2023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷3
一、单项选择题（每题5分，共40分）
1．（2023高二上·临安开学考）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由题意可知：，
所以 在基底下的坐标为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意结合空间向量基本定理运算求解.
2．在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由距离公式可得到平面的距离.
故答案为：C.
【分析】直接利用空间向量的点到平面的距离公式计算即可.
3．（2023高二上·金华期末）直线的倾斜角为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】∵直线x+y﹣20的斜率k，设倾斜角为，则tan=
∴直线x+y﹣2 =0倾斜角为．
故答案为：C．
【分析】利用 已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而得出直线的倾斜角。
4．（2023高二上·温州期末）过两点，的直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的两点式方程
【解析】【解答】过两点，的直线的为，
令，解得：，
故答案为：A.
【分析】 由两点式得出直线方程，令，即可解出直线在y轴上的截距.
5．（2023高二上·永嘉期末）已知集合， ，则集合中的元素所构成的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】二元一次方程表示直线，当时，，直线过定点，
由，直线斜率，当时等号成立，因此集合表示的是过定点，斜率的所有直线；
不等式可改写为，因此集合表示的是以为圆心为半径的圆和圆内；
当时，直线方程为，圆心到直线距离，直线与圆相切，
则集合表示的图形是圆在第一象限内的部分，如图所示，
圆与轴相交于，，，圆在第一象限内的面积为.
故答案为：A
【分析】集合表示的是过定点，斜率的所有直线，集合表示的是以为圆心为半径的圆和圆内，集合表示的图形是圆在第一象限内的部分，进而求出答案.
6．（2023高二上·石景山期末）双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．11
【答案】D
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】设双曲线的实轴长为，则，
由双曲线的定义知，
，
故答案为：D
【分析】先根据标准方程求出实半轴长，然后结合双曲线的定义求解出答案.
7．（2023高二上·杭州期末）已知抛物线C1：与椭圆C2：共焦点，C1与C2在第一象限内交于P点，椭圆的左右焦点分别为，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；抛物线的定义
【解析】【解答】结合抛物线及椭圆的定义可得在抛物线上，故，且，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合抛物线及椭圆的定义可得在抛物线上，再结合代入法得出且，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出a，c的关系式，再利用椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率定值。
8．（2023高二上·大兴期末）设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】因为椭圆，
所以，则，
因为，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据椭圆的定义可知，代入，即可得解.
二、多项选择题（每题5分，共25分）
9．（2023高二上·吉林开学考）已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量的长度为
【答案】B,D
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：对于A：因为，显然，
所以与不平行，故A错误；
对于B：因为，所以 ，故B正确；
对于C：，则 ，故C错误；
对于D： 在上的投影向量的长度为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】对A：先求，再根据向量共线的坐标表示分析判断；对B：根据空间向量的模长公式分析运算；对C：先求，再根据向量垂直的坐标表示分析判断；对D：根据投影向量的长度结合坐标运算求解.
10．（2022高二上·葫芦岛月考）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，以为坐标原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，故，，设平面的法向量，由，取，则为平面的法向量，，所以到平面的距离．因为，所以，而，即BC选项的数值才符合.
故答案为：BC
【分析】根据棱柱的结构特征，以为坐标原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出 到平面的距离 .
11．在直三棱柱中，，且为线段上的动点，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积不变
C．的最小值为
D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
【答案】A,B,D
【知识点】平面内两点间的距离公式；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：当点是的中点时，，根据余弦定理可得，所以，，设点到平面的距离为，根据，求得，再根据三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径为，点到平面的距离为，所以过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，故D正确；连接，由可知为正方形，即，又因为，所以平面，即，再由，平面，平面，所以，故A正确；
根据直三棱柱的结构特征，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
设，，其几何意义是点到点的距离之和，其最小值为两点之间的距离即为，故C错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据线面垂直证明线线垂直；由，利用底面积和高判断体积验证B；转化为点到点的距离之和，即两定点的距离判断C；通过构造直角三角形求得截面的半径，再计算体积即可判断D.
