2023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷5
一、选择题
1．（2023高二上·柳州开学考）下列说法中正确的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
C．两组对边都相等的四边形是平面图形
D．梯形一定是平面图形
2．（2023高三上·深圳月考）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二上·沂水期中）已知空间向量，，则（ ）
A． B．6 C．36 D．40
4．（2023高二上·余姚期末）直线的倾斜角为（ ）
A．0 B． C． D．
5．（2023·诸暨模拟）已知点分别为直线上的动点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆，若双曲线的一条渐近线与圆C相切，则（ ）
A． B． C． D．8
7．（2023高二下·深圳期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（ ）
A． B． C． D．
9．直线与抛物线：交于、两点，若，其中为坐标原点，则的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
10．（2023高二下·湛江期末）下列命题是真命题的有（ ）
A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
D．平面α经过三点是平面α的法向量，则
11．（2022高二上·安徽月考）设函数（，且）的图象过定点，若直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高二下·湛江期末）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
13．（2022高三上·长沙月考）已知点P在圆O：上，直线：分别与轴，轴交于两点，则（ ）
A．过点作圆O的切线，则切线长为
B．满足的点有3个
C．点到直线距离的最大值为
D．的最小值是
三、填空题
14．（2023高二上·北海期末）已知向量，，若，则 .
15．（2023高二上·淮安开学考）圆的半径为 .
16．（2023高三上·上海市开学考）“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的 条件．
17．（2023高二下·宁波期末）圆心在原点且与直线相切的圆的方程为 .
四、解答题
18．（2023高二下·盐田月考）已知双曲线的焦距为，点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.
19．已知抛物线，圆是上异于原点的一点.
（1）设是上的一点，求的最小值；
（2）过点作的两条切线分别交于两点（异于）.若，求点的坐标.
20．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
（1）求证：；
（2）若点为棱上不与端点重合的动点，且与平面所成角正弦值为，求点到平面的距离.
21．（2023高二下·花都期中）已知椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于，两点，求的值．
22．（2023高二上·江岸期末）如图，已知点，，是抛物线上的三个不同的点，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形.
（1）若直线的斜率为1，求顶点的坐标；
（2）求的面积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面的概念、画法及表示；平面的基本性质及推论；共面向量定理
【解析】【解答】解：A、 空间不共线三点可以确定一个平面，A错误；
B、 当A，B，C，D在平面α与平面β交线上时，A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，但平面α和平面β相交，B错误；
C、 两组对边都相等的四边形如正四面体，不是平面图形，C错误；
D、梯形上下边平行，梯形一定是平面图象，D正确.
故答案为：D.
【分析】A空间不共线三点可以确定一个平面；B考虑当A，B，C，D在平面α与平面β交线上时；C列举正四面体；D梯形上下边平行，所以梯形一定是平面图象.
2．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由 ， ， 得，即，
由于P、C、D在一条直线上，故，解得，
又因为 ，，所以 ，
，
即
故答案为：C.
【分析】 由平面向量的线性运算和平面向量基本定理可求出m，再利用向量数量积的运算求出，再由向量模的公式直接计算即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意，.
故答案为：B
【分析】写出两向量的差，求出模即可.
4．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】设直线的倾斜角为，
由题意可知：，所以。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而结合直线的倾斜角取值范围，从而得出直线的倾斜角的值。
5．【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】∵，
则 ，
又∵A(-2，0)，B为直线y=mx上的动点，
∴为点A到直线的距离，即，
所以的最小值为，
故答案为：C.
【分析】用向量的数量积和加法运算把的最小值转化成点到直线的距离为题即可求解.
6．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 圆 变形为(x-3)2+y2=1，
故圆心为(3， 0)，半径为1，
在双曲线中，a=1，b=m，则双曲线的一条渐近线为，
根据题意可得，解得
故答案为：C.
【分析】 先求出圆心和半径，再求出双曲线的一条渐近线，由直线与圆相切的性质列出方程，求解出m的值，可得答案.
7．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，为椭圆的另一个焦点，∴，
∵ 过原点的直线l与C交于A，B两点，
∴，，
∴，即
∵，∴，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
【分析】首先设，为椭圆的另一个焦点，由于过原点的直线l与C交于A，B两点， 所以，即可求出a，根据勾股定理求出AB，再根据中位线定理可求出c，即可求出离心率.
