数学归纳法(江苏省无锡市江阴市)
图片预览
文档简介
数学归纳法(2)
一、教学目标：
1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。
二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
难点：归纳→猜想→证明。
三、教学过程：
【创设情境】
问题1：数学归纳法的基本思想？
以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。（递推关系）
问题2：数学归纳法证明命题的步骤？
（1）递推奠基：当n取第一个值n0结论正确；
（2）递推归纳：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题。
【探索研究】
问题：用数学归纳法证明：能被9整除。
法一：配凑递推假设：
法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。
②注意从“n=k到n=k+1”时项的变化。
【例题评析】
例1：求证: 能被整除（n∈N+）。
例2：数列{an}中，,a1=1且
（1）求的值；
（2）猜想{an}的通项公式，并证明你的猜想。
变题：（2002全国理科）设数列{an}满足，n∈N+,
(1)当a1=2时，求，并猜想{an}的一个通项公式；
（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1,有
①an≥n+2 ②
例3：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多少部分？
变题：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2+n+2个部分。
例4：设函数f(x)是满足不等式,(k∈N+)的自然数x的个数；
（１）求f(x)的解析式；
（２）记Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),求Sn的解析式；
（３）令Ｐn=n2+n-1 (n∈N+),试比较Ｓn与Ｐn的大小。
【课堂小结】
1归纳法是发现与论证的完美结合
数学归纳法证明正整数问题的一般方法：
归纳→猜想→证明。
2.两个注意：
（1）是否用了归纳假设？
（2）从n=k到n=k+1时关注项的变化？
【反馈练习】
1 ( http: / / www. / wxc / ) 观察下列式子 ( http: / / www. / wxc / ) …则可归纳出____ ( http: / / www. / wxc / )
2． 知数列计算根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明。
3． 3.是否存在常数a、b、c，使等式对一切都成立？并证明你的结论.
一、教学目标：
1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。
二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
难点：归纳→猜想→证明。
三、教学过程：
【创设情境】
问题1：数学归纳法的基本思想？
以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。（递推关系）
问题2：数学归纳法证明命题的步骤？
（1）递推奠基：当n取第一个值n0结论正确；
（2）递推归纳：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题。
【探索研究】
问题：用数学归纳法证明：能被9整除。
法一：配凑递推假设：
法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。
②注意从“n=k到n=k+1”时项的变化。
【例题评析】
例1：求证: 能被整除（n∈N+）。
例2：数列{an}中，,a1=1且
（1）求的值；
（2）猜想{an}的通项公式，并证明你的猜想。
变题：（2002全国理科）设数列{an}满足，n∈N+,
(1)当a1=2时，求，并猜想{an}的一个通项公式；
（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1,有
①an≥n+2 ②
例3：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多少部分？
变题：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2+n+2个部分。
例4：设函数f(x)是满足不等式,(k∈N+)的自然数x的个数；
（１）求f(x)的解析式；
（２）记Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),求Sn的解析式；
（３）令Ｐn=n2+n-1 (n∈N+),试比较Ｓn与Ｐn的大小。
【课堂小结】
1归纳法是发现与论证的完美结合
数学归纳法证明正整数问题的一般方法：
归纳→猜想→证明。
2.两个注意：
（1）是否用了归纳假设？
（2）从n=k到n=k+1时关注项的变化？
【反馈练习】
1 ( http: / / www. / wxc / ) 观察下列式子 ( http: / / www. / wxc / ) …则可归纳出____ ( http: / / www. / wxc / )
2． 知数列计算根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明。
3． 3.是否存在常数a、b、c，使等式对一切都成立？并证明你的结论.