第24章 圆 期中复习 课件 (共69张PPT)

(共69张PPT)
人教版九年级上册
【十二大考点串讲+素养提升】
第24章 圆
思维导图
考点一、与圆有关的概念
1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2.弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
·
C
O
A
B
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
注意
·
C
O
A
B
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
劣弧与优弧
·
C
O
A
B
半圆
3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
(
小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ;
(
大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC.
(
4.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.
5.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
【例1】如图，AB是☉O的直径，点C、D在☉O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC.若∠AOC=70°，且AD∥OC,求∠AOD的度数.
解:∵AD//OC
∴∠AOC=∠DAO=70°
又∵OD=OA
∴∠ADO=∠DAO=70°
∴∠AOD=180-70°-70°=40°
【变式】如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上，求证：OB=OC.
解:连结OA、OD.
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=CD
又∵OA=OD
∴Rt△AOB≌Rt△COD(HL)
∴OB=OC.
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
考点二、垂径定理及其推论
2.垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
3.涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
4.弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
【例2】工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 ___ mm.
8
【解析】设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.
8mm
A
B
C
D
O
【变式】.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2,连接AC,BC,过点O作OE ⊥AC,OF ⊥BC，垂足分别为E,F，连接EF，则EF的长度等于 .
（
A
O
B
C
E
F
图a
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量：
2.圆心角∠AOB所对的弧为AB.
⌒
考点三、圆心角及相关概念
【例3】如图，AB，CD是⊙O的直径， ，若∠AOE=32°，则∠COE的度数是（　　）
A．32° B．60° C．68° D．64°
D
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的、弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
考点四、圆心角、弧、弦之间的关系
【例4】如图，在☉O中，已知∠AOB=90°，C,D将 三等分，弦AB与半径0C，OD分别交于点E，F.求证:AE=CD=BF.
证明:连接AC，BD
∵C，D将弧AB三等分，
∴AC=CD=BD
∵∠AOB=90°，且OA=OB
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°∠OAB=∠OBA=45°
∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=45°+30°=75°
∵OA=OC, ∠AOC=30°，
∴∠ACO=×(180-30°)=75°
∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC 同理可得BF=BD，∴AE=CD=BF
【变式】如图，AB、CD是⊙O的两条弦.
(1)如果AB=CD，那么____________，_______.
(2)如果 ，那么____________，_______.
(3)如果∠AOB=∠COD，那么_______，_______.
(4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，
OE与OF相等吗？为什么？
解：OE=OF.理由如下：
∵ OE⊥AB，OF⊥CD，
∴ AE=AB，CF=CD
又∵ AB=CD，
∠AOB=∠COD
∠AOB=∠COD
AB=CD
AB=CD
∴ AE=CF
又∵ AO=CO，
∴ Rt△AOE≌Rt△COF(HL)
∴ OE=OF
考点五、圆周角及其定理、推论
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
1.概念：在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
2.圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
4.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
5.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
【例5】在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则∠BAD的度数是（ ）
A. 72° B.54° C. 45° D.36 °
B
135°
【变式】如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的度数是 .
点P在圆外 d＞r；
点P在圆上 d＝r；
点P在圆内 d＜r.
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，
考点六、点与圆的位置关系
【例6】 ☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置关系是（ ）
A．点A在☉O内部 B．点A在☉O上
C．点A在☉O外部 D．点A不在☉O上
【解析】此题需先计算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A与 ☉O的关系.
D
【变式】．已知⊙O的半径为4 cm，A为线段OP的中点，
当OP＝7 cm时，点A与⊙O的位置关系是( )
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．不能确定
A
考点七、直线与圆的位置关系
如图(1)，直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.
如图(2)，直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.
如图(3)，直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.
交点个数 位置关系 数量关系
相交
两个公共点
只有一个公共点
没有公共点
d＜r
相切
相离
d＝r
d＞r
【例7】平面直角坐标系中，M点坐标为（－2，3），以2为半径画⊙M，则以下结论正确的是（　　）
A．⊙M与x轴相交，与y轴相切
B．⊙M与x轴相切，与y轴相离
C．⊙M与x轴相离，与y轴相交
D．⊙M与x轴相离，与y轴相切
D
【变式】 如图，直线AB,CD相交于点O， ∠AOD=30 °,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后☉P与直线CD相切.
