2023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷4
一、选择题
1．（2023高二上·临安开学考）在空间四边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解：由题意可得 .
故答案为：C.
【分析】根据空间向量的加法运算求解.
2．（2023高二上·汕尾期末）已知空间向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】.
故答案为：C
【分析】利用空间向量坐标的线性运算法则得到答案.
3．（2023高二下·湛江期末）已知表示的曲线是圆，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：因为表示的曲线为圆，所以解得.
故答案为：C.
【分析】根据表示圆，需满足即可求解的取值范围.
4．（2023高二上·辉南月考）已知空间中三点，，，那么点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量的模；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由题意得 ， ，
，
点到直线的距离为.
故答案为：A.
【分析】结合空间向量利用公式求点到直线的距离.
5．（2024高三上·硚口）过点且倾斜角为的直线交圆于两点，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的点斜式方程；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由题意得直线 方程为：，即，
圆 可化为，圆心为，半径为，
圆心为到直线 距离为，弦长为
故答案为：A.
【分析】先写出直线 方程，求出圆心到直线 距离，再利用弦长公式求弦的长 .
6．（2023高二上·淮安开学考）已知圆与圆的公共弦长为2，则m的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解： 与圆联立可得，
根据题意可得，圆的标准方程为，
，
∴圆心为，半径为2，
圆心直线的的距离为，
，
整理可得，，
∴或（舍去）
故答案为：A.
【分析】根据圆的圆心和半径公式及点到直线的距离公式，以及公共弦方程的求法求解即可.
7．（2023高三上·阳江开学考）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】斜率的计算公式；直线的斜截式方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设椭圆的半焦距为c，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为2c，
故其方程为：，
令，则，结合A在y轴正半轴上，故，
令，则或，故.
故，可得直线.
设，
因为A在y轴的正半轴上，在x轴的负半轴上，故，
而，
故，整理得到：，
故，故，
所以，整理得到：，故，
故答案为：D.
【分析】先求出以为圆心的圆的方程，求出，求出直线的方程后结合距离公式可求M的坐标，代入椭圆方程后可求离心率.
8．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得 ，点 在垂直平方线上，，即， ，解得 .
故答案为：A.
【分析】由题意得 ，所以点 在垂直平方线上，进而求解.
二、多项选择题
9．（2022高二上·深圳月考）已知直线l： ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l的斜率可以等于0
B．若直线l与y轴的夹角为 ，则或
C．若直线的斜率为，则直线l的方程为
D．若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则或-2
【答案】B,C,D
【知识点】直线的斜率；直线的截距式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】对于直线l：，当 时，直线l：x＝1，斜率不存在，
当时，直线l的斜率为，不可能等于0，A不符合题意；
若直线l与y轴的夹角为，则直线l的倾斜角为或，
而直线l的斜率为，∴或，
∴或，B符合题意；
由直线l的斜率，得 ，∴直线l的方程为 ，C符合题意；
当时，直线l：x=1，在y轴上的截距不存在；当时，令x=0，得，令y=0，得x=1-m，令，得m=1或-2，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，从而求出直线l的斜率；再利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而得出m的值；利用已知条件结合直线的斜率求出m的值，进而得出直线l的方程；利用已知条件结合分类讨论的方法和赋值法以及直线在坐标轴上的截距的求解方法，进而得出m的值，从而找出说法正确的选项。
10．（2022高二上·玉环月考）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则是钝角
B．若，则，A，，一定共面
C．过点且在轴截距相等的直线方程为
D．直线的倾斜角的取值范围是
【答案】B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；空间向量基本定理
【解析】【解答】对A，，不一定是钝角，可能是平角，A不符合题意；
对B，若不共线，由，得，A，，共面.
若共线，由得共线，即共面，B对；
对C，若截距均为0，则直线方程为，C不符合题意；
对D，，又，故，D对；
故答案为：BD
【分析】对A，考虑向量夹角可能是平角即可判断；
对B，若共线，可由条件得共线，即共面. 若不共线，由空间共面向量定理的推论可得共面；
对C，考虑截距为0的情况即可判断；
对D，由，，即可求解.
