题意截距不为0时，设直线方程，所以，，
所以直线方程为．
截距为0时，设方程为，即，由，解得或，
直线方程为或，
综上，直线方程为或，．
（2）解：假设存在一点和固定常数，使得，设，，
由切线长公式得，
所以，
，又，
整理得：，这是关于的恒等式，
所以．显然，解得或．
所以存在满足题意的点和，，或，．
【知识点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】 (1)、 圆标准方程为，圆心为，半径为，求出直线方程为，设方程为，即，由，解得或，即可求出.
(2)、 由切线长公式得，整理得到关于的恒等式，求出即可.
22．（2023高二下·成都期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，的面积为，离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k的直线与圆相切，且l与椭圆C相交于两点，若弦长的取值范围为，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可知：，可得，，
所以椭圆C的方程为：
（2）解：设直线的方程为，，，
由，得，
联立，得，
恒成立，
则，
所以，
，
因为的取值范围为，
则，解得，
所以，
，
因为，则，
所以，
所以的取值范围为．
【知识点】平面向量的坐标运算；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）首先从椭圆的基本性质，结合离心率公式，联立方程组，求出a，b，c值，代入得椭圆的方程.
（2）由题意知，直线与圆相切，根据点到直线的距离公式，得到m、k的关系式，再由直线与椭圆存在两个交点，根据根的判别式和韦达定理，求出MN范围，得到k范围，最后结合向量的数量积，求出最终取值范围.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷2
一、单项选择题（每题5分，共40分）
1．（2023高二上·朝阳开学考）已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得”是“平面ABC”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023高二下·北仑开学考）已知空间向量，，，若，则（ ）
A．2 B．-2 C．14 D．-14
3．（2023高二下·平阳月考）已知直线斜率为k，且，那么倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023高三上·上海市开学考）已知三条直线l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
5．（2023高二下·江门期末）若直线与圆相切，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．（2023高三上·广州月考）已知分别是椭圆的左，右焦点，M，N是椭圆上两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高三上·深圳月考）分别是双曲线的左 右焦点，直线为双曲线的一条渐近线，关于直线的对称点为，且在以为圆心 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2023高三上·上海市开学考）已知抛物线y2＝2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，A'、B'分别为A、B在l
上的射影，M为A'B'的中点
①A'F⊥B'F；
②AM⊥BM；
③A'F∥BM；
④A'F与AM的交点在y轴上；
⑤AB'与A'B交于原点．
其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
二、多项选择题（每题5分，共20分）
9．（2022高二上·和田期中）在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，存在唯一点P使得DP与直线的夹角为
C．当时，的最小值为
D．当点P落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为
10．（2022高二上·湖北期中）下列四个命题中真命题有（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1
C．点关于直线的对称点为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
11．（2023高二下·温州期末）已知圆，点，点在圆上，为原点，则下列命题正确的是（ ）
A．在圆上 B．线段长度的最大值为
C．当直线与圆相切时， D．的最大值为
12．（2023高二下·杭州期末）设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线离心率的最小值为4
B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
三、填空题（每题5分，共20分）
13．（2023高二上·湖北月考）在方向上的投影向量的坐标为 ．
14．（2023高一下·资阳期末）复平面内复数，对应的两点之间的距离为 .
15．（2023高二上·淮安开学考）已知两定点，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为 .
16．（2023高二下·崇明期末）抛物线的焦点到准线的距离是 .
四、解答题（共4题，共70分）
17．（2023高二下·遂宁期末）分别求适合下列条件的方程：
（1）长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）经过点的抛物线的标准方程.
18．（2023高三上·湛江开学考）如图，直三棱柱中，平面平面．
（1）证明：；
（2）若，为上一点，且，求二面角的余弦值．
19．（2023高二上·淮安开学考）在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为.
（1）求点和点的坐标；
（2）求边上的高所在的直线的斜截式方程.
20．（2023高二上·温州期末）已知点及圆C：．
（1）求过P且与圆C相切的直线方程；
（2）以PC为直径的圆交圆C于A，B两点，求．
21．（2023高二上·淮安开学考）已知圆.
（1）若圆上恰有三个点到直线(斜率存在)的距离为1，且在两坐标轴上的截距相等，求的方程.
（2）点为圆上任意一点，过点引单位圆的切线，切点试探究：平面内是否存在一点和固定常数，使得？
22．（2023高二下·成都期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，的面积为，离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k的直线与圆相切，且l与椭圆C相交于两点，若弦长的取值范围为，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；共面向量定理
【解析】【解答】解：充分性：存在实数，，使得成立，则共线，平面或平面，充分性不成立，
必要性：若平面，则共线，存在实数，，使得成立，必要性成立，
“存在实数x，y，使得”是“平面ABC”必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用存在实数，，使得平面或平面，结合充分必要条件定义判断.