4或8
【解析】根本题应分为两种情况：(1)☉P在直线AB下面与直线CD相切；(2)☉P在直线AB上面与直线CD相切.
A
B
D
C
P
P2
P1
E
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
考点八、切线的性质和判定
2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
证切线时辅助线的添加方法
有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
【例8】如图， O为正方形对角线上一点，以点O 为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M.
求证：CD与☉O相切；
(1)证明：过点O作ON⊥CD于N.连接OM
∵BC与☉O相切于点M,
∴ ∠OMC=90 °,
∵四边形ABCD是正方形，点O在AC上.
∴AC是∠BCD的角平分线，
∴ON=OM，∴ CD与☉O相切.
A
B
C
D
O
M
N
【变式】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB=2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．
证明：如图，连接AC.
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO．
∴∠COB=2∠ACO．
又∵∠COB=2∠PCB，∴∠ACO=∠PCB．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP．
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点.
考点九、切线长定理和三角形的内切圆
1.如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
2.切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
3.三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
【例9】如图，⊙O与△ABC的边BC相切于点D，与AB、AC的延长线分别相切于点E、F，连接OB，OC．
(1)若∠ABC=80°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数．
(2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系，并说明理由．
解：如图，连接OD，OE，OF，则由切线的性质可知，
∠BEO=∠BDO=∠CDO=∠CFO=90°，
又∵OD=OE=OF，OB=OB，OC=OC，
∴Rt△ODB≌Rt△OEB(HL) ， Rt△ODC≌Rt△OFC(HL)，
∴∠EOB=∠DOB ，∠COD=∠COF，
【例9】如图，⊙O与△ABC的边BC相切于点D，与AB、AC的延长线分别相切于点E、F，连接OB，OC．
(1)若∠ABC=80°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数．
(2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系，并说明理由．
在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，
在四边形AEOF中，∠A+∠EOF=180°，
∴∠EOF=120°，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=60°．
【变式】如图，中，，是的内切圆，D，E，F是切点．
(1)求证：四边形ODCE是正方形；
(2)如果，，求内切圆的半径．
（1）证明：∵BC，AC分别切于点D，E，∴，，
又∵，
∴四边形ODCE是矩形，
又∵，
∴矩形ODCE是正方形．
【变式】如图，中，，是的内切圆，D，E，F是切点．
(2)如果，，求内切圆的半径．
（2）解：设的半径为r，∵四边形ODCE是正方形，
∴，
在中，，
∴，，
∵与各边相切于点D，E，F，
∴，，
又∵，∴，解得
∴内切圆的半径是1．
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，
外接圆的半径叫做正多边形的半径，
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
如图，点O是正六边形ABCDEF的中心；OD是正六边形ABCDEF的半径；∠AOF是正六边形ABCDEF的中心角；OG是正六边形ABCDEF的边心距.
考点十、正多边形和圆
1.正n边形的每一个内角的度数__________.
3.正n边形的中心角__________.
2.正n边形的每一个外角的度数__________.
4.正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？
5.边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
其中l为正n边形的周长.
【例10】如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形．
求正方形EFGH的面积；
解：⑴∵正六边形的边长与其半径相等，
∴EF=OF=5.
∵四边形EFGH是正方形，
∴FG=EF=5，
∴正方形EFGH的面积是25.
【变式】如图，正五边形ABCDE内接于☉O，过点A作☉O的切线交对角线DB的延长线于点F.求证:(1)AE∥BF；(2)AB=BF.
证明:(1)∵五边形ABCDE是正五边形
∴∠BAE=∠ABC=∠C=∠EDC=∠E==108°
BC=CD
∴∠CBD=∠CDB=×(180°-∠C)=36°
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=108°-36°=72°
∴∠BAE+∠ABD=108°+72°=180°
∴AE∥BF
【变式】如图，正五边形ABCDE内接于☉O，过点A作☉O的切线交对角线DB的延长线于点F.求证:(1)AE∥BF；(2)AB=BF.