12．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为20km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西25km处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（ ）
A．南偏西45°方向 B．南偏西30°方向
C．北偏西30°方向 D．北偏西25°方向
【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：以小岛的中心为原点，东西方向为轴，南北方向为轴建立直角坐标系，易得暗礁分分布的圆为，过点作圆的切线，可得切线的斜率为和，结合选项可知，该轮船行驶的路线为南偏西方向或北偏西方向或北偏西方向.
故答案为：BCD.
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，过点作圆的切线，求出切线的斜率，根据直线和圆的位置关系求解即可.
13．（2022高二上·广东期末）圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名？因为它可以从圆锥中截取获得.我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.截口曲线形状与和圆锥轴截面半顶角有如下关系；当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线.（如左图）
现有一定线段AB与平面夹角（如上右图），B为斜足，上一动点P满足，设P点在的运动轨迹是，则（ ）
A．当，时，是椭圆
B．当，时，是双曲线
C．当，时，是抛物线
D．当，时，是椭圆
【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的定义；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】∵AB为定线段，为定值，∴P在以AB为轴的圆锥上运动，
其中圆锥的轴截面半顶角为，与圆锥轴AB的夹角为
对于A，，∴平面截圆锥得椭圆，A符合题意；对于B，，是椭圆，B不符合题意.
对于C，，是抛物线，C符合题意.对于D，，是椭圆，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义，进而找出正确的选项。
三、填空题（每空5分，共25分）
14．（2023高二上·淮安开学考）已知直线和两点，在直线上求一点，使最小，则点坐标是
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解： 两点，
在直线的同侧，设A点关于l的对称点的坐标为，
则有，且
解得： ，
设直线方程的方程为 ，
解得 ，
即直线方程的方程为，
代入l： 得：
直线方程与l的交点可求得，
由平面几何知识可知 最小
故答案为：.
【分析】两点，在直线的同侧， 设直线方程的方程为 ，直线方程与l的交点可求得，即为最小值.
15．已知圆C：的半径为3，则 ．
【答案】-4
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：圆C：化为圆的标准方程，已知圆的半径为3，所以，解得.
故答案为：.
【分析】把圆的一般式方程化为标准式方程，计算求解即可.
16．（2023高二上·鄠邑期末）若，则与向量同方向的单位向量的坐标为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由题知，，
所以与向量同方向的单位向量为，
所以与向量同方向的单位向量的坐标为
故答案为：
【分析】根据单位向量的求法，结合，即可求得与向量同方向的单位向量的坐标.
17．（2023高二上·怀柔期末）设双曲线的左右焦点分别是，，点在双曲线上，则 ；若为直角，则点的纵坐标的是 .
【答案】；
【知识点】平面向量的数量积运算；双曲线的定义
【解析】【解答】由可知，
故，，，
设，则，
因为为直角，
所以，
因为，
所以，
解得或
故答案为：；.
【分析】由双曲线的性质，结合平面向量的数量积的运算求解，可得答案.
四、解答题（共5题，共60分）
18．（2023高二上·临安开学考）平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，；
（1）用向量，，表示向量；
（2）求线段的长度．
【答案】（1）解：因为为中点，为中点，，，，
所以
；
（2）解：因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，
所以，，，
所以
所以，即线段PM长为
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合空间向量的线性运算求解；
(1) 根据空间向量的数量积的定义以及运算性质求解.
19．（2023高二上·淮安开学考）已知圆经过、两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆相切，求直线的方程．
【答案】（1）解：线段的中点为，直线的斜率为，
所以线段的中垂线方程为，即．
圆心为的中垂线与直线的交点，
联立，解得，故圆心为，
圆的半径，所以圆的标准方程为．
（2）解：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得或.
的方程为或．
【知识点】直线的斜率；圆的标准方程
【解析】【分析】 (1)、 线段的中点为，直线的斜率为，求出中垂线方程，求出圆心，确定圆的标准方程.
