26.2 特殊二次函数的图像（第1课时） 课件 (共43张PPT)

(共43张PPT)
26.2特殊二次函数的图像（第1课时）
第26章 二次函数
教师
xxx
沪教版 九年级第一学期
二次函数y=ax2图象及性质
二次函数y=ax2+k图象及性质
01
02
CONTANTS
目 录
二次函数y=ax2图象及性质
01
【提问1】画一个函数图象需要哪些步骤？
【提问2】画一次函数y=3x+2的图象？
【提问3】一次函数的图象是什么形状？二次函数的图象是是什么形状？
列表、描点、连线
x 0 1
y=3x+2 2 5
一次函数的图象是一条直线
本节课我们学习二次函数y=ax2的图象和性质
问题引入
简述描点法作图的一般步骤？
1）列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
2）描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
3）连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
探究新知
二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质
画二次函数 的图象.
1.列表：观察 的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值,
完成下表：
x
y
坐标
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
(-3,9)
(-2,4)
(-1,1)
(0,0)
(1,1)
(2,4)
(3,9)
探究新知
2.描点：在直角坐标系中描点.
3.连线：用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 的图象．
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
探究新知
（1）你能描述图象的形状吗？
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
函数图象是一条开口向上的曲线，我们把它叫做抛物线.
探究新知
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
（2）图象与x轴有交点吗 如果有,交点坐标是什么
图象与x轴有交点，交点在原点(0,0).
抛物线 与x轴有一个交点，是原点（0，0）
探究新知
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
（3）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
图象关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点.
抛物线 与x轴有一个交点，是原点（0，0）
探究新知
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
抛物线 与x轴有一个交点，是原点（0，0）
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点.
（4）当x<0时,随着x的值增大,y的值如何变化 当x>0呢
当x<0 (在对称轴的左侧)时,
y随着x的增大而减小.
当x>0 (在对称轴的左侧)时,
y随着x的增大而增大.
图象最低点.
探究新知
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
抛物线 与x轴有一个交点，是原点（0，0）
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点.
当x<0 (在对称轴的左侧)时,
y随着x的增大而减小.
当x>0 (在对称轴的左侧)时,
y随着x的增大而增大.
（5）当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么
当x=0时, y有最小值0.
图象最低点.
探究新知
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，即原点(0,0).
-1
-2
-3
9
3
6
1
2
3
y
O
x
对称性：
对称轴
顶点坐标：
顶点
开口方向：
增减性：
y轴.
最值：
图象开口向上，有最低点
最小值,即当x=0时，有最小值y=0
当x<0时，y随着x的增大而减小
当x>0时，y随着x的增大而增大
探究新知
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
你能根据表格中的数据作出猜想吗？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x … …
y=-x2 　 　 　 　 　 　 　 　
做一做：
-3
-2
-1
0
1
2
3
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
探究新知
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-8
-6
-4
-2
2
描点连线
y=-x2
探究新知
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
y
表达式
开口
对称轴
顶点
最值
增减性 x>0
x<0
向下
y轴
(0,0)
当x=0时，
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
探究新知
观察上面的图象，类比y=x2的图象和性质，说一说y= x2和y=2x2的图象和性质？
y= x2和y=2x2的图象都是抛物线.
性质：（1）开口向上；（2）对称轴是y轴；（3）顶点是（0，0）；（4）顶点是抛物线的最低点；（5）当x=0时，抛物线有最小函数值y=0；（6）在对称轴y轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴y轴右侧，y随x的增大而增大.
探究新知
相同点：图象都是抛物线，开口方向、对称轴、顶点、最小值、增减性、对称性都相同；
不同点：解析式中的a值不同，图象的开口大小不同.
思考：y=x2，y= x2和y=2x2的图象和性质有什么相同点和不同点
小结：a>0，a越大，抛物线的开口越小.
探究新知
小结：a>0时，二次函数y=ax2的图象和性质：
图象都是抛物线，
性质：（1）开口方向：开口向上；
（2）开口大小：a越大，抛物线的开口越小；
（3）轴对称图形，对称轴为y轴；
（4）顶点(0，0)；
（5）当x=0时，二次函数的函数值有最小值为y=0；
（6）增减性：在对称轴y轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴y轴右侧，y随x的增大而增大.
探究新知
探究：画出y=-x2，y= x2和y=-2x2的图象，并说出它们的性质.
x
1
y
-1
-2
-3
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
思考：它们的不同点？
图象都是抛物线，
性质：（1）开口向下；.
（2）对称轴为y轴；
（3）顶点(0，0)；
（4）函数值有最大值；
（5）增减性：在对称轴
y轴左侧，y随x的增大而增大，
在y轴右侧，y随x的增大而减小.