2．【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，
所以，
所以m-n=6-(-8)=14，
故选：C
【分析】利用空间向量平行的性质，列出方程组，解得m，n即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】直线l的斜率为k，且，
∴，.
∴.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而得出倾斜角的取值范围。
4．【答案】C
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：由题意知与不平行，、、将平面分为六个部分则、、交于一点，或与平行，或与平行，
当时，与平行满足题意；，斜率为，斜率为，当时，即，与平行满足题意；
联立求得，代入：求得，此时、、交于一点，满足题意的有3个.
故答案为：C.
【分析】由题意知、、将平面分为六个部分则、、交于一点，或与平行，或与平行，进而讨论求解.
5．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆可化为，
可知圆心为，半径，
由题意可得，即，解得.
故答案为：A.
【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再利用圆的切线性质列式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：连接，设
，则，
因为，即，则
，
可得，解得，
所以
，
在
中，因为，
可得
，则，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：C.
【分析】设，根据椭圆的定义结合勾股定理解得，进而中，利用勾股定理运算求解即可.
7．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 与关于渐近线的对称，又为，中点，与渐近线平行， ，
，
，即，
，化简得
双曲线的离心率.
故答案为：D.
【分析】由题可得与渐近线平行，所以，，进而化简得.
8．【答案】D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：①如图：
由抛物线的定义得，，
又轴，，
同理，，，①正确；
②如图：
取的中点，连接，又为的中点，
点在以为直径的圆上，，②正确；
③如图：
，，，，
，，在中，，，
又由②知，，③正确；
④由③知与的交点为中点，又为抛物线焦点，在抛物线准线上，与的交点在轴上，④正确；
⑤设，，则，，设直线方程为：，
联立，得，则，，，直线方程为：过原点，同理可以证明直线过原点，与交于原点，⑤正确.
故答案为：D.
【分析】 ① 根据抛物线的定义和平行得，，所以得到；
② 根据抛物线定义和梯形的中位线得点在以为直径的圆上，所以；
③ 在中，通过证明，，得到结合②判断；
④ 由③知与的交点为中点结合为抛物线焦点，在抛物线准线上判断；
⑤ 设直线方程与抛物线联立，求直线斜率，写出直线方程结合韦达定理化简证明过原点，同理直线过原点，所以判断与交于原点；
9．【答案】A,C,D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】当时，如图（1），的轨迹为线段，由正方体的结构特征，可知平面平面，而平面，∴平面，A符合题意；
当时，如图（1），点的轨迹为线段，直线直线，当与重合时，与直线所成角最大，即与直线所成角最大，最大为，B不符合题意；
当时，如图（2），点轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，可知．C符合题意；
当点落在以为球心，为半径的球面上时，点的轨迹为以为圆心，1为半径的四分之一圆弧，建立如图所示的平面直角坐标系，则，
则的轨迹方程为：，设，
有可得，
故，故，
因为，故当时，．D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】根据已知条件，结合向量关系，分别对答案进行空间关系的判断和求值，求出结果即可.
10．【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的截距式方程
【解析】【解答】对A：任意一条直线都有倾斜角，但直线倾斜角为时，没有斜率，A符合题意；
对B：直线与直线平行，故可得，解得，
则直线，即，则两平行线之间的距离，B不符合题意；
对C：设点关于直线的对称点为，则，且，
解得，故点关于直线的对称点为，C符合题意；
对D：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】对A：根据直线倾斜角和斜率的相关知识，即可判断；对B：根据直线平行求得参数，再利用平行线之间的距离公式求解两平行直线之间的距离，即可判断；对C：设出所求对称点，根据中点坐标满足直线，以及直线斜率之间的关系，即可求得结果，从而判断；对D：考虑直线经过原点的情况，即可判断.
11．【答案】B,C,D
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】A、 把点， 代入圆的方程可得，不在圆上，选项错误.
B、线段，长度的最大值为，选项正确.
C、当直线与圆相切时，解得，选项正确.
D、设动点，，，，把，
代入，，最大值为 ，选项正确.
故选：BCD.
【分析】把点，代入圆的方程判断A，圆外一点到圆上一点的距离判断B选项，切线长与半径及点与圆心距离的勾股定理判断C，向量乘积判断D选项.
12．【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】A、由题意知 ， 双曲线离心率，当且仅当时等号成立，双曲线离心率的最小值为2，A错误；
B、由A知， 双曲线 ，双曲线的渐近线方程为，即，B正确；
C、当直线斜率不存在， 成立
若直线斜率存在，设，，设中点为，中点为，设直线：，联立 ，两式相减化简得，即，求得，
双曲线的渐近线方程为，联立 ，求得，，
，
，重合，或，C正确；
D、不妨设点，在第一象限，在第四象限，分别作，垂直于轴，垂足分别为，，则
若，则 双曲线，双曲线的渐近线方程为，
双曲线在第一象限的方程为，，在点A得切线方程为，联立 ，求得，，，
，D正确.
