(共35张PPT)
方 阵 问 题
北京版四年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
分层作业
05
课堂总结
06
目录
教学目标
使学生认识方阵中的数学问题，培养学生从实际问题中探索规律，寻求解决问题的有效方法能力。
01
03
02
通过学生动手操作、讨论交流等，引导学生经历探索过程,发现方阵排列的规律,体验解决问题策略的多样性。
让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
新知导入
2019年阅兵式
新知导入
观 察 与 发 现 。
行8人
列8人
这样的正方形队列叫做方阵。
方就是正方形。
新知导入
你 知 道 吗？
中实方阵（实心）
中空方阵（空心）
因为它们是四行四列，所以也叫做4乘4的方阵。
新知导入
你 知 道 吗？
这个方阵有两层，也叫两层方阵。
一圈叫一层
这个方阵只有一层，也叫一层方阵。
新知讲解
最外层一共多少盆花？
这个花坛的最外层每边各有6盆花。
新知讲解
说一说：这个方阵的名字？
这是个三层方阵。
由6行6列组成，所以叫6乘6的方阵。
新知讲解
小组合作 解决问题
要求：
1、圈一圈，画一画，算一算。
2、你发现了什么？
新知讲解
展 示 汇 报
我这样算：
6盆
6×4=24（盆）
6盆
顶点的花算重了。
新知讲解
展 示 汇 报
有4个顶点，重复了4盆。
6×4-4=20（盆）
新知讲解
展 示 汇 报
我这样想：
（6-1）×4=20（盆）
新知讲解
下面的方法你想到了吗？
6×2+4×2=20（盆）
4×4+4=20（盆）
新知讲解
说一说：怎样计算方阵四周人数？
四周人数=（每边人数-1）×4
四周人数=每边人数×4-4
每边人数=（ ）
四周人数÷4+1
或（四周人数+4）÷4
新知讲解
练
一
练
最外层共有32枚棋子。一共多少枚棋子。
新知讲解
我这样算：
32÷4+1=9（枚）
9×9=81（枚）
我这样算：
（32+4）÷4=9（枚）
9×9=81（枚）
答：一共81枚棋子。
试
一
试
新知讲解
说一说：怎样计算方阵总人数？
方阵总人数=每边人数×每边人数
课堂练习----基础题
1、学校学生排成一个方阵，每边18人，问这个方阵最外层有多少 人
（18-1）×4=68（人）
答：这个方阵最外层有68 人。
课堂练习------基础题
2、某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为32人。问方阵外层每边有多少人？
32÷4+1=9（人）
答：方阵外层每边有9人。
课堂练习------基础题
3、小红用棋子摆成一个正方形实心方阵，每边用10枚棋子，一共用了多少枚棋子？
10×10=100（枚）
答：一共用了100枚棋子。
课堂练习------基础题
4、这个方阵里有多少枚棋子？
8枚
8枚
8×8-4×4=48（枚）
答：这个方阵里共有48枚棋子。
课堂练习----提高题
5、参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列， 如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？
7+6=13（人）
7×7-13=36（人）
答：要去掉13名学生。还剩下36名学生。
课堂练习----拓展题
6、一个街心花园如右图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成，已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9盆花。问大三角形边上栽有多少盆花？
9棵
9棵
答：大三角形边上栽有48盆花。
分析： ①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株， 则大三角形边上栽的棵数为：
9×2-1=17（盆）。
② 又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花：
（17-1）×3=48（盆）。
课堂总结
说一说：
通过刚才的学习，你有什么收获？
方阵总人数=每边人数×每边人数
四周人数=（每边人数-1）×4
板书设计
方阵问题
四周人数=（每边人数-1）×4
四周人数=每边人数×4-4
方阵总人数=每边人数×每边人数
每边人数=（ ）
四周人数÷4+1
或（四周人数+4）÷4
作业布置
要认真完成呦！
作业布置------知识技能类
1、学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面， 每边插7面。一共要准备多少面旗子？
（7-1）×4=24（面）
答：一共要准备24面旗子。
作业布置------知识技能类
2、小动物做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，河马都是第5个，这个方阵共有多少只小动物？
4+1+4=9（只）
9×9=81（只）
答：这个方阵共有81只小动物。
作业布置------知识技能类
3、游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边一层每边12人，请问：彩车周围的少先队员共有多少人？
