26.3 二次函数y=ax? bx c的图象 第1课时 课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
26.3二次函数y=ax +bx+c的图象（第1课时）
第26章 二次函数
教师
xxx
沪教版 九年级第一学期
二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
01
02
CONTANTS
目 录
二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
01
1.说出二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质？
2.平移规律？
上加下减，左加右减
复习引入
a，k的符号 a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k>0 a<0，k<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
直线 x=h
（h，k）
当 xh 时，y 随 x 增大而增大.
当 x h时，y 随 x 增大而减小.
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
抛物线
复习引入
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数 图象和性质 怎样将 转换成y=a(x-h)2+k形式？
配方
探究新知
如何配方？
1、“提”：提出二次项系数；
2、“配”：括号内配成完全平方；
3、“化”：化成顶点式.
顶点式
一般式
探究新知
练习：将下面的函数解析式改为顶点式
(1)y=x2-6x+10 (2)y=-4x2-16x+1
解：(1)y=x2-6x+10
=x2-6x+9-9+10
=(x-3)2+1
解： (2)y=-4x2-16x+1
=-4(x2+4x)+1
=-4(x2+4x+4-4)+1
=-4(x+2)2+16+1
=-4(x+2)2+17
探究新知
由配方的结果可知， 的顶点是(6,3)，对称轴是x=6.
因此， 的顶点是(6,3)，对称轴是x=6.
探究新知
思考：1.怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？
【点拨】二次函数一般式化为顶点式的步骤：(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方式；(3)“化”：化成顶点式.
探究新知
2.你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
3.二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？
平移方法1：
先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
（6，3）
探究新知
4.直接画二次函数 的图象.
先利用图形的对称性列表
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
然后描点画图，得到图象如右图.
结合图象我们可以得到：
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升. 也就是说，当x＜6时，y随x的增大而减小；当x＞6时，y随x的增大而增大；当x=6时，函数取得最小值，最小值y=3.
探究新知
探究：你能用前面的方法讨论二次函数 的图象和性质吗？
配方
开口向下
顶点是(-1，3)
对称轴是直线x=-1
与y轴交点（0,1）
结合图象我们可以得到：
在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降. 也就是说，当x＜-1时，y随x的增大而增大；当x＞-1时，y随x的增大而减小；当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=3.
探究新知
一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0) 可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式(顶点式).
探究新知
配 方
对称轴是直线 ，顶点是 .
如果a＞0时，那么当 时，y最小值= ；
如果a＜0时，那么当 时，y最大值= .
归纳总结
探究新知
如果a＞0，当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大；
如果a＜0，当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小.
归纳总结
探究新知
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点:
向上
向下
向下
向上
直线x=-
直线x=-1
直线x=2
直线x=4
(-,-)
(-1,1)
(2,0)
(4,-5)
探究新知
例1.已知抛物线y=2x2-12x+13.
（1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小;
（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式.
解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-2x+9)-5=2(x-3)2-5，
∴抛物线开口向上，顶点为(3，-5)，对称轴为直线x=3.
（1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5；
（2）当x＜3时，y随x的增大而减小；
（3）新抛物线的表达式为y=2(x-5)2-3．
典型例题
图形 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值
a＞0
a＜0
向上
向下




x
y
O
y
x




归纳总结
探究新知
二次函数y=ax2+bx+c的补充性质
1.关于x轴对称的抛物线解析式为 y=-(ax2+bx+c)= -ax2-bx-c
2.关于y轴对称的抛物线解析式为y=a(-x)2+b(-x)+c=ax2-bx+c
3.当 时，顶点在y轴上。
4.当Δ=b2-4ac=0时，顶点在x轴上，当Δ=b2-4ac>0时 ,抛物线与x轴有两个交点，当Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
5.当x=1时，抛物线解析式为y=a+b+c；当x=-1时，抛物线解析式为y=a-b+c
归纳总结
探究新知
1.把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则(　　)
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
A
课堂练习
2.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．abc＜0，b2－4ac＞0
B．abc＞0，b2－4ac＞0
C．abc＜0，b2－4ac＜0
D．abc＞0，b2－4ac＜0
B
课堂练习
3.一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
C
课堂练习
4.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2＋5x＋6，则原抛物线的表达式是(　　)
A． B．
C． D．
A
课堂练习
5.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)．其中结论正确的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
C
课堂练习
6.把二次函数y＝－2x2－4x＋1配成y＝a(x－h)2＋k的形式为_________________，所以其图象的开口向___，对称轴是直线________，顶点坐标为_________．
y＝－2(x＋1)2＋3
下
x=-1
(-1,3)
课堂练习
7．已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(－2，4)．
(1)求b，c满足的关系式；
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
课堂练习
解：(1)将点(－2，4)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得4－2b＋c＝4，∴c＝2b.
（2）由题知，m＝－，n＝，
∴b＝－2m.
又由(1)知c＝2b，
∴n＝.
∴n＝－m2－4m.
课堂练习
8.如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时， 求点P的坐标．
解：（1）把点B(3，0)的坐标代入y＝－x2＋mx＋3得:
0＝－32＋3m＋3，
解得m＝2，
∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4. ∴顶点坐标为(1，4)．
课堂练习
（2）如图，连接BC交抛物线的对称轴l于点P，则此时PA＋PC的值最小．
设直线BC的函数解析式为y＝kx＋b，
∵C(0，3)，B(3，0)，
∴
解得
∴直线BC的函数解析式为y＝－x＋3.当x＝1时，y＝－1＋3＝2，
∴当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)．
课堂练习
图象
性质
解析式
开口方向
抛物线
顶点
对称轴
增减性
待定系数法
顶点式与一般式的联系
y=ax2+bx+c
的图象和性质
课堂小结
感谢观看