(共29张PPT)
24.2.1点和圆的位置关系
人教版九年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1 理解与掌握点与圆的位置关系及其运用；
2 掌握不在同一直线上的三点确定一个圆；
3 理解三角形的外接圆和三角形外心的概念．
新知导入
东京奥运会女子十米气步枪决赛中，中国选手杨倩以251.8环摘得金牌，创造了新的奥运会纪录。右图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆(圆心相同、半径不等的圆)构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
射击点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，射击点离靶心越近，
它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击成绩越好.
新知讲解
观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？并对这六个点进行分类？
点与圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.
点在圆外：
点在圆上：
点在圆内：
点A、点C
点B
点D、点E、点F
新知讲解
r
·
C
O
A
B
则OC > r.
若点C在圆外，
若点A在圆内，
若点B在圆上，
则OA < r，
则OB = r，
反过来
若OA < r，
则点A在圆内，
若OB = r，
则点B在圆上，
若OC > r，
则点C在圆外.
新知讲解
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d则有：
点P在圆内 d ＜ r；
点P在圆外 d ＞ r.
点P在圆上 d = r；
符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.
r
·
O
A
P
P’
P’’
归纳总结
1）判断点与圆的位置关系的实质是判断点到圆心的距离和半径的大小关系.
2）已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系，
反过来，由点与圆的位置关系也可以确定该点到圆心的距离与半径的关系.
3）圆的外部可以看成到圆心的距离大于半径的点的集合；
圆的内部可以看成到圆心的距离小于半径的点的集合.
新知讲解
●O
●O
●O
●O
●O
问题1：平面上有一点A，经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？
能画出无数个圆，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A之间的距离.
新知讲解
问题2：经过两个已知点A、B能不能作圆？如果能，圆心分布有什么特点？
●
O
O
●
●
O
●
O
A
B
能作无数个圆，
它们的圆心在线段AB的垂直平分线上.
新知讲解
问题3：平面上有三点A、B、C，经过已知点A、B 、C的圆有几个？圆心在哪里？
A
B
C
0
经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
新知讲解
由下图可以看出，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O是△ABC的外心.反过来，△ABC是⊙O的内接三角形.
新知讲解
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点处,
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
新知讲解
思考经过同一直线上的三个点能作出一个圆吗？
如图，假设经过同一直线l上的A、B、C三点可以作一个圆.
那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，
而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以，经过同一直线上的三点不能作圆.
新知讲解
上面证明“经过同一直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立(即假设经过同一直线上的三个点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.
归纳总结
简述反证法的一般步骤？
1）假设命题的结论不成立;
2）从这个假设出发，经过推理，得出矛盾;
3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
新知讲解
用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”. 如图，我们要证明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2.
证明：假设∠1≠∠2，过点O作直线A′B′，
使∠EOB′＝∠2.
根据“同位角相等，两直线平行”，
可得A′B′∥CD.
这样，过点O就有两条直线AB、
A′B′都平行于CD，
这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.
这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，在中，，，BC=4．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
C
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．
4.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为__________________．
（1，4）或（6，5）
1
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．∴
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
D
课堂练习
【综合拓展类作业】
A
B
C
P
证明：假设PB=PC。
在△ABP与△ACP中
∴△ABP≌△ACP（SSS)
∴∠APB=∠APC(全等三角形对应边相等）
这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，
∴假设不成立.则PB≠PC
6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。
求证：PB≠PC
课堂总结
点和圆的位置关系
点和圆的位置关系
点在圆内
d﹤r
点在圆上
点在圆外
d＝r
d > r
确定圆的条件：
不在同一直线上的三个点
确定一个圆.