第一层共有（12-1）×4=44（人）
第二层共有（10-1）×4=36（人）
第三层共有（8-1）×4=28（人）
44+36+28=108（人）
答：彩车周围的少先队员共108人。
作业布置------知识技能类
4、一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？
20 – 4=16（人）
20×20-16×16=144（人）
答：要减掉144人。
作业布置------选做题
12+9=21（人）
（21+1）÷2=11（人）
11×11=121（人）
121-9=112（人）
答：原有学生112人。
5、有学生若干名，排成实心方阵则多12人，若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满，请问：原有学生多少人？
分析：由于纵横两个方向各增加1人,因此不但将剩余12人摆上,而且还差9人,说明一横行与一竖行的人数总和是12+9=21人。
又由于纵横两个方向各增加1人,因此只有1人同属于横行与纵行,在数每边上的人数时,总被多数一次,因此可以用21人先加上被重复数过的1人,再除以2,也就得到每边人数。列式为(21+1)÷2=11人。求出每边人数,就可求出假设排满后的人数,列式为11×11=121人,用121人减去差的9人就是原来人数,列式为121-9=112人。
作业布置------综合实践类
6、查一查，说说什么是方阵？除了方阵你还知道什么阵？
谢谢
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《数学百花园》单元整体设计
单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《义务教育数学课程标准（2022 年版）》强调以培养“四基”——基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，提高“四能”——发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，为抓手来 促进数学核心素养的发展。
“四基”中的数学基本思想是指支撑数学科学发展的思想，核心在于数学推理、数学建模。如何让学生获得数学思想，关键要让学生经历概念的抽象过程。
本单元主要介绍一些数学基本思想和方法，使学生运用这些数学思想方法解决一些简单的问题。
（二）单元教材内容分析
本单元主要是结合实际问题，引导学生初步体会集合思想及方阵问题、编码规则的特点。
集合思想是数学中最基本的思想，集合理论是数学的基础。从学生一开始学习数学，其实就已经在运用集合的思想和方法了。例如，我们学习过的分类思想和方法实际上就是集合理论的基础。“重叠问题”借助学生熟悉的题材，渗透集合的有关思想，并利用直观图的方式求出参加两个小组的总人数。
“方阵问题”，通过现实生活中一些常见的实际问题，方阵队伍、花坛、棋盘等，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。
“数字编码”通过对身份证号码的编码规则的认识，引导学生了解一些简单的编码规则，同时也初步了解编码在生活中的应用，从新的角度感受数学的应用价值。
（三）学生认知情况
关于“重叠问题”“方阵问题”和“编码”的研究，学生在生活中已经有了一定的经验积累。在一年级已经学习了“从前数小明第五，从后数小明第七”的重叠问题的认识，在三年级时学生已经认识了正方形，了解正方形的特点；在生活中，学生经常看到身份证号码和电话号码，所以对这部分内容学上并不陌生，所以学习起来比较容易。因此在教学中要发挥生活经验在数学学习中的积极作用引导学生发现问题，解决问题。
二、单元目标拟定
1、引导学生在解决实际问题的过程中初步感受集合思想；了解方阵问题的特点，掌握解决方阵问题的基本方法；了解编码在生活中的作用及一些简单的编码规则。
2、引导学生感受数学在现实生活中的广泛应用，尝试用数学的方法解决问题，提高学生解决实际问题的能力。
3、引导学生在参与数学活动的过程中感受数学的价值，获得成功的学习体验。
三、关键内容确定
（一）教学重点
借助直观理解重叠问题，掌握问题的特点。
（二）教学难点
能够尝试用不同方法解决问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。
本单元内容是通过学生熟悉的“参加课外小组活动”“一共有多少花盆”和“身份证号码”情景，介绍了数学的思想和方法，使学生运用这些数学思想方法解决一些简单的问题，为学生提供了一种通过综合、实践的过程去做数学、学数学、理解数学的机会。
本单元教材的具体编排结构如下:
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：
*（一）关注学生已有的数学活动经验。
“重叠问题”借助学生熟悉的题材参加课外小组，渗透集合的有关思想；
“方阵问题”通过现实生活中一些常见的实际问题，方阵队伍、花坛、棋盘等，让学生从中发现一些规律；
“编码”则是通过通过探索身份证编码，让学生体会编码编排的特点，领略数字编码的思想和方法。
（二）重视数学思想方法的培养。