8．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：设分别为双曲线的下焦点和上焦点，过点作垂足为点H，由题意，再结合双曲线的定义可知，所以，再由，所以，满足勾股定理，即，故，得，又因为，所以，故点，最后将点代入双曲线中化简可得，即，解得，结合选项即可判断B选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据双曲线的定义结合已知条件，可得，再由及勾股定理推出点，再将点P坐标代入双曲线方程化简得到a，b的关系结合选项即可判断.
9．【答案】B
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意，不妨设，则 ，解得p=1，
所以抛物线的方程为，准线方程为.
故答案为：B.
【分析】设出，结合得到p，从而得到抛物线方程以及准线方程.
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面的法向量
【解析】【解答】解：A、因为不能构成空间的一个基底，所以共面，即共面，故A正确；
B、因为，，所以，即，故B正确；
C、，，，所以，则直线在平面内或直线，故C错误；
D、因，所以，由题意可得，故，即.
故答案为：ABD.
【分析】根据基底的概念判断A；由空间两直线垂直，方向向量垂直判断B；根据直线的方向向量和平面的法向量垂直，即可判断C；根据平面的法向量垂直平面内任意直线即可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；直线的截距式方程
【解析】【解答】由题意函数（，且）的图象过定点，
令，则，故，
因为直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，
当直线过坐标原点时，此时方程为，
当直线不过坐标原点时，设其方程为，将代入得，即，
故答案为：BC.
【分析】根据对数函数的性质可求出点P，再分直线过坐标原点和直线不过坐标原点，分别求出直线的方程，可得答案.
12．【答案】A,C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线，即，可知开口向上，焦点为，由焦点到准线的距离为，所以焦点到准线的距离为4，准线方程为.
故答案为：AC.
【分析】先化抛物线方程为标准方程，根据抛物线标准方程和性质即可得相关结论.
13．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】对于A，点，点，过点作圆O的切线，则切线长为，A符合题意；
对于B，，
点在以为直径的圆上，
设的中点为，
圆的方程：，
则圆与圆的圆心距为：，
，
圆与圆O相交，有两个交点，
即满足的点有2个，B不正确；
对于C，点，则圆心到直线的距离，所以点到该直线距离的最大值为，C符合题意；
对于D，的中点，，因为，的最小值是，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 根据直线与圆的位置关系，向量的线性运算，化归转化思想，逐项进行判断，可得答案.
14．【答案】
【知识点】向量的模；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】，故，解得，故，，
，则
故答案为：
【分析】，故，解得，故，，进而根据向量坐标运算，求出向量的模.
15．【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解： ，
∴圆的半径为
故答案为：.
【分析】把圆的一般方程转化为标准方程，即可得到答案.
16．【答案】充要
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：充分性：，则，椭圆的焦点在轴上，即椭圆的焦点在轴上，充分性成立；
必要性：椭圆的焦点在轴上，则，，，必要性成立，是椭圆的焦点在轴上充要条件.
故答案为：充要.
【分析】根据充分必要条件的定义结合椭圆性质求解.
17．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意得：点（0，0）到直线x+y-4=0的距离等于半径，
即，
所以圆的方程为
【分析】利用圆心到直线的距离等于半径，即可求出半径，进而得到圆的方程。
18．【答案】（1）解：由题意知
解得双曲线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，
联立方程组消去，得
则，
直线方程为，
令，则，
同理，
由，可得，
，
，
，
，
，
，即，
当时，，
此时直线方程为，恒过定点，不合题意；
，此时直线方程为，恒过定点.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【分析】（1）利用焦距为，点在双曲线上及 ，代入求解 双曲线的方程 ；
（2） 联立直线的方程和双曲线的方程结合韦达定理得出由得到代入化简 ， 进而分析m的值判断直线是否过定点 。
19．【答案】（1）解：设，圆心，半径为，
，
所以当时，有最小值，
所以的最小值；
（2）解：由题设，切线斜率一定存在，设切线的斜率为，
所以切线的方程为：，
由圆的切线性质可知：
，
设，
，是方程的两个不相等实根，
因此，即，且，
所以由圆的切线性质知：，
，
所以的坐标为或.