(2)、直线的斜率存在，设直线的方程为，即，求出k的值，写出方程.
20．（2023高二上·武汉期末）
（1）求长轴长为12，离心率为，焦点在轴上的椭圆标准方程；
（2）已知双曲线的渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程．
【答案】（1）解：设椭圆方程为：且a > b > 0，
，，
，
，
故椭圆方程为：；
（2）解：的焦点为：，
根据题意得到：，则，解得：，
故，
故双曲线的方程为：.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1） 根据椭圆的几何性质，结合题设条件，求得和，求得的值，再由，求得的值，即可求解；
（2）根据题意，求得双曲线的焦点为，再由渐近线方程，得到，进而求得的值，即可求解.
21．（2023高二上·金华期末）圆经过点与直线相切，圆心的横、纵坐标满足．
（1）求圆的标准方程；
（2）直线交圆于A，B两点，当时，求直线l的方程．
【答案】（1）解：设圆心坐标为，有．
得或（舍），
所以．
（2）解：直线截圆所得弦长，而圆半径，
因此圆心到直线距离为
所以，得．
从而直线l的方程．
【知识点】直线的一般式方程；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合直线与圆相切的位置关系判断方法和点到直线的距离公式得出b的值，从而得出a的值，进而得出圆的标准方程。
（2） 利用直线截圆所得弦长得出圆的半径，再利用圆心到直线距离为和点到直线的距离公式得出m的值，从而得出直线l的方程。
22．（2023高二上·汉中期末）焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上.
（1）求的值.
（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.
【答案】（1）解：由题意，点在椭圆上，代入，
得，解得
（2）解：由（1）知，椭圆方程为，则
椭圆的长轴长；’
短轴长；
焦距；
离心率.
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1） 由题意，点在椭圆上，代入， 即可求解；
（2）由（1）知椭圆方程， 则 ，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷3
一、单项选择题（每题5分，共40分）
1．（2023高二上·临安开学考）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（ ）
A． B．4 C． D．
3．（2023高二上·金华期末）直线的倾斜角为( )
A． B． C． D．
4．（2023高二上·温州期末）过两点，的直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二上·永嘉期末）已知集合， ，则集合中的元素所构成的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·石景山期末）双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．11
7．（2023高二上·杭州期末）已知抛物线C1：与椭圆C2：共焦点，C1与C2在第一象限内交于P点，椭圆的左右焦点分别为，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·大兴期末）设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题（每题5分，共25分）
9．（2023高二上·吉林开学考）已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量的长度为
10．（2022高二上·葫芦岛月考）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
11．在直三棱柱中，，且为线段上的动点，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积不变
C．的最小值为
D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
12．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为20km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西25km处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（ ）
A．南偏西45°方向 B．南偏西30°方向
C．北偏西30°方向 D．北偏西25°方向
13．（2022高二上·广东期末）圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名？因为它可以从圆锥中截取获得.我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.截口曲线形状与和圆锥轴截面半顶角有如下关系；当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线.（如左图）
现有一定线段AB与平面夹角（如上右图），B为斜足，上一动点P满足，设P点在的运动轨迹是，则（ ）
A．当，时，是椭圆
B．当，时，是双曲线
C．当，时，是抛物线
D．当，时，是椭圆
三、填空题（每空5分，共25分）
14．（2023高二上·淮安开学考）已知直线和两点，在直线上求一点，使最小，则点坐标是
15．已知圆C：的半径为3，则 ．
16．（2023高二上·鄠邑期末）若，则与向量同方向的单位向量的坐标为 ．
17．（2023高二上·怀柔期末）设双曲线的左右焦点分别是，，点在双曲线上，则 ；若为直角，则点的纵坐标的是 .