集合思想是数学中最基本的思想，集合理论可以说是数学的基础。《重叠问题》主要向学生介绍有关数学的集合思想和方法。使学生能运用这些思想和方法解决一些简单的问题。《方阵问题》主要培养学生初步的模型思想。教材让学生通过生活中的实例，在观察、对比、探究活动中，在解决问题的过程不断巩固方阵的特点，让学生逐步建立起方阵模型。 《数字编码》通过探索身份证编码，让学生体会编码编排的特点，领略数字编码的思想和方法，激发学生对数学的学习兴趣及应用数学的意识，培养学生的探索精神和实践能力。
（三）注重进行数学活动。
本单元课程着重体现“知识在做数学中自主建构，思维在交流互动中提升拓展”。通过学生在练习纸上把自己的想法圈一圈，画一画的学习方式，使每一个学生都能经历数学学习的全过程，让他们结合自己独特的学习体验感受数学知识，建构对数学知识的认识，从而将知识内化为自己的能力。并深刻体会到解决问题方法的多样性，在比较和应用的过程中对众多方法进行优化，感受到具体问题具体分析，依据实际情况灵活地选择方法。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 □图形与几何 □统计与概率 综合与实践
单元数量 1
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数据整理与概率统计 条形统计图 条形统计图 1
根据信息完成统计表和统计图 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 □符号化 分类 集合 □对应□演绎 归纳 □类比 □转化 数形结合 □极限□模型 □方程 □函数 □统计分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
10.1《重叠问题》 使学生借助韦恩图,利用集合的思想方法解决简单的实际问题。 任务一：学习画韦恩图。四（1）班参加文艺小组、体育小组的学生一共有多少人？→ 任务二：学习韦恩图的计算。你能计算出参加两个小组的总人数吗？ 1、会画出韦恩图。会计算韦恩图中两部分的总人数。
10.2《方阵问题》 目标：使学生认识方阵中的数学问题，培养学生从实际问题中探索规律，寻求解决问题的有效方法能力。 任务一：学习方阵的概念。观看阅兵式，说说什么是方阵？ 任务二：学习方阵最外层的计算方法。 最外层一共多少盆花？ 任务三：学习计算方阵的总人数。 最外层共有32枚棋子。一共多少枚棋子。 1.能说出什么是方阵。2.能说出方阵的特点，会计算最外层人数的数量。3. 会计算方阵中的总人数。
10.3《编码》 目标： 让学生通过观察比较猜测，初步探索数字编码的方法，体会数字编码的特点。 任务一：学习身份证中的信息。你知道这18位号码每一位代表的意义吗？任务二：寻找编码。生活中还有哪些地方用到编码 1. 能说出身份证中的信息。会根据身份证确定人物的出生时间和性别。2. 能说出身边的编码：如邮政编码、电话号码、学籍号码等。
活动一：学习韦恩图。
问题：重叠问题怎样解决
问题：方阵问题怎样解决
任务一：重叠问题。
任务二：方阵问题。
活动二：学习韦恩图的计算。
活动一：学习方阵的概念。
数学百花园
1.1
活动二：学习方阵外层人数的计算方法。
活动三：学习计算方阵的总人数。
活动二：寻找生活中的编码。
活动一：学习身份证中的信息。
问题：怎样进行编码
任务一：编码。
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方阵问题 综合练习题
知识技能类
1、学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面， 每边插7面。一共要准备多少面旗子？
2、小动物做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，河马都是第5个，这个方阵共有多少只小动物？
3、游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边一层每边12人，请问：彩车周围的少先队员共有多少人？
4、一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？
选做题：
5、有学生若干名，排成实心方阵则多12人，若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满，请问：原有学生多少人？
综合实践类：
6、查一查，说说什么是方阵？除了方阵你还知道什么阵？
习题答案
知识技能类：
1、（7-1）×4=24（面）
2、4+1+4=9（只） 9×9=81（只）
3、第一层共有（12-1）×4=44（人）
第二层共有（10-1）×4=36（人）
第三层共有（8-1）×4=28（人）
44+36+28=108（人）
4、20 – 4=16（人）
20×20-16×16=144（人）
选做题：
5、
分析：由于纵横两个方向各增加1人,因此不但将剩余12人摆上,而且还差9人,说明一横行与一竖行的人数总和是12+9=21人。
又由于纵横两个方向各增加1人,因此只有1人同属于横行与纵行,在数每边上的人数时,总被多数一次,因此可以用21人先加上被重复数过的1人,再除以2,也就得到每边人数。列式为(21+1)÷2=11人。求出每边人数,就可求出假设排满后的人数,列式为11×11=121人,用121人减去差的9人就是原来人数,列式为121-9=112人。