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】 (1)根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可；
(2)根据圆的切线性质，结合等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、点到直线距离公式进行求解即可求出点的坐标.
20．【答案】（1）证明：∵平面平面，平面平面，，平面，
∴平面且平面，故
（2）解：∵△PAB中PA2=AB2+PB2，
∴PB⊥AB，
如图所示，建立以B为原点的空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，A(-1，0，0)，C(0，2，0)，D(-1，3，0)，P(0，0，)，
，其中λ∈[0，1]，
则E(λ-1，0，)，
取平面PAB法向量，，
，
解得λ=或0（舍），
则，，，，
取平面PCD法向量，
则，，
令x=，得，
则点E到平面PCD的距离.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)由面面垂直的性质得到BC⊥平面PAB，进而证得BC⊥PB；
(2)以B为原点建立空间直角坐标系，根据 与平面所成角正弦值为 ，求得点E、、、的坐标，运用空间中点到面的距离公式求解即可.
21．【答案】（1）解：因为椭圆经过，且离心率为，
所以，解得，，
故椭圆的方程为．
（2）解：设，，
联立，得，
所以，，
则
．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】(1)根据椭圆经过，且离心率为，解得，，求出椭圆方程.
(2) 设，，直线方程与椭圆方程联立求出，，，根据向量运算法则求出即可.
22．【答案】（1）解：设，，，
，同理，
由，，所以，
，
，
由，所以，所以，所以
（2）解：设直线的斜率为，由（Ⅰ）知，则，，
直线的斜率为，，由，
所以，所以，
，
，
由和得，
，
当且仅当时取等号，故的面积的最小值为1.
【知识点】基本不等式；斜率的计算公式；平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】(1) 设，，，，同理，
可得 ， 根据两点间的距离公式可得 ， 进而求出顶点的坐标；
(2) 设直线的斜率为，由（Ⅰ）知，则， ，同理可得 ， 由 ，求得 ，表示出 后，利用基本不等式，即可求解出 的面积的最小值.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷5
一、选择题
1．（2023高二上·柳州开学考）下列说法中正确的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
C．两组对边都相等的四边形是平面图形
D．梯形一定是平面图形
【答案】D
【知识点】平面的概念、画法及表示；平面的基本性质及推论；共面向量定理
【解析】【解答】解：A、 空间不共线三点可以确定一个平面，A错误；
B、 当A，B，C，D在平面α与平面β交线上时，A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，但平面α和平面β相交，B错误；
C、 两组对边都相等的四边形如正四面体，不是平面图形，C错误；
D、梯形上下边平行，梯形一定是平面图象，D正确.
故答案为：D.
【分析】A空间不共线三点可以确定一个平面；B考虑当A，B，C，D在平面α与平面β交线上时；C列举正四面体；D梯形上下边平行，所以梯形一定是平面图象.
2．（2023高三上·深圳月考）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由 ， ， 得，即，
由于P、C、D在一条直线上，故，解得，
又因为 ，，所以 ，
，
即
故答案为：C.
【分析】 由平面向量的线性运算和平面向量基本定理可求出m，再利用向量数量积的运算求出，再由向量模的公式直接计算即可得答案.
3．（2022高二上·沂水期中）已知空间向量，，则（ ）
A． B．6 C．36 D．40
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意，.
故答案为：B
【分析】写出两向量的差，求出模即可.
4．（2023高二上·余姚期末）直线的倾斜角为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】设直线的倾斜角为，
由题意可知：，所以。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而结合直线的倾斜角取值范围，从而得出直线的倾斜角的值。
5．（2023·诸暨模拟）已知点分别为直线上的动点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】∵，
则 ，
又∵A(-2，0)，B为直线y=mx上的动点，
∴为点A到直线的距离，即，
所以的最小值为，
故答案为：C.
【分析】用向量的数量积和加法运算把的最小值转化成点到直线的距离为题即可求解.