11．（2023高二上·淮安开学考）关于圆C：，下列说法正确的是（ ）
A．k的取值范围是
B．若，过的直线与圆C相交所得弦长为，其方程为
C．若，圆C圆相交
D．若，，直线恒过圆C的圆心，则恒成立
【答案】A,C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： ，A、，k的取值范围是，选项正确.
B、当时，C的圆心为，当时，与圆C相交所得弦长为，选项正确.
C、若，，大于两个圆的半径之差的绝对值，小于两个圆的半径之和的绝对值，圆C圆相交，选项正确.
D、易得，，
∴，选项错误.
故答案为AC：.
【分析】根据圆的一般方程判断A，点到直线的距离判断B，圆心距判断C，利用不等式判断D.
12．（2023高二下·杭州）设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是 （ ）
A．双曲线离心率的最小值为
B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可得
由a>0，可得，即e≥2，当且仅当，即a=2时，等号成立，
此时双曲线方程是 ，渐近线方程是 ，故A、B正确；
设直线为x=my+n代入双曲线 可得
又双曲线的渐近线方程为
直线方程代入可得
直与双曲线右支交于两点A、B，与渐近线交于两点C、D、A在B、C两点之间，
即AB、CD的中点重合，则 |AC|=|BD|，故C正确；
当a=1，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为
设A (m， n)，故双曲线在A (m， n)的切线方程为与y=2x联立可得E的横坐标为，
与y=-2x联立可得E的横坐标为，且
则 为定值，故D正确.
故选：ABCD.
【分析】 利用双曲线的几何性质，逐项计算判断，可得答案.
三、填空题
13．（2023高三上·上海市开学考）过P（﹣2，m）、Q（m，4）两点的直线的倾斜角为45° ．
【答案】1
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：由题意得，即，求得.
故答案为：1.
【分析】根据直线倾斜角的正切值等于直线斜率进行求解.
14．（2023高二下·福州期末）在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，使向量，则 ．
【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】由
又由 得
故
故答案为：
【分析】 在平行六面体中，用表示出， 然后根据空间向量基本定理即可得出x， y， z的值，即可求出 的值.
15．（2023高二下·深圳期末）已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为 ；如果直线与相交于点，则的最小值为 .
【答案】；
【知识点】平面向量数量积的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：第1空：∵圆C：，
∴圆心为，半径为2，
∵，设AB的中点为D，
则，
即D点到C点的距离始终为1，
∴D点在以圆心为，半径为1的圆上运动，
，
可知，当O、C、D三点共线，且C点位于中间时，OD取得最大值：，
故的最大值为.
故答案为：.
第2空：∵直线l1：与l2：，
∴，且过定点，l2过定点，
∴M点的轨迹方程为：，
∴，
∴当M、D、C三点共线，且D点处于中间时，MD取得最小值，
最小值为，
∴的最小，
故答案为：.
【分析】设AB的中点为D，根据已知条件可知D点在以圆心为，半径为1的圆上运动，同时可知，当O、C、D三点共线，且C点位于中间时，OD取得最大值，即可求出第一空的答案；由两直线的方程可知，，且过定点、，由此求出M的轨迹方程，可知M、D、C三点共线，且D点处于中间时，MD取得最小值，即可求出答案.
16．（2023高三上·梅河口开学考）设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知：，可得，
所以 双曲线的离心率为.
故答案为：.
【分析】根据题意结合通径和实轴长可得，进而结合离心率运算求解.
四、解答题
17．已知抛物线，斜率为1的直线交于不同于原点的，两点，点为线段的中点.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，设切线，的交点为
①求证：为直角三角形.
②记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.
【答案】（1）解：设直线的方程为，代入抛物线，
可得，设，，则
点为线段的中点，可得，即则抛物线的方程为.
（2）解：①设，，由，可得，则，
所以，两点处的切线斜率分别为，，
由，得，所以，，
所以，所以，即为直角三角形.
