第13章 轴对称复习与小结-2023-2024学年八年级数学上册同步课件 练习（人教版）

(共27张PPT)
第13章轴对称复习与小结
人教版数学八年级上册
1.轴对称图形的定义
如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.
2.两个图形成轴对称的定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称.这条直线叫做对称轴.
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3.线段垂直平分线的定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
4.图形轴对称的性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
5.轴对称图形的性质
轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
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6.线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
几何语言：∵l⊥AB，AC=BC，
∴PA=PB.
A
B
l
┐
C
P
7.线段垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线.
几何语言：∵PA=PB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
A
B
l
┐
C
P
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8.什么是轴对称变换
由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同.
9.什么是轴对称变换的性质
新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
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10.画轴对称图形的方法
画轴对称图形的方法可以归纳为“一找、二画、三连”：
找：在原图形上找特殊点（如线段端点等）；
画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点；
连：依次连接各对称点；
连接对称点得到的图形即为所求.
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11.关于坐标轴对称的点的坐标规律
1.点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y），特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数.
2.点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y），特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数.
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12.在直角坐标系中画与已知图形关于某直线成轴对称的图形的方法
计算：计算出已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标；
描点：根据对称点的坐标描点；
连接：按原图对应连接所描各点得到对称图形.
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B
1.下列图形中只有一条对称轴的是（ ）
A B C D
课堂检测
课堂检测
2.将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方向对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，再得到的图案是(　　)
图①
图②
图③
图④
A
B
C
D
B
3.如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（ ）
A．5 B．10
C．12 D．13
4.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（　 ）
A．41° B．42°
C．43° D．44°
C
B
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5.已知点P关于x轴对称的点的坐标是（3，-7），则它关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A.（-3，7） B.（-3，-7） C.（-3，7） D.（3，-7）
解：∵点P关于x轴对称的点的坐标是（3，-7），
∴点P的坐标是（3，7）.
∴点P关于y轴对称的点的坐标是（-3，7）.
C
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13.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
（2）性质：
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”.
特别的，等腰直角三角形的两个底角都是45°.
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（3）判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即“等角对等边”.
也可以依据等腰三角形的定义来判断一个三角形是否为等腰三角形.
（4）应用：在实际解题中，未说明边是腰还是底边，或者未说明角是顶角还是底角，都需要分情况进行讨论.
13.等腰三角形
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14.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
（2）性质：
①等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都是60°；
②等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质.
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14.等边三角形
（3）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
（4）在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
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15.最短路径问题
（1）将军饮马问题.
如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C，使得AC+BC的值最小.这时先作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点C（也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C），此时点C就是所求作的点.


A
B
l
C
B’
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15.最短路径问题
（2）两点一线型问题.
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得 PMN的周长最小.
作法：分别作点P关于直线l1，l2的对称点P1，P2，连接P1P2分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.

l2
l1
N
M
P
P2
P1
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15.最短路径问题
（3）两点两线型问题.
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.
作法：分别作点P、点Q作关于直线l1，l2的对称点P1，Q1，连接P1Q1分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.

P
l2
l1
Q

P1
Q1
N
M
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6.等腰三角形的一个角等于20°,则另外两个内角分别为( )
A.20°、140° B.20°、140°或80°、80°
C.80°、80° D.20°、80°
7.如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，
把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′ ，EB′
分别交AC于点F，G，若∠ADF=80°，
则∠EGC的度数为______.
B
80°
8.如图,将一个含45°角的三角尺ABC的直角顶点A放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点C在纸带的另一边沿上,测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角,则三角尺的直角边长为　　　　cm.
解：如图,过点C作CD⊥AD于点D,CD=3 cm.在Rt△ADC中,
∵∠CAD=30°,
∴AC=2CD=6 cm,
即三角尺的直角边长为6 cm.
6
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9.如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．
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10.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE=CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(1)求证：BE=AD；
(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD；
(2)解：由（1）得：△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD．
∵∠BAD+∠CAD＝60°，
∴∠BAD+∠ABE＝60°．
∴∠BMN＝∠ABE+∠BAD＝60°；
10.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE=CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(2)求∠BMN的度数；
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10.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE=CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(3)若MN＝3cm，ME＝1cm，则AD＝　 　cm．
(3)解：∵△ABE≌△CAD，
∴BE＝AD，
∵BN⊥AD，
∴∠BNM＝90°，
∴∠MBN＝90°﹣∠BMN＝30°，
∵MN＝3cm，ME＝1cm，
∴BM＝2MN＝6（cm），
∴AD＝BE＝BM+ME＝6+1＝7（cm）．
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11.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC的中点,连接AD，DE⊥AB于点E.求证:EB=3EA.
证明：∵AB=AC,
∴△ABC为等腰三角形.
∵D为BC的中点,
∴AD⊥BC,AD为∠BAC的平分线, ∴∠EAD=1/2∠BAC=60°. ∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°.
在Rt△EDA中,∠EDA=90°-60°=30°,∴AD=2EA.
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,∠BAD=60°,∴∠ABD=30°, ∴BA=2AD=4EA. ∵BA=BE+EA,∴EB=3EA.
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谢谢聆听