6．已知圆，若双曲线的一条渐近线与圆C相切，则（ ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 圆 变形为(x-3)2+y2=1，
故圆心为(3， 0)，半径为1，
在双曲线中，a=1，b=m，则双曲线的一条渐近线为，
根据题意可得，解得
故答案为：C.
【分析】 先求出圆心和半径，再求出双曲线的一条渐近线，由直线与圆相切的性质列出方程，求解出m的值，可得答案.
7．（2023高二下·深圳期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，为椭圆的另一个焦点，∴，
∵ 过原点的直线l与C交于A，B两点，
∴，，
∴，即
∵，∴，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
【分析】首先设，为椭圆的另一个焦点，由于过原点的直线l与C交于A，B两点， 所以，即可求出a，根据勾股定理求出AB，再根据中位线定理可求出c，即可求出离心率.
8．已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：设分别为双曲线的下焦点和上焦点，过点作垂足为点H，由题意，再结合双曲线的定义可知，所以，再由，所以，满足勾股定理，即，故，得，又因为，所以，故点，最后将点代入双曲线中化简可得，即，解得，结合选项即可判断B选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据双曲线的定义结合已知条件，可得，再由及勾股定理推出点，再将点P坐标代入双曲线方程化简得到a，b的关系结合选项即可判断.
9．直线与抛物线：交于、两点，若，其中为坐标原点，则的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意，不妨设，则 ，解得p=1，
所以抛物线的方程为，准线方程为.
故答案为：B.
【分析】设出，结合得到p，从而得到抛物线方程以及准线方程.
二、多项选择题
10．（2023高二下·湛江期末）下列命题是真命题的有（ ）
A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
D．平面α经过三点是平面α的法向量，则
【答案】A,B,D
【知识点】平面的法向量
【解析】【解答】解：A、因为不能构成空间的一个基底，所以共面，即共面，故A正确；
B、因为，，所以，即，故B正确；
C、，，，所以，则直线在平面内或直线，故C错误；
D、因，所以，由题意可得，故，即.
故答案为：ABD.
【分析】根据基底的概念判断A；由空间两直线垂直，方向向量垂直判断B；根据直线的方向向量和平面的法向量垂直，即可判断C；根据平面的法向量垂直平面内任意直线即可判断D.
11．（2022高二上·安徽月考）设函数（，且）的图象过定点，若直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；直线的截距式方程
【解析】【解答】由题意函数（，且）的图象过定点，
令，则，故，
因为直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，
当直线过坐标原点时，此时方程为，
当直线不过坐标原点时，设其方程为，将代入得，即，
故答案为：BC.
【分析】根据对数函数的性质可求出点P，再分直线过坐标原点和直线不过坐标原点，分别求出直线的方程，可得答案.
12．（2023高二下·湛江期末）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
【答案】A,C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线，即，可知开口向上，焦点为，由焦点到准线的距离为，所以焦点到准线的距离为4，准线方程为.
故答案为：AC.
【分析】先化抛物线方程为标准方程，根据抛物线标准方程和性质即可得相关结论.
13．（2022高三上·长沙月考）已知点P在圆O：上，直线：分别与轴，轴交于两点，则（ ）
A．过点作圆O的切线，则切线长为
B．满足的点有3个
C．点到直线距离的最大值为
D．的最小值是
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】对于A，点，点，过点作圆O的切线，则切线长为，A符合题意；
对于B，，
点在以为直径的圆上，
设的中点为，
圆的方程：，
则圆与圆的圆心距为：，
，
圆与圆O相交，有两个交点，
即满足的点有2个，B不正确；
对于C，点，则圆心到直线的距离，所以点到该直线距离的最大值为，C符合题意；
对于D，的中点，，因为，的最小值是，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 根据直线与圆的位置关系，向量的线性运算，化归转化思想，逐项进行判断，可得答案.
三、填空题
14．（2023高二上·北海期末）已知向量，，若，则 .
【答案】
【知识点】向量的模；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】，故，解得，故，，
，则
故答案为：
【分析】，故，解得，故，，进而根据向量坐标运算，求出向量的模.
15．（2023高二上·淮安开学考）圆的半径为 .
【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解： ，
∴圆的半径为
故答案为：.
【分析】把圆的一般方程转化为标准方程，即可得到答案.