②由（1）知，即：，同理，
由直线，都过点，即，
则点，的坐标都满足方程，
即直线的方程为：，
又由直线过点，∴，
联立得，
∴，
点到直线的距离，
∴
∴
当且仅当时，有最小值4，此时
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】 (1)、 设直线的方程为，代入抛物线，设，，则，求出抛物线方程.
(2)、①设，，由，可得，则，求出斜率，解得，即可证明垂直.
②由直线，都过点，即，则点，的坐标都满足方程，即直线的方程为：，求出，把面积表示出来，求出最小值.
18．（2023高二下·安宁期末）已知椭圆，（，），过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，是椭圆上位于两侧的动点，当，运动时，始终保持平分，求证：直线的斜率为定值．
【答案】（1）解：由题意知，点在椭圆上，即，解得：，
所以椭圆的方程为：；
（2）解：由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，
因为平分，所以直线的斜率为，
则直线为：，直线为：，
联立直线与椭圆：
消得：
解得：，，
同理可得：，，
所以
所以，
即直线的斜率为定值.
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【分析】本题考查椭圆标准方程和过椭圆的直线问题，
（1）由题中已知条件可以确定又焦点F2的横坐标为2，又因为点A在椭圆上联立方程即可求出a2、b2的值，从而得到椭圆C的方程；
（2）因为M、N是椭圆上位于AB两侧的动点，所以AM、AN的斜率存在，设出AM、AN的斜率，写出AM、AN的方程，联立方程组求解即可.
19．（2023高二上·宝安期末）已知直线，．
（1）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；
（2）若坐标原点O到直线的距离为1，求实数的值．
【答案】（1）解：当时，直线，
由，解得，
所以直线与的交点为，
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
当时，，
当时，，
因为直线在两坐标轴上的截距相反，
所以，即，
解得或，
所以直线的方程为或，
即或，
（2）解：因为坐标原点O到直线的距离为1，直线，
所以，
化简得，解得或.
【知识点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1） 当时，得出直线，再联立两直线方程得出直线与的交点坐标，由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，再结合赋值法和求直线在坐标轴上的截距的方法以及直线在两坐标轴上的截距相反，所以，进而解方程得出k的值，从而得出直线的方程。
（2） 利用坐标原点O到直线的距离为1和直线，再结合点到直线的距离公式得出实数a的值。
20．（2023高二下·达州期末）已知是抛物线上的点．当时，．
（1）求E的标准方程；
（2）F是E的焦点，直线AF与E的另一交点为B，，求的值．
【答案】（1）依题意，抛物线过点，则，解得，
所以E的标准方程为.
（2）由（1）知，抛物线E的焦点，准线方程为，
显然直线不垂直于轴且斜率不为0，
设直线的方程为：，点，
由消去并整理得：，则，，
而，解得，于是，，
所以.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）根据点在抛物线上，代入求p即可求解；
（2）恒过定点F(1，0)设立直线方程，联立方程组，结合韦达定理得到A、B横坐标的关系，再利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离求出BF.
21．（2023高二上·淮安开学考）已知圆过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）解：根据题意，因为圆过两点，，设的中点为，则，
因为，所以的中垂线方程为，即，
又因为圆心在直线上，联立解得所以圆心，
半径，
故圆的方程为．
（2）解：由题意得，．
当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，此时，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
则，解得，
所以直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】 (1)、 圆过两点，，设的中点为，则，求出的中垂线方程，求出圆心，写出圆的方程.
(2)、 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，求出k，写出圆的方程.