故答案为：BCD
【分析】A根据离心率公式结合基本不等式求解判断；B结合A得进而求解渐近线方程判断；C求出设中点为和中点为得到，进而可以得到；D结合图形和渐近线得，再利用导数求出切线方程与渐近线方程联立求.
13．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】在方向上的投影向量为：
，
故答案为：.
【分析】根据向量的夹角公式和共线向量定理，求得，即可求解.
14．【答案】5
【知识点】复数在复平面中的表示；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：复数，，对应的两点的坐标分别为（8，5），（4，2），再利用两点间距离公式得.
故答案为：5.
【分析】先求出复数对应两点的坐标，再利用两点间距离公式求解即可.
15．【答案】12
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设，则
，
整理为：
，
的最大值为圆心距加上两个圆的半径，即，
故答案为：12.
【分析】设，根据距离公式整理可得，的最大值为圆心距加上两个圆的半径即可求出.
16．【答案】2
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点为，准线为，
故抛物线的焦点到准线的距离是2.
故答案为：2.
【分析】分别求出抛物线的焦点和准线，从而求得答案.
17．【答案】（1）解：设椭圆的长轴长为，焦距为
由条件可得.所以.
所以，
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为
（2）解：当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，
此时，所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为.
综上所述，所求抛物线的标准方程为或
【知识点】椭圆的标准方程；抛物线的标准方程
【解析】【分析】（1）由已知条件确定a，c，再根据 求出b，再分焦点在x轴、焦点在y轴时两种情况求出椭圆标准方程；
（2）分焦点在x轴的负半轴时、焦点在y轴的负半轴时两种情况设出抛物线的标准方程，把点 代入进行求解，可得抛物线的标准方程.
18．【答案】（1）证明：过作于，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，且平面，
所以，
在直三棱柱中，平面，且平面，
所以，
由可知，且，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
（2）解：以为坐标原点，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，即，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
所以，
，，
二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 过作于，根据面面垂直性质定理得平面，进而通过证明 和得到 平面，所以；
(2) 以为坐标原点，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 利用空间向量求二面角的余弦值．
19．【答案】（1）解：由已知应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，
由，
得，故，
由，
所以所在直线方程为，
所在直线方程为，
由，得
所以点和点的坐标为，.
（2）解：由（1）知所在直线方程为，
所以直线的斜率为，
因为，
所以直线所在的方程为，即，
所以直线的斜截式方程为.
【知识点】直线的斜率；直线的斜截式方程
【解析】【分析】 (1)、 由已知应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，先求出斜率，求出 AC方程与BC方程，求交点.
(2)、 由（1）知所在直线方程为，所以直线的斜率为，把带去求出即可.
20．【答案】（1）解：由题知，圆C的圆心，
当k不存在时，，符合题意．
当k存在时，设直线方程为，即
，所以
∴，即
综上所述，切线方程为或
（2）解：以PC为直径的圆的方程为
所以AB直线方程为
所以C到直线AB的距离为
∴.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】 (1)分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用点到直线的距离等于半径，即可求解出过P且与圆C相切的直线方程；
(2)两圆相减即可得公共弦所在的直线方程，再根据点到直线的距离公式与垂径定理即可求解出 .
21．【答案】（1）解：圆标准方程为，圆心为，半径为，
圆上恰有三个点到直线(斜率存在)的距离为1，则圆心到直线的距离为，
由题意截距不为0时，设直线方程，所以，，
所以直线方程为．
截距为0时，设方程为，即，由，解得或，
直线方程为或，
综上，直线方程为或，．
（2）解：假设存在一点和固定常数，使得，设，，
由切线长公式得，
所以，
，又，
整理得：，这是关于的恒等式，
所以．显然，解得或．
所以存在满足题意的点和，，或，．
【知识点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】 (1)、 圆标准方程为，圆心为，半径为，求出直线方程为，设方程为，即，由，解得或，即可求出.
(2)、 由切线长公式得，整理得到关于的恒等式，求出即可.
22．【答案】（1）解：由题意可知：，可得，，
所以椭圆C的方程为：
（2）解：设直线的方程为，，，
由，得，
联立，得，
恒成立，
则，
所以，
，
因为的取值范围为，
则，解得，
所以，
，
因为，则，
所以，
所以的取值范围为．
【知识点】平面向量的坐标运算；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）首先从椭圆的基本性质，结合离心率公式，联立方程组，求出a，b，c值，代入得椭圆的方程.
（2）由题意知，直线与圆相切，根据点到直线的距离公式，得到m、k的关系式，再由直线与椭圆存在两个交点，根据根的判别式和韦达定理，求出MN范围，得到k范围，最后结合向量的数量积，求出最终取值范围.
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