反证法：
①反设，②推出矛盾，
③得出结论。
板书设计
点和圆的位置关系
一、过三点的圆定理
二、三角形外心的定义
三、反证法的步骤
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．用反证法证明命题钝角三角形中必有一个内角小于45°时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于等于45° B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45° D．有一个内角小于45°
2.一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为( )
A．16cm或6 cm B．3cm或8 cm C．3 cm D．8 cm
A
B
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
C
B
A
3.如图，已知 Rt⊿ABC 中 ，若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径。
解：在 Rt⊿ABC 中 ，∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，由勾股定理得AB=13cm
∵∠C=90°
∴AB是直径
∴半径为6.5
作业布置
【综合拓展类作业】
解：(1)答案不唯一，如图所示．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4.
(1)以点A为圆心画两个同心圆，使点B在小圆内，点C在大圆外；
(2)以点A为圆心画⊙A，设⊙A的半径为R，若点B，C，D三点中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，求R的取值范围．
作业布置
【综合拓展类作业】
解（2）：如图，连接AC，在Rt△ABC中，
AC＝＝＝2.
∵B，C，D三点中至少有一点在⊙A内，则R＞AB＝2.
∵B，C，D三点中至少有一点在⊙A外，则R＜AC＝2.
综上所述，R的取值范围为2＜R＜2.
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第一课时《24.2.1点和圆的位置关系》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教版《义务教育教科书 数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十四章“圆”24.2.1 点和圆的位置关系，内容包括：理解与掌握点和圆的位置关系，理解三角形外接圆和三角形外心的概念.在研究点和圆的位置关系时，是从其几何特征(交点个数)和代数特性(点到圆心的距离与半径的关系)两个角度刻画的．因此，在探究与圆有关的位置中，点和圆的位置关系是基础．对于经过不在同一直线上的三点作圆的问题，可以从过一点、过两点开始探究，其中体现了转化的思想．同时，在对过一点、过两点、过不在同一直线上的三点作圆的探究，其核心都是要明确确定圆的要素——确定圆心和半径．
学习者分析 学生前面已经掌握了圆的有关概念、性质等知识，经历过“观察一猜想一合作交流一概括、归纳”的学习过程，体会过数形结合、分类、类比等思想方法，为本节课学习点与圆的位置关系，在知识和方法上奠定了基础.但是本节课证明“经过同一直线上的三个点不能确定一个圆”时采用的反证法，对学生来说理解起来较难.
教学目标 1 理解与掌握点与圆的位置关系及其运用； 2 掌握不在同一直线上的三点确定一个圆； 3 理解三角形的外接圆和三角形外心的概念．
教学重点 理解与掌握点和圆的位置关系.
教学难点 对反证法的理解
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 东京奥运会女子十米气步枪决赛中，中国选手杨倩以251.8环摘得金牌，创造了新的奥运会纪录。右图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆(圆心相同、半径不等的圆)构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 射击点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，射击点离靶心越近， 它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击成绩越好. 学生活动1： 教师提出问题，学生根据所学知识回答．教师通过多媒体展示答案活动意图说明：通过实际问题导入新知，激发学生学习的兴趣环节二：新知探究教师活动2： 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？并对这六个点进行分类？ 若点A在圆内，则OA < r， 若点B在圆上，则OB = r， 若点C在圆外，则OC > r. 反过来 若OA < r，则点A在圆内 若OB = r，则点B在圆上， 若OC > r，则点C在圆外. 设⊙O半径为r，点P到圆心的距离OP = d则有： 点P在圆外d>r； 点P在圆上d=r； 点P在圆内d板书设计 一、过三点的圆定理 二、三角形外心的定义 三、反证法的步骤