22．（2023高二上·吉林开学考）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点．
（1）求证：平面PBC⊥平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值
【答案】（1）解：因为，，则，又平面，平面，则，
而，平面，因此平面，又平面，
所以平面平面．
（2）解：因为底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
设，，其中，
显然平面的一个法向量为，
依题意，，解得，
于是为的中点，即，设平面的法向量为，，，
则，取，得，
而平面的一个法向量为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意可得先证 ，， 可得 平面， 进而可得 平面平面；
(2) 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设， 根据题意结合线面夹角可得 ，进而利用空间向量求面面夹角.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷4
一、选择题
1．（2023高二上·临安开学考）在空间四边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·汕尾期末）已知空间向量，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二下·湛江期末）已知表示的曲线是圆，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二上·辉南月考）已知空间中三点，，，那么点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·硚口）过点且倾斜角为的直线交圆于两点，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·淮安开学考）已知圆与圆的公共弦长为2，则m的值为（ ）
A． B． C． D．3
7．（2023高三上·阳江开学考）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2022高二上·深圳月考）已知直线l： ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l的斜率可以等于0
B．若直线l与y轴的夹角为 ，则或
C．若直线的斜率为，则直线l的方程为
D．若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则或-2
10．（2022高二上·玉环月考）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则是钝角
B．若，则，A，，一定共面
C．过点且在轴截距相等的直线方程为
D．直线的倾斜角的取值范围是
11．（2023高二上·淮安开学考）关于圆C：，下列说法正确的是（ ）
A．k的取值范围是
B．若，过的直线与圆C相交所得弦长为，其方程为
C．若，圆C圆相交
D．若，，直线恒过圆C的圆心，则恒成立
12．（2023高二下·杭州）设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是 （ ）
A．双曲线离心率的最小值为
B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
三、填空题
13．（2023高三上·上海市开学考）过P（﹣2，m）、Q（m，4）两点的直线的倾斜角为45° ．
14．（2023高二下·福州期末）在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，使向量，则 ．
15．（2023高二下·深圳期末）已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为 ；如果直线与相交于点，则的最小值为 .
16．（2023高三上·梅河口开学考）设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 .
四、解答题
17．已知抛物线，斜率为1的直线交于不同于原点的，两点，点为线段的中点.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，设切线，的交点为
①求证：为直角三角形.
②记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.
18．（2023高二下·安宁期末）已知椭圆，（，），过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，是椭圆上位于两侧的动点，当，运动时，始终保持平分，求证：直线的斜率为定值．
19．（2023高二上·宝安期末）已知直线，．
（1）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；
（2）若坐标原点O到直线的距离为1，求实数的值．
20．（2023高二下·达州期末）已知是抛物线上的点．当时，．
（1）求E的标准方程；
（2）F是E的焦点，直线AF与E的另一交点为B，，求的值．
21．（2023高二上·淮安开学考）已知圆过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程.
22．（2023高二上·吉林开学考）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点．
（1）求证：平面PBC⊥平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解：由题意可得 .
故答案为：C.
【分析】根据空间向量的加法运算求解.
2．【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】.
故答案为：C
【分析】利用空间向量坐标的线性运算法则得到答案.
3．【答案】C
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：因为表示的曲线为圆，所以解得.
故答案为：C.
【分析】根据表示圆，需满足即可求解的取值范围.
4．【答案】A
【知识点】向量的模；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由题意得 ， ，
，
点到直线的距离为.
故答案为：A.
【分析】结合空间向量利用公式求点到直线的距离.
5．【答案】A
【知识点】直线的点斜式方程；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由题意得直线 方程为：，即，
圆 可化为，圆心为，半径为，
圆心为到直线 距离为，弦长为
故答案为：A.
【分析】先写出直线 方程，求出圆心到直线 距离，再利用弦长公式求弦的长 .
6．【答案】A
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解： 与圆联立可得，
根据题意可得，圆的标准方程为，
，
∴圆心为，半径为2，
圆心直线的的距离为，
，
整理可得，，
∴或（舍去）
故答案为：A.
【分析】根据圆的圆心和半径公式及点到直线的距离公式，以及公共弦方程的求法求解即可.
7．【答案】D
【知识点】斜率的计算公式；直线的斜截式方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设椭圆的半焦距为c，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为2c，
故其方程为：，
令，则，结合A在y轴正半轴上，故，
令，则或，故.
故，可得直线.
设，
因为A在y轴的正半轴上，在x轴的负半轴上，故，
而，
故，整理得到：，
故，故，
所以，整理得到：，故，
故答案为：D.
【分析】先求出以为圆心的圆的方程，求出，求出直线的方程后结合距离公式可求M的坐标，代入椭圆方程后可求离心率.