四、解答题（共5题，共60分）
18．（2023高二上·临安开学考）平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，；
（1）用向量，，表示向量；
（2）求线段的长度．
19．（2023高二上·淮安开学考）已知圆经过、两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆相切，求直线的方程．
20．（2023高二上·武汉期末）
（1）求长轴长为12，离心率为，焦点在轴上的椭圆标准方程；
（2）已知双曲线的渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程．
21．（2023高二上·金华期末）圆经过点与直线相切，圆心的横、纵坐标满足．
（1）求圆的标准方程；
（2）直线交圆于A，B两点，当时，求直线l的方程．
22．（2023高二上·汉中期末）焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上.
（1）求的值.
（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由题意可知：，
所以 在基底下的坐标为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意结合空间向量基本定理运算求解.
2．【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由距离公式可得到平面的距离.
故答案为：C.
【分析】直接利用空间向量的点到平面的距离公式计算即可.
3．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】∵直线x+y﹣20的斜率k，设倾斜角为，则tan=
∴直线x+y﹣2 =0倾斜角为．
故答案为：C．
【分析】利用 已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而得出直线的倾斜角。
4．【答案】A
【知识点】直线的两点式方程
【解析】【解答】过两点，的直线的为，
令，解得：，
故答案为：A.
【分析】 由两点式得出直线方程，令，即可解出直线在y轴上的截距.
5．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】二元一次方程表示直线，当时，，直线过定点，
由，直线斜率，当时等号成立，因此集合表示的是过定点，斜率的所有直线；
不等式可改写为，因此集合表示的是以为圆心为半径的圆和圆内；
当时，直线方程为，圆心到直线距离，直线与圆相切，
则集合表示的图形是圆在第一象限内的部分，如图所示，
圆与轴相交于，，，圆在第一象限内的面积为.
故答案为：A
【分析】集合表示的是过定点，斜率的所有直线，集合表示的是以为圆心为半径的圆和圆内，集合表示的图形是圆在第一象限内的部分，进而求出答案.
6．【答案】D
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】设双曲线的实轴长为，则，
由双曲线的定义知，
，
故答案为：D
【分析】先根据标准方程求出实半轴长，然后结合双曲线的定义求解出答案.
7．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；抛物线的定义
【解析】【解答】结合抛物线及椭圆的定义可得在抛物线上，故，且，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合抛物线及椭圆的定义可得在抛物线上，再结合代入法得出且，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出a，c的关系式，再利用椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率定值。
8．【答案】B
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】因为椭圆，
所以，则，
因为，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据椭圆的定义可知，代入，即可得解.
9．【答案】B,D
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：对于A：因为，显然，
所以与不平行，故A错误；
对于B：因为，所以 ，故B正确；
对于C：，则 ，故C错误；
对于D： 在上的投影向量的长度为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】对A：先求，再根据向量共线的坐标表示分析判断；对B：根据空间向量的模长公式分析运算；对C：先求，再根据向量垂直的坐标表示分析判断；对D：根据投影向量的长度结合坐标运算求解.
10．【答案】B,C
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，以为坐标原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，故，，设平面的法向量，由，取，则为平面的法向量，，所以到平面的距离．因为，所以，而，即BC选项的数值才符合.
故答案为：BC
【分析】根据棱柱的结构特征，以为坐标原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出 到平面的距离 .
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面内两点间的距离公式；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：当点是的中点时，，根据余弦定理可得，所以，，设点到平面的距离为，根据，求得，再根据三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径为，点到平面的距离为，所以过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，故D正确；连接，由可知为正方形，即，又因为，所以平面，即，再由，平面，平面，所以，故A正确；
根据直三棱柱的结构特征，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
设，，其几何意义是点到点的距离之和，其最小值为两点之间的距离即为，故C错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据线面垂直证明线线垂直；由，利用底面积和高判断体积验证B；转化为点到点的距离之和，即两定点的距离判断C；通过构造直角三角形求得截面的半径，再计算体积即可判断D.
12．【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：以小岛的中心为原点，东西方向为轴，南北方向为轴建立直角坐标系，易得暗礁分分布的圆为，过点作圆的切线，可得切线的斜率为和，结合选项可知，该轮船行驶的路线为南偏西方向或北偏西方向或北偏西方向.