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在中，，，BC=4．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3.如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______． 4.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为__________________． 选做题： 5.已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立．∴ ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（ ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【综合拓展类作业】 6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．用反证法证明命题钝角三角形中必有一个内角小于45°时，首先应该假设这个三角形中（ ） A．每一个内角都大于等于45° B．每一个内角都小于45° C．有一个内角大于等于45° D．有一个内角小于45° 2.一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为( ) A．16cm或6 cm B．3cm或8 cm C．3 cm D．8 cm 选做题： 3.如图，已知 Rt⊿ABC 中 ，若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径。 【综合拓展类作业】 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4. (1)以点A为圆心画两个同心圆，使点B在小圆内，点C在大圆外； (2)以点A为圆心画⊙A，设⊙A的半径为R，若点B，C，D三点中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，求R的取值范围．
教学反思 本节课从实际问题出发，引导学生探究点与圆的位置关系.学生通过动手作图，发现点与圆的位置关系有三种：点在圆上、点在圆内、点在圆外.由圆的定义，学生发现点与圆的位置关系与点到圆心的距离有关，从而可将位置关系转化为数量关系.在此过程中，学生的认识从感性上升到理性，从直观感知上升到数学符号表达. 在研究几点确定一个圆的问题时，引导学生将分类思想、动手操作和逻辑推理有机结合.类比几点确定一条直线的研究思路，由易到难，由浅入深，先研究一个点是否能确定一个圆，依次类推.通过之前章节的学习，学生知道只有确定了圆心和半径才可以确定一个圆，所以从寻找圆心入手，发现一个点、两个点都无法确定圆心，因此排除.三个点有两种位置关系，需要继续分类讨论，三点在一条直线上和三点不在一条直线上两种情况，利用反证法可以证明在同一条直线上的三点不能确定一个圆.利用中垂线性质以及圆的定义可以证明不在同一条直线上的三点可以确定一个圆.也就是说任何一个三角形均存在唯一一个外接圆，并且可以利用尺规作出该外接圆.最后利用典型例题总结解答有关直线与圆位置关系的题目思路，充分让知识得以迁移. 本节课的时间把握能力需要提高，一节课的节奏需要松紧适当、详略适中，不可拖沓，也不可过于紧凑.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二十四章
课标要求 1.与圆有关的概念:正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念，并能正确分析它们的区别与联系。2.与圆有关的角:掌握圆周角和圆心角的区别与联系，将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，一般地，若题目无直径，往往需要作出直径。3.圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理:定理和结论是在圆的旋转不变性上推出来的，需注意“在同圆或等圆中”中这个关系。4.与圆有关的位置关系:了解点和圆、直径和圆、圆和圆共有几种位置关系，并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键。5.切线长定理:切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据。6.会计算圆的弧长、扇形的面积。7.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。8.会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。9.在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。
内容分析 与三角形、四边形等一样，圆也是基本的平面图形，也是“空间与图形”的主要研究对象，是人们生活中常见的图形。在学生前面学习了一些基本的直线形一一三角形、四边形等的基础上，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，进一步研究一个基本的曲线形一一圆，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加强对圆的认识.探索圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等，并结合一些图形性质的证明，进一步发展学生的逻辑思维能力。由于本章综合性强，会与全等、相似、四边形等知识相联系，往往在考试中得分率较低，因此在讲授本章知识时，教师要注意从具体情景出发，使学生了解知识的来源和形成，加深对数学概念的理解，从而达到能熟练掌握知识技能并应用其灵活解决问题的能力。