8．【答案】A
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得 ，点 在垂直平方线上，，即， ，解得 .
故答案为：A.
【分析】由题意得 ，所以点 在垂直平方线上，进而求解.
9．【答案】B,C,D
【知识点】直线的斜率；直线的截距式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】对于直线l：，当 时，直线l：x＝1，斜率不存在，
当时，直线l的斜率为，不可能等于0，A不符合题意；
若直线l与y轴的夹角为，则直线l的倾斜角为或，
而直线l的斜率为，∴或，
∴或，B符合题意；
由直线l的斜率，得 ，∴直线l的方程为 ，C符合题意；
当时，直线l：x=1，在y轴上的截距不存在；当时，令x=0，得，令y=0，得x=1-m，令，得m=1或-2，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，从而求出直线l的斜率；再利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而得出m的值；利用已知条件结合直线的斜率求出m的值，进而得出直线l的方程；利用已知条件结合分类讨论的方法和赋值法以及直线在坐标轴上的截距的求解方法，进而得出m的值，从而找出说法正确的选项。
10．【答案】B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；空间向量基本定理
【解析】【解答】对A，，不一定是钝角，可能是平角，A不符合题意；
对B，若不共线，由，得，A，，共面.
若共线，由得共线，即共面，B对；
对C，若截距均为0，则直线方程为，C不符合题意；
对D，，又，故，D对；
故答案为：BD
【分析】对A，考虑向量夹角可能是平角即可判断；
对B，若共线，可由条件得共线，即共面. 若不共线，由空间共面向量定理的推论可得共面；
对C，考虑截距为0的情况即可判断；
对D，由，，即可求解.
11．【答案】A,C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： ，A、，k的取值范围是，选项正确.
B、当时，C的圆心为，当时，与圆C相交所得弦长为，选项正确.
C、若，，大于两个圆的半径之差的绝对值，小于两个圆的半径之和的绝对值，圆C圆相交，选项正确.
D、易得，，
∴，选项错误.
故答案为AC：.
【分析】根据圆的一般方程判断A，点到直线的距离判断B，圆心距判断C，利用不等式判断D.
12．【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可得
由a>0，可得，即e≥2，当且仅当，即a=2时，等号成立，
此时双曲线方程是 ，渐近线方程是 ，故A、B正确；
设直线为x=my+n代入双曲线 可得
又双曲线的渐近线方程为
直线方程代入可得
直与双曲线右支交于两点A、B，与渐近线交于两点C、D、A在B、C两点之间，
即AB、CD的中点重合，则 |AC|=|BD|，故C正确；
当a=1，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为
设A (m， n)，故双曲线在A (m， n)的切线方程为与y=2x联立可得E的横坐标为，
与y=-2x联立可得E的横坐标为，且
则 为定值，故D正确.
故选：ABCD.
【分析】 利用双曲线的几何性质，逐项计算判断，可得答案.
13．【答案】1
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：由题意得，即，求得.
故答案为：1.
【分析】根据直线倾斜角的正切值等于直线斜率进行求解.
14．【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】由
又由 得
故
故答案为：
【分析】 在平行六面体中，用表示出， 然后根据空间向量基本定理即可得出x， y， z的值，即可求出 的值.
15．【答案】；
【知识点】平面向量数量积的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：第1空：∵圆C：，
∴圆心为，半径为2，
∵，设AB的中点为D，
则，
即D点到C点的距离始终为1，
∴D点在以圆心为，半径为1的圆上运动，
，
可知，当O、C、D三点共线，且C点位于中间时，OD取得最大值：，
故的最大值为.
故答案为：.
第2空：∵直线l1：与l2：，
∴，且过定点，l2过定点，
∴M点的轨迹方程为：，
∴，
∴当M、D、C三点共线，且D点处于中间时，MD取得最小值，
最小值为，
∴的最小，
故答案为：.
【分析】设AB的中点为D，根据已知条件可知D点在以圆心为，半径为1的圆上运动，同时可知，当O、C、D三点共线，且C点位于中间时，OD取得最大值，即可求出第一空的答案；由两直线的方程可知，，且过定点、，由此求出M的轨迹方程，可知M、D、C三点共线，且D点处于中间时，MD取得最小值，即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知：，可得，
所以 双曲线的离心率为.
