4.3.3 十字相乘法分解因式 课件 2022-2023学年北师大版八年级数学下册

(共17张PPT)
十字相乘法，分组分解法
第四章 因式分解
知识回顾（2分钟）
计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
思考，怎样将下列因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
=
=
=
=
？
学习目标（1分钟）
1、理解并掌握十字相乘法分解因式；
2、理解并掌握分组分解法分解因式。
十字相乘法的原理：
(ax+b)(cx+d)
整式乘法
=acx2+adx+bcx+bd
=acx2+(ad+bc)x+bd
acx2+(ad+bc)x+bd
ac
ax
cx
bd
b
d
ad+bc
第一个因式
第二个因式
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
探究1（5分钟）：
例1：分解因式
步骤：
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
顺口溜：
竖分常数交叉验，
横写因式不能乱。
（2x+1)(x+2）
2
1
或
十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，借用一个十字交叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。
即：x ＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
2
x
x
p
q
px＋qx=(p＋q)x
x
2
pq
2.填空：在横线上填+、-符号
=(x 3)(x 1)
+
+
=(x 2)(x 1)
-
-
=(y 2)(y 3)
+
-
=(t 3)(t 6)
-
+
1.以下多项式中分解因式为 的多项式是
（ ）
A.
B.
C.
D.
C
同步训练1：（8分钟）
3.用适当的方法分解因式；
(x-2)(x-3)
(x+3)(x+4)
(t-2)(t+3)
(m+2)(m-5)
-(y+8)(y-2)
(易错点)当二次项系数为-1时，先提出负号再因式分解
分解因式：（x2﹣x）2+（x2﹣x）﹣6．
解：设X2﹣X=y
=y2+y﹣6
=(y+3)(y-2)
=(x2-x+3)(x2-x-2
=（x2-x+3）(x+1)(x-2)
换元法
解：原式＝（x2﹣x+3)(x2﹣x﹣2）
＝（x2﹣x+3)(x+1)(x﹣2）．
整体法：把（x2-x）看成一个整体，然后再根据十字相乘法分解因式
探究2
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解
的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法
有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等。
“2+3”分法：
“2+2”分法：
ax+ay+bx+by
解：原式=(ax+ay)+(bx+by)
=a(x+y)+b(x+y)
=(x+y)(a+b)
a2+2ab+b2+a2-b2
解：原式=(a+b)2(a+b)(a-b)
=(a+b)(a+b+a-b)
=2a(a+b)
请用分组分解法分解因式a2 b2+a2b ab2.
解：原式=(a2 b2)+(a2b ab2)
=(a+b)(a b)+ab(a b)
=(a b)(a+b+ab)
“3+1”分法：
“3+3”分法：
a2+2ab+b2-x2
解：原式=(a+b)2-x2
=(a+b+x)(a+b-x)
a2+2ab+b2-a2x-2abx-b2x
解：原式=(a+b)2-(a2x+2abx+b2x)
=(a+b)2-x(a+b)2
=(a+b)2(1-x)
同步训练2：
用适当的方法将下列各式因式分解.
(1)m2 mn+mx nx (2)x2 y2 x y
(1)解：原式=（m2-mn）+（mx nx）
=m(m n)+x(m n)
=(m n)(m+x)
(3)9m2 4x2+4xy y2
(2)解:原式=(x2 y2) (x+y)
=(x+y)(x y) (x+y)
=(x+y)(x y 1)
(3)解：原式=9m2 (4x2 4xy+y2)
=(3m)2 (2x y)2
=(3m+2x y)(3m 2x+y)
先阅读下面的材料，再解决问题：
要把多项式
因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出
；把它的后两项分成一组，并提出
，从而得到
，这时 又有因式
，于是可提公因式
，从而得到
.因此有
.这种因式分解的方法叫做分组分解法.
在三角形中，若任意两条边的差均为0，则这个三角形是等边三角形；若只有两条边的差为0，则这个三角形是等腰三角形；若有两条边的平方和与第三边的平方的差为0，则这个三角形是直角三角形。
请用上面材料中提供的方法解决问题：
（1）将多项式
分解因式；
（2）若
的三边
、
、
满足条件：
，试判断
的形状.
解：（1）ab-ac+b2-bc
=（ab-ac）+（b2-bc）
=a（b-c）+b（b-c）
=（a+b）（b-c）；
（2）由已知，得
（a2-b2）（a2+b2）+c2（a2+b2）=0．
即（a2+b2）（a2-b2+c2）=0
∵a2+b2＞0
∴a2-b2+c2=0
即 a2+c2=b2
∴△ABC是直角三角形．
2.分解因式
（1）2x2﹣7x+3＝
（2x﹣1)(x﹣3）
1.如果ax2+bx+c＝（2x﹣3）（x+4），则a＝　 　，
b＝　 　，c＝　 　．
2
-12
5
（2）2x3﹣6x2+4x＝
　2x(x﹣1)(x﹣2）　
3.已知多项式x2﹣4x+m分解因式的结果为（x+a)(x﹣6），求2a﹣m的值．
解：由题意得：
x2﹣4x+m＝（x+a)(x﹣6）
＝x2+（a﹣6）x﹣6a，
∴a﹣6＝﹣4，m＝﹣6a．
∴a＝2，m＝﹣12．
∴2a﹣m＝2×2+12＝16．
巩固练习：（15分钟）
小结：
总结:
1、由常数项的符号确定分解的两数的符号
2、由一次项系数确定分解的方向
3、勿忘检验分解的合理性
1.十字相乘法：对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。
即：x ＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
2
易错点：当二次项系数为-1时,先提出负号再因式分解
2.分组分解法：先将一个多项式分组后，再用提公因式或公式法继续分解的方法叫做分组分解法。