证明:(2)连接0A、OB.∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB==72°
∵OA=OB
∴∠0AB=∠0BA=×(180°-72°)=54°
∵FA切☉0于A.
∴∠OAF=90°
∴∠FAB=90°-54°=36°
∵∠ABD=72°
∴∠F=72°-36°=36°=∠FAB
∴AB=BF
考点十一、弧长和扇形面积
1.弧长公式：半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l
2.扇形面积公式：半径为R，圆心角为n°的扇形面积S
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
【例11】如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的圆上，OA=1，∠AOC=120°，∠1=∠2，求扇形OEF的面积.
解：∵四边形OABC为菱形，
∴OC=OA=1.
∵ ∠AOC=120°，∠1=∠2，
∴ ∠FOE=120°.
又∵点C在以点O为圆心的圆，
【变式1】如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于_______．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为
_________.
【变式3】(日照中考)如图，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( )
A．13π cm B．14π cm C．15π cm D．16π cm
B
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，它的底面是一个圆面，它的侧面是一个曲面.
我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高.
母线有无数条，且都相等.
圆锥的底面半径、高、母线长三者之间的关系：
考点十二、圆锥的侧面积和全面积
如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形. 设圆圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为___，扇形的弧长为_____，因此圆锥的侧面积为_____，圆锥的全面积为___________.
l
2πr
πr2+πrl
πrl
【例12】如图，从一块半径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，其中点O在弧BC上.(1)求被剪掉阴影部分的面积;
(2)用所得的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥底面的半径是多少
解:(1)S阴影=S☉O-S扇形
=π×22-
=4π-
=(m2)
【例12】如图，从一块半径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，其中点O在弧BC上.(1)求被剪掉阴影部分的面积;
(2)用所得的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥底面的半径是多少
解:(2)设圆锥底面的半径为rm，依题意得π×r×2=
解得r=
因此,该圆锥底面的半径是m.
【变式】如图，已知圆锥的底面半径为r=20cm，高h=20cm,现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离.
解:如图，将圆锥沿母线SA展开，得A点对应点A'，线段AA'的长即为蚂蚁爬行的最短距离.
∵r=20cm，h=20cm,∴l=80cm
∴=2×20π，解得n=90
在Rt△AA'S中，AS=A'S=80cm
∴ AA' ==80（cm）
即蚂蚁爬行的最短距离为80cm.
解：(1)直线CE与⊙O相切，证明：连结OE，∵OA＝OE，∴∠DAC＝∠AEO.∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠AEO＝∠DCE.∵∠D＝90°，∴∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝180°－90°＝90°，
即OE⊥EC.∵OE为半径，∴直线CE与⊙O相切
2.如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，求证：OA是⊙D的切线．
证明：过点D作DF⊥OA于F，
∵点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，
∴DF=DE，
即D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE，
∴⊙D与OA相切．
F
无切点，
作垂直，
证半径
3.如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（1）证明：连接OB.
∵PO⊥AB，∴AC=BC. ∴PA=PB.
∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠OBP=∠OAP.
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°.
∴∠OBP=90°. ∴PB是⊙O的切线.
有交点，
连交点，
证垂直
（2）若AP=5，PE=13，求DE的长．
解：在Rt△APE中，
由勾股定理易得AE=12．
由(1)知AP=BP=5，则BE=8．
∵PB为的切线，∴∠OBE=90°.
设OB=r,则OE=12-r.
在Rt△OBE中，由勾股定理得r2+82=(12-r)2.
解得r= .
4. 已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，过 上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E.
(1)若∠P＝70°，求∠DOE的度数；
解：(1)连接OA、OB、OC，
∴∠DOE＝ ∠AOB.
∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD＝CD，BE＝CE，
∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.
∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，
∴∠AOB＝110°，∠DOE＝55°.
(2)∵⊙O分别切PA、PB、DE于A、B、C，
(2)若PA＝4 cm，求△PDE的周长．
∴AD＝CD，BE＝CE.
∴△PDE的周长＝PD＋PE＋CD+CE
＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)
5．(卧龙区模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交边BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，CA的延长线交⊙O于点F，连结BF.
(1)若AF＝1，AC＝3，求BF的值；
(2)求证：DE为⊙O的切线．