学情分析 学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质，而且把直线形里学过的一些基本图形，几何变换加以灵活运用．通过本章的学习，学生会对圆有一个较为全面系统的认识，而且对各种数学思想如分类讨论，转化思想，完全归纳、类比的思想等有很好的理解和把握。
单元目标 教学目标1、经历探索圆及其相关结论的过程，认识圆的轴对称性和中心对称性；2、探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间相等的关系定理；3、探索并理解圆心角和圆周角的关系定理，三种位置关系及对应的数量关系；4、知道三角形的外心和内心；5、探索并理解直线与圆的位置关系，掌握切线的性质与判断；6、了解正多边形与圆的关系，会计算弧长和扇形的面积。（二）教学重点、难点教学重点：圆周角定理和切线的性质与判定的理解和运用.教学难点：对圆集合定义的理解，运用相关定理进行证明与计算.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数24.1 圆的有关性质424.2 点和圆、直线与圆的位置关系424.3正多边形和圆124.4弧长及扇形的面积2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务24.1圆的有关性质1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系。2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。3.探索圆周角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论，圆内接四边形的对角互补4.知道三角形的内心和外心。学生通过理解相关概念，掌握垂径定理以及圆周角定理从而能解决一些问题任务1：学生通过图片，操作掌握圆中相关概念.任务2：学生能利用弧、弦、圆心角之间的关系解题任务3：学生知道圆是轴对称图形，并能指出圆的对称轴. 垂径定理的条件是：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧，已知五个条件中的两个就可推出其中三个，解题过程中应灵活运用该定理任务4：理解圆周角以及圆心角的关系，会用其解题.24.2点和圆、直线与圆的位置关系1.了解点与圆的位置关系.2.了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。3.探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等理解点与圆，直线与圆的位置关系，并能熟练运用切线的性质以及判定解决问题。任务1：通过学生探究掌握点与圆的位置关系任务2：认识直线与圆的位置关系任务3：通过探究掌握切线的性质以及判定定理任务4：引出切线长概念并探究切线长定理24.3正多边形和圆 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系学生能根据正多边形与圆的关系解决问题任务1：认识正多边形.任务2：根据图形得出正多边形和圆的相关概念.24.4弧长与扇形面积1.会计算圆的弧长、扇形的面积2.掌握圆锥侧面展开图学生能利用弧长公式、扇形面积公式解决问题任务1：学生通过探究弧长与圆的周长之间的关系得出弧长的计算公式任务2：学生通过探究扇形与圆的面积之间的关系得出扇形的面积计算公式任务3：通过观察圆锥侧面展开图，推出圆锥侧面积的计算方法
任务1：通过例子引出圆的概念
任务2：例题求证四点共圆
24.1.1圆
任务3：归纳圆中相关概念
活动1：探究圆的对称性从而得出垂径定理
活动2：探究切线长定理
活动3：思考在三角形上截下一块圆形，得出三角形内切圆
24.2.2.3切线长定理
活动1：研究圆外一点作两条圆的切线之间的关系，得出切线长概念
24.2.2.2切线的性质与判定
活动3：例题
活动2：探究切线的性质定理
活动1：思考经过半径外端作垂线，这条直线与圆的位置关系，概括切线的概念
活动3：思考直线与圆的位置关系中数量关系的表述
活动2：理解直线与圆的关系中的相关概念
活动1： 通过日出得出直线与圆的位置关系
24.2.2.1直线和圆的位置关系
活动4：思考经过同一条直线上的三点能作出一个圆，得出反证法
活动3：思考不在同一条直线上的三点作圆，找到确定圆心的方法
24.2.1点和圆的位置关系
活动2：探究经过一个点、两个点作圆得出圆心分布的特点
活动1：通过问题得出点和圆的三种位置关系
圆
活动4：通过思考四个角的关系得出圆内接四边形的性质
24.1.4圆周角
活动3：通过例题得出圆内接四边形的概念
活动2：通过学生活动探究圆周角定理及推论
活动1：通过导入总结出圆周角的概念
活动2：验证垂径定理
活动3：例题解析
24.1.2垂直于弦的直径
24.1.3弧、弦、圆心角
活动3：例题解析
活动2：思考圆心角，弧，弦之间的关系
活动1：探究圆的中心对称性以及得出圆心角概念
24.4.2弧长及扇形的面积
活动1：通过引例得出圆锥的有关概念
活动2：思考圆锥侧面展开图，并学会计算圆锥的侧面积
活动3：例题
24.3正方形和圆
24.4.1弧长及扇形的面积
活动1： 回忆正多边形的概念知道圆与正多边形的关系
活动2：画圆内接正五边形得出相关概念
活动3：例题
活动4：练习画圆内接正多边形
活动2：例题
活动3：思考扇形面积与圆面积的关系
活动4：例题
活动1：思考弧长与圆周长的关系
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