12+9=21（人）
（21+1）÷2=11（人）
11×11=121（人）
121-9=112（人）
综合实践类：
6、略
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第十单元第二课时方阵问题教学设计
课题 方阵问题 单元 十 学科 数学 年级 四年级
教材分析 《方阵问题》为北京版教材四年级数学百花园中第二节内容。第一节内容是重叠问题，两个问题都是对于数学中存在的重叠现象的研究。学生可以通过对生活中实际问题的探索，发现方阵问题中存在的规律，抽象出数学模型，并且能够应用模型解决问题，形成初步的模型思想。并且将图与算式建立起联系，将抽象的数字图像化。
学习目标 知识目标：使学生认识方阵中的数学问题，培养学生从实际问题中探索规律，寻求解决问题的有效方法能力。能力目标：通过学生动手操作、讨论交流等，引导学生经历探索过程,发现方阵排列的规律,体验解决问题策略的多样性。情感目标：让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
重点 借探索方阵排列的规律,寻找解决问题的有效方法。
难点 借助直观图培养学生初步的模型思想并提高学生解决实际问题的能力。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 任务一：学习方阵的概念。1、观看视频：2019年阅兵式师：这样的正方形队列叫做方阵。阅兵时解放军战士们排成的就是这样的队伍。2、你 知 道 吗？中实方阵（实心） 中空方阵（空心） 师：因为它们是四行四列，所以也叫做4乘4的方阵。3、师：一圈叫做一层。这个方阵有两层，也叫两层方阵。师：这个方阵只有一层，也叫一层方阵。师：认识了方阵，知道了方阵的特点，下面我们就研究组成方阵的人数。板书课题：方阵问题。 学生观看视频，说说自己的发现。 从生活中的方队入手，引导学生观察队伍整体形状，初步了解方阵的特点
讲授新课 任务二：学习方阵最外层的计算方法。1、课件出示例题：最外层一共多少盆花？ 2、说一说：这个方阵的名字？生1：这是个三层方阵。生2：由6行6列组成，所以叫6乘6的方阵。3、小组合作、解决问题。要求：1）圈一圈，画一画，算一算。2）你发现了什么？ 4、展示结果： 生1：我这样计算： 6×4=24（盆） 生2：顶点的花算重了。生:3：有4个顶点，重复了4盆。 6×4-4=20（盆）生4：我这样计算： 5×4=20（盆） 师：下面的方法你想到了吗？ 4、说一说：怎样计算方阵四周人数？ 师总结：四周人数=（每边人数-1）×4 四周人数=每边人数×4-4每边人数=（ 四周人数÷4+1 ） 或（四周人数+4）÷4任务三：学习计算方阵的总人数。1、课件出示：最外层共有32枚棋子。一共多少枚棋子。教师巡视，指导学困生。1、教师总结：方法一：32÷4+1=9（枚） 9×9=81（枚）方法二：（32+4）÷4=9（枚）9×9=81（枚）2、说一说：怎样计算方阵总人数？教师根据学生的汇报总结：方阵总人数=每边人数×每边人数 学生小组合作，圈一圈，画一画。算一算学生小组合作学习。 让学生在圈画的活动中经历探索规律的过程通过小组活动，掌握方阵最外层的特点，学会怎样计算最外层的数目。同时让学生感知解决问题的策略很多。通过小组合作学习，掌握方阵总数的计算方法。同时培养学生团结合作的能力。
课堂练习 基础题：1、某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为32人。问方阵外层每边有多少人？2、某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为32人。问方阵外层每边有多少人？3、小红用棋子摆成一个正方形实心方阵，每边用10枚棋子，一共用了多少枚棋子？4、这个方阵里有多少枚棋子？提高题：5、参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列， 如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？拓展题：6、一个街心花园如右图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成，已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9盆花。问大三角形边上栽有多少盆花？ 学生独立完成。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
课堂小结 师：说一说：通过刚才的学习，你有什么收获？生1：四周人数=（每边人数-1）×4。生2：方阵总人数=每边人数×每边人数 指名说一说。 通过师生回顾全课，说说本课所学内容，总结知识，升华认识。
评价方式 本节课将主要采取学生自评、组内互评和教师评价的方式，对学生的学习态度、参与活动的情况、学习效果进行比较客观的评价。对学习效果的评价主要从以下几方面进行：是否了解方阵问题的特点，是否结合直观图沟通不同方法间的联系，是否在活动中经历探索方阵问题的不同解决方法，也就是学生是否在探索与合作中真正理解和掌握教学知识和技能。
板书
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