必修第一册第二章章末检测试题

必修第一册第二章章末检测试题
---一元二次函数,方程和不等式
一、单选题(每个题5分)
1．已知，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若，则
D．若且，则
2．已知不等式 的解集为 , 则不等式 的解集为 （ ）
A． 或
B．
C．
D． 或
3．与不等式同解的不等式是（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（ ）.
A． B．或
C．或 D．或
5．若对，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（ ）万元.
A．45.5 B．37.5 C．36 D．35
7．设，若恒成立，则的最大值为（ ）
A．16 B．2 C．8 D．1
8．已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每个题5分）
9．若，则下列结论中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知，．则（ ）
A． B．
C．的最大值为24 D．
11．已知a，b为正实数，且，则（ ）．
A．的最大值为8 B．的最小值为4
C．的最小值为 D．的最小值为
12．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，取弧的中点，连接，则该图形可以完成的所有无字证明为（ ）

A． B．
C． D．
三、填空题（每个题5分）
13．若不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ．
14．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ．
15．若时，关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
16．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 .
四、解答题（17题10分，其他各题每题12分）
17．设实数集R为全集，集合，集合．
(1)当时，求及；
(2)若，求实数a的取值范围．
18．已知函数（a，b为实数）过点
(1)对于，有恒成立，求实数a的取值范围；
(2)对于，有恒成立，求实数a的取值范围．
19．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解问题.已知函数.
(1)若命题：“______，”为真命题，求实数的取值范围；
(2)求关于的不等式的解集.
20．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
21．已知正数满足.
(1)求的最小值；(2)求的最小值
22.已知关于的不等式的解集为．
(1)求不等式的解集：
(2)当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围
必修第一册第二章章末检测试题
---一元二次函数,方程和不等式
一、单选题
1．已知，，，则下列命题正确的是（B）
A．若且，则
B．若，则
C．若，则
D．若且，则
【详解】对于选项A，
当时，满足且，但是不满足，故选项A错误；
对于选项B，
，所以，所以，即，即，故选项B正确；
对于选项C，
当时，
若成立则需，所以，所以与矛盾，
故选项C错误；
对于选项D，
当时，若且，则不能得出，故选项D错误.
故选：B.
2．已知不等式 的解集为 , 则不等式 的解集为 （A）
A． 或
B．
C．
D． 或
【详解】因为不等式 的解集为 ,
因此 的两根为 , 且，即 , 解得 ，
所以不等式 化为 , 其解集为 或 .
故选： A
3．与不等式同解的不等式是（B）
A．B． C． D．
【详解】.
A选项，，故A错误；
B选项，，故B正确；
C选项，，故C错误；
D选项，，故D错误.
故选：B
4．关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（C）.
A． B．或
C．或 D．或
【详解】若，解得或，
当时，方程可化为，解得，不符合题意，舍去；
当时，方程可化为，解集为空集，符合题意；
若，解得且，
要使得不等式的解集为空集，
则满足，解得或，
综上可得，实数的取值范围为.
故选：C.
5．若对，都有恒成立，则实数的取值范围是（B）
A． B．
C．或 D．或
【详解】因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为，
要使得不等式恒成立，可得，即，
因为，解得，
即实数的取值范围时.
故选：B.
6．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（B）万元.
A．45.5 B．37.5 C．36 D．35
【详解】依题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足，
即有，由，得，
因此月利润
，当且仅当时，即时取等号，所以当万件时，该公司最大月利润为万元.
故选：B
7．设，若恒成立，则的最大值为（C）
A．16 B．2 C．8 D．1
【详解】因为，故，
则
，
当且仅当，即时取得等号，
由于恒成立，故，
即的最大值为8，
故选：C
8．已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（D）
A． B． C． D．
【详解】一元二次不等式的解集为，
所以、为关于的方程的两根且，
所以，解得，，
所以
，当且仅当，即时取等号，即的最大值为.
故选：D
二、多选题
9．若，则下列结论中正确的有（BCD）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【详解】对于A，若，满足，但，故A错误；
对于B，若，可知，则，故B正确；
对于C，，
∵，，∴，故C正确；
对于D，若，
则，
得，从而，
，
当且仅当时，等号成立，故D正确．
故选：BCD．
10．已知，．则（AD）
A． B．
C．的最大值为24 D．
【详解】对于A，因为，，
所以，
即，即，故A正确；
对于B，由，可得，
又，则，
即，即，故B错误；
设，
则，解得，，
因为，，所以，D正确；
若的最大值为24，又，，
则，，此时，C错误．
故选：AD.
11．已知a，b为正实数，且，则（BCD）．
A．的最大值为8 B．的最小值为4
C．的最小值为 D．的最小值为
【详解】A：因为，
当且仅当时取等号，解不等式得，
即，故的最大值为2，故A错误；
B：由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，故B正确；
C：，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
D：，
当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值，故D正确．
故选：BCD．
12．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，取弧的中点，连接，则该图形可以完成的所有无字证明为（ACD）