16．（2023高三上·上海市开学考）“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的 条件．
【答案】充要
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：充分性：，则，椭圆的焦点在轴上，即椭圆的焦点在轴上，充分性成立；
必要性：椭圆的焦点在轴上，则，，，必要性成立，是椭圆的焦点在轴上充要条件.
故答案为：充要.
【分析】根据充分必要条件的定义结合椭圆性质求解.
17．（2023高二下·宁波期末）圆心在原点且与直线相切的圆的方程为 .
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意得：点（0，0）到直线x+y-4=0的距离等于半径，
即，
所以圆的方程为
【分析】利用圆心到直线的距离等于半径，即可求出半径，进而得到圆的方程。
四、解答题
18．（2023高二下·盐田月考）已知双曲线的焦距为，点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.
【答案】（1）解：由题意知
解得双曲线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，
联立方程组消去，得
则，
直线方程为，
令，则，
同理，
由，可得，
，
，
，
，
，
，即，
当时，，
此时直线方程为，恒过定点，不合题意；
，此时直线方程为，恒过定点.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【分析】（1）利用焦距为，点在双曲线上及 ，代入求解 双曲线的方程 ；
（2） 联立直线的方程和双曲线的方程结合韦达定理得出由得到代入化简 ， 进而分析m的值判断直线是否过定点 。
19．已知抛物线，圆是上异于原点的一点.
（1）设是上的一点，求的最小值；
（2）过点作的两条切线分别交于两点（异于）.若，求点的坐标.
【答案】（1）解：设，圆心，半径为，
，
所以当时，有最小值，
所以的最小值；
（2）解：由题设，切线斜率一定存在，设切线的斜率为，
所以切线的方程为：，
由圆的切线性质可知：
，
设，
，是方程的两个不相等实根，
因此，即，且，
所以由圆的切线性质知：，
，
所以的坐标为或.
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】 (1)根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可；
(2)根据圆的切线性质，结合等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、点到直线距离公式进行求解即可求出点的坐标.
20．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
（1）求证：；
（2）若点为棱上不与端点重合的动点，且与平面所成角正弦值为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：∵平面平面，平面平面，，平面，
∴平面且平面，故
（2）解：∵△PAB中PA2=AB2+PB2，
∴PB⊥AB，
如图所示，建立以B为原点的空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，A(-1，0，0)，C(0，2，0)，D(-1，3，0)，P(0，0，)，
，其中λ∈[0，1]，
则E(λ-1，0，)，
取平面PAB法向量，，
，
解得λ=或0（舍），
则，，，，
取平面PCD法向量，
则，，
令x=，得，
则点E到平面PCD的距离.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)由面面垂直的性质得到BC⊥平面PAB，进而证得BC⊥PB；
(2)以B为原点建立空间直角坐标系，根据 与平面所成角正弦值为 ，求得点E、、、的坐标，运用空间中点到面的距离公式求解即可.
21．（2023高二下·花都期中）已知椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于，两点，求的值．
【答案】（1）解：因为椭圆经过，且离心率为，
所以，解得，，
故椭圆的方程为．
（2）解：设，，
联立，得，
所以，，
则
．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】(1)根据椭圆经过，且离心率为，解得，，求出椭圆方程.
(2) 设，，直线方程与椭圆方程联立求出，，，根据向量运算法则求出即可.
22．（2023高二上·江岸期末）如图，已知点，，是抛物线上的三个不同的点，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形.
（1）若直线的斜率为1，求顶点的坐标；
（2）求的面积的最小值.
【答案】（1）解：设，，，
，同理，
由，，所以，
，
，
由，所以，所以，所以
（2）解：设直线的斜率为，由（Ⅰ）知，则，，
直线的斜率为，，由，
所以，所以，
，
，
由和得，
，
当且仅当时取等号，故的面积的最小值为1.
【知识点】基本不等式；斜率的计算公式；平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】(1) 设，，，，同理，
可得 ， 根据两点间的距离公式可得 ， 进而求出顶点的坐标；
(2) 设直线的斜率为，由（Ⅰ）知，则， ，同理可得 ， 由 ，求得 ，表示出 后，利用基本不等式，即可求解出 的面积的最小值.
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