故答案为：BCD.
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，过点作圆的切线，求出切线的斜率，根据直线和圆的位置关系求解即可.
13．【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的定义；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】∵AB为定线段，为定值，∴P在以AB为轴的圆锥上运动，
其中圆锥的轴截面半顶角为，与圆锥轴AB的夹角为
对于A，，∴平面截圆锥得椭圆，A符合题意；对于B，，是椭圆，B不符合题意.
对于C，，是抛物线，C符合题意.对于D，，是椭圆，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义，进而找出正确的选项。
14．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解： 两点，
在直线的同侧，设A点关于l的对称点的坐标为，
则有，且
解得： ，
设直线方程的方程为 ，
解得 ，
即直线方程的方程为，
代入l： 得：
直线方程与l的交点可求得，
由平面几何知识可知 最小
故答案为：.
【分析】两点，在直线的同侧， 设直线方程的方程为 ，直线方程与l的交点可求得，即为最小值.
15．【答案】-4
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：圆C：化为圆的标准方程，已知圆的半径为3，所以，解得.
故答案为：.
【分析】把圆的一般式方程化为标准式方程，计算求解即可.
16．【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由题知，，
所以与向量同方向的单位向量为，
所以与向量同方向的单位向量的坐标为
故答案为：
【分析】根据单位向量的求法，结合，即可求得与向量同方向的单位向量的坐标.
17．【答案】；
【知识点】平面向量的数量积运算；双曲线的定义
【解析】【解答】由可知，
故，，，
设，则，
因为为直角，
所以，
因为，
所以，
解得或
故答案为：；.
【分析】由双曲线的性质，结合平面向量的数量积的运算求解，可得答案.
18．【答案】（1）解：因为为中点，为中点，，，，
所以
；
（2）解：因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，
所以，，，
所以
所以，即线段PM长为
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合空间向量的线性运算求解；
(1) 根据空间向量的数量积的定义以及运算性质求解.
19．【答案】（1）解：线段的中点为，直线的斜率为，
所以线段的中垂线方程为，即．
圆心为的中垂线与直线的交点，
联立，解得，故圆心为，
圆的半径，所以圆的标准方程为．
（2）解：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得或.
的方程为或．
【知识点】直线的斜率；圆的标准方程
【解析】【分析】 (1)、 线段的中点为，直线的斜率为，求出中垂线方程，求出圆心，确定圆的标准方程.
(2)、直线的斜率存在，设直线的方程为，即，求出k的值，写出方程.
20．【答案】（1）解：设椭圆方程为：且a > b > 0，
，，
，
，
故椭圆方程为：；
（2）解：的焦点为：，
根据题意得到：，则，解得：，
故，
故双曲线的方程为：.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1） 根据椭圆的几何性质，结合题设条件，求得和，求得的值，再由，求得的值，即可求解；
（2）根据题意，求得双曲线的焦点为，再由渐近线方程，得到，进而求得的值，即可求解.
21．【答案】（1）解：设圆心坐标为，有．
得或（舍），
所以．
（2）解：直线截圆所得弦长，而圆半径，
因此圆心到直线距离为
所以，得．
从而直线l的方程．
【知识点】直线的一般式方程；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合直线与圆相切的位置关系判断方法和点到直线的距离公式得出b的值，从而得出a的值，进而得出圆的标准方程。
（2） 利用直线截圆所得弦长得出圆的半径，再利用圆心到直线距离为和点到直线的距离公式得出m的值，从而得出直线l的方程。
22．【答案】（1）解：由题意，点在椭圆上，代入，
得，解得
（2）解：由（1）知，椭圆方程为，则
椭圆的长轴长；’
短轴长；
焦距；
离心率.
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1） 由题意，点在椭圆上，代入， 即可求解；
（2）由（1）知椭圆方程， 则 ，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解.
1 / 1