A． B．
C． D．
【详解】由题意知：，
在直角中，由射影定理的，即，
又由且，所以，
当且仅当时，等号成立，所以A正确；
在直角中，同理可得，所以，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以C正确；
由，
因为为弧的中点，可得，
在直角中，可得，即，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以D正确.
故选：ACD.

三、填空题
13．若不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ．
【详解】因为不等式的解集为，
所以，即，且，
则不等式可化为，即，
所以，解得，
故答案为：.
14．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ．
【详解】由不等式，即，解得或，
解方程，解得或，
1.若，即时，不等式的解集为，不合题意；
2.若，即时，不等式的解集为，
若不等式组只有1个整数解，则，解得；
3.若，即时，不等式的解集为，
若不等式组只有1个整数解，则，解得；
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为：
15．若时，关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【详解】由，得，
因为，所以，则恒成立，
令，
则，因为，
所以，当且仅当即时取等号，
所以.
故答案为：
16．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 3 .
【详解】因为，，所以，
故，
因为，当且仅当时，等号成立，
故，
故答案为：3
四、解答题
17．设实数集R为全集，集合，集合．
(1)当时，求及；
(2)若，求实数a的取值范围．
【详解】（1），
当时，，
所以，.
（2）或，
由，即，
当时，即时成立，
当时，即时，，
则，解得.
综上的取值范围为.
18．已知函数（a，b为实数）过点
(1)对于，有恒成立，求实数a的取值范围；
(2)对于，有恒成立，求实数a的取值范围．
【详解】（1）由题设，则，
所以在恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，则，得，得，
综上，a的取值范围是．
（2）∵，恒成立，即恒成立，
∴恒成立，又，
∴对恒成立，只需，
令，则，
则，
当且仅当，即，此时时等号成立，
所以实数a的取值范围时．
19．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解问题.已知函数.
(1)若命题：“______，”为真命题，求实数的取值范围；
(2)求关于的不等式的解集.
【详解】（1）由，得，即，设，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
若选①，，则，即，
若选②，，则，即，
（2）由，可得，
当时，原不等式为，解得，不等式的解集为，
当时，不等式即为，
其对应方程的根为，1，
若，不等式的解集为，
若，则，不等式的解集为，
若，则，不等式的解集为，
若，则，不等式的解集为，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
20．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【详解】（1）当时，
可得；
当时，
可得；
所以.
（2）若，则，
所以当时，万元；
若，则，
当且仅当，即台时，等号成立，万元；
因为，
所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.
21．已知正数满足.
(1)求的最小值；
(2)求的最小值.
【详解】（1）由，故，
当且仅当时等号成立，故最小值为4，
（2）由可得，故
因此，
当且仅当，即等号成立，故最小值为25，
22．已知关于的不等式的解集为．
(1)求不等式的解集：
(2)当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数拫且．
所以，解得或（舍）．
所以等价为，也能是，
解得不等式的解集为．
（2）由（1）知，于是有，
故，
当且仅当，时，即时，等号成立．
依题意有，即，得，
．
所以的取值范围为．
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试卷第2页，共16页
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