探究新知
不同点：解析式中的a值不同，图象的开口大小不同.
小结：a<0，|a|越大，抛物线的开口越小.
探究新知
y=ax2 (a≠0) a>0 a<0
图 象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增 减 性
最值
x
y
O
y
x
O
向上
向下
(0 ,0)
(0 ,0)
y轴
y轴
当x<0时，y随着x的增大而减小.当x>0时，y随着x的增大而增大.
当x<0时，y随着x的增大而增大.当x>0时，y随着x的增大而减小.
x=0时 , y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的, |a|越大，开口越小.
探究新知
对比抛物线，y=x2和y= -x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？
小结：在同一坐标系内,抛物线 与
抛物线 是关于x轴对称的.
探究新知
二次函数y=ax2+k图象及性质
02
在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象.
解：1.列表：
2.在坐标系内，描点.
3.用平滑的曲线连线.
y=x2+1
y=x2-1
1.抛物线y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？
y=x2+1
y=x2-1
(1)抛物线y=2x2+1的开口____、对称轴____、顶点是_______.
(2)抛物线y=2x2-1的开口____、对称轴____、顶点是_______.
向上
y轴
(0,1)
向上
y轴
(0,-1)
2.抛物线y=2x2+1，y=2x2-1的最值、增减性又如何？
y=x2+1
y=x2-1
(1)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最____值分别为______、_______;
(2)函数的增减性都相同：当x＞0(对称轴右侧)时_______________，当x＜0时(对称轴左侧) _______________.
低
小
y=1
y=-1
y随x增大而增大
y随x增大而减小
小
抛物线y=ax2+k(a＜0)的图象有哪些性质？
一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2+k的开口向下，对称轴是y轴，顶点是(0,k)，顶点是抛物线的最高点，函数有最大值，最小值为k.
在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升趋势；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降趋势.也就是说，当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
向上
向下
(0,k)
(0,k)
y轴
y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
当x=0时，
y最小=0.
当x=0时，
y最大=0.
思考：抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？
y=ax2
向上平移
k个单位
y=ax2+k(k＞0)
y=ax2
向下平移
k个单位
y=ax2-k(k＞0)
口决：上加下减
例1.已知抛物线y=ax2+b过点(-2,-3)和点(1,6)．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
解:(1)∵抛物线y=ax2+b过点(-2,-3)和点(1,6)．
∴ ，解得
∴这个函数得关系式为：y=-3x2+9．
(2)∵二次函数y=-3x2+9开口向下，对称轴为y轴(x=0)，
∴当x＜0时，函数y随x的增大而增大．
1.下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A.它的图象经过点（-1，-2）
B.它的图象的对称轴是直线x＝2
C.当x＜0时，y随x的增大而增大
D.当－1≤x≤2时，y有最大值为8，最小值为0
2.若二次函数y=ax2的图象过点P(-2，4)，则该图象必经过点( )
A.(2，4) B.(-2，-4) C.(-4，2) D.(4，-2)
D
A
课堂练习
　4. 抛物线　　　　，其对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 ．
增大
减小


课堂练习
5.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　)
D
6．抛物线y= x2的对称轴是 ______________，顶点坐标是_____________
7．下列说法中正确的序号是_____________
①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0；
②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大
③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大
④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点
①②④
y轴
（0，0）
课堂练习
8.已知点P（x1,y1）,Q（x2,y2）在抛物线y=（m2+2）x2上，且x1解: ∵a=m2+2>0
∴抛物线开口向上
∴当x<0时，y随x增大而减小
∵x1∴y1＞y2
课堂练习
解：（1）由是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得
解得k=-3；
（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，
y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
9．已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
课堂练习
10.在平面直角坐标系中，若抛物线与直线交于点和点，其中，点为原点，求的面积.
解：由题意得：
解得： 或
∵点和点，其中
∴，
直线与y轴的交点坐标为：（0，1）
∴ 1=
课堂练习
11.已知二次函数y＝ax2与y＝-2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝____；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝-2x2+c的图象完全重合，则c＝_____；
（3）二次函数y＝-2x2+c中x、y的几组对应值如表：
表中m、n、p的大小关系为__________(用“＜”连接)．
x -2 1 5
y m n p
解:(1)二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝-2x2+c的图象随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝-2x2+c的形状相同，
∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2-2，与y＝-2x2+c的图象完全重合，
∴c＝-2，
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p＜m＜n，
课堂小结
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
向上
向下
(0,k)
(0,k)
y轴
y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
当x=0时，
y最小=0.
当x=0时，
y最大=0.
课堂小结
感谢观看