故答案为：.
【分析】根据题意结合通径和实轴长可得，进而结合离心率运算求解.
17．【答案】（1）解：设直线的方程为，代入抛物线，
可得，设，，则
点为线段的中点，可得，即则抛物线的方程为.
（2）解：①设，，由，可得，则，
所以，两点处的切线斜率分别为，，
由，得，所以，，
所以，所以，即为直角三角形.
②由（1）知，即：，同理，
由直线，都过点，即，
则点，的坐标都满足方程，
即直线的方程为：，
又由直线过点，∴，
联立得，
∴，
点到直线的距离，
∴
∴
当且仅当时，有最小值4，此时
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】 (1)、 设直线的方程为，代入抛物线，设，，则，求出抛物线方程.
(2)、①设，，由，可得，则，求出斜率，解得，即可证明垂直.
②由直线，都过点，即，则点，的坐标都满足方程，即直线的方程为：，求出，把面积表示出来，求出最小值.
18．【答案】（1）解：由题意知，点在椭圆上，即，解得：，
所以椭圆的方程为：；
（2）解：由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，
因为平分，所以直线的斜率为，
则直线为：，直线为：，
联立直线与椭圆：
消得：
解得：，，
同理可得：，，
所以
所以，
即直线的斜率为定值.
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【分析】本题考查椭圆标准方程和过椭圆的直线问题，
（1）由题中已知条件可以确定又焦点F2的横坐标为2，又因为点A在椭圆上联立方程即可求出a2、b2的值，从而得到椭圆C的方程；
（2）因为M、N是椭圆上位于AB两侧的动点，所以AM、AN的斜率存在，设出AM、AN的斜率，写出AM、AN的方程，联立方程组求解即可.
19．【答案】（1）解：当时，直线，
由，解得，
所以直线与的交点为，
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
当时，，
当时，，
因为直线在两坐标轴上的截距相反，
所以，即，
解得或，
所以直线的方程为或，
即或，
（2）解：因为坐标原点O到直线的距离为1，直线，
所以，
化简得，解得或.
【知识点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1） 当时，得出直线，再联立两直线方程得出直线与的交点坐标，由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，再结合赋值法和求直线在坐标轴上的截距的方法以及直线在两坐标轴上的截距相反，所以，进而解方程得出k的值，从而得出直线的方程。
（2） 利用坐标原点O到直线的距离为1和直线，再结合点到直线的距离公式得出实数a的值。
20．【答案】（1）依题意，抛物线过点，则，解得，
所以E的标准方程为.
（2）由（1）知，抛物线E的焦点，准线方程为，
显然直线不垂直于轴且斜率不为0，
设直线的方程为：，点，
由消去并整理得：，则，，
而，解得，于是，，
所以.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）根据点在抛物线上，代入求p即可求解；
（2）恒过定点F(1，0)设立直线方程，联立方程组，结合韦达定理得到A、B横坐标的关系，再利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离求出BF.
21．【答案】（1）解：根据题意，因为圆过两点，，设的中点为，则，
因为，所以的中垂线方程为，即，
又因为圆心在直线上，联立解得所以圆心，
半径，
故圆的方程为．
（2）解：由题意得，．
当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，此时，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
则，解得，
所以直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】 (1)、 圆过两点，，设的中点为，则，求出的中垂线方程，求出圆心，写出圆的方程.
(2)、 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，求出k，写出圆的方程.
22．【答案】（1）解：因为，，则，又平面，平面，则，
而，平面，因此平面，又平面，
所以平面平面．
（2）解：因为底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
设，，其中，
显然平面的一个法向量为，
依题意，，解得，
于是为的中点，即，设平面的法向量为，，，
则，取，得，
而平面的一个法向量为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意可得先证 ，， 可得 平面， 进而可得 平面平面；
(2) 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设， 根据题意结合线面夹角可得 ，进而利用空间向量求面面夹角.
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