第13章 轴对称 课件（41张ppt）-2023-2024学年八年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

人教版八年级上册
【六大考点+能力提升+核心素养】
第 13 章 轴对称
轴对称
等腰三角形
轴对称图形
垂直平分线
等腰三角形
等边三角形
轴对称的性质
关于坐标轴对称的点的坐标
轴对称作图
性质和判定
性质
判定
性质
判定
含30°角的直角三角形的性质
轴对称
思维导图
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
考点一、轴对称相关定义和性质
【例1】下列“禁止行人通行、注意危险、禁止非机动车通行、限速60 km/h”四个交通标志图中，为轴对称图形的是（　　）
A
B
C
D
B
【变式1】在等腰三角形、圆、长方形、正方形、直角三角形中，一定是轴对称图形的有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
【变式2】如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为______.
60°
像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
A
A’
图形轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 如下图中，l垂直平分AA′，l垂直平分BB′.
垂直平分线的定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
l⊥AB，垂足为O，且AO=BO，则l是线段AB的垂直平分线.
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
几何符号语言：
∵ PC⊥AB，PC平分AB
∴ PA=PB
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线的判定：
几何符号语言：
∵ PA=PB
∴ 点P在AB的垂直平分线上
【例2】在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC.
求证：点E在线段AC的垂直平分线上．
解析：要证明点E在线段AC的垂直平分线上，即要证明AE=EC.根据题意及线段垂直平分线的定义，得出AB=AE.而后根据AB+BD=DC，进行等量变换，可到AE=EC.
证明：∵AD是高，∴AD⊥BC.
又∵BD=DE，
∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∴AB+BD=AE+DE.
又∵AB+BD=DC，
∴DC=AE+DE，
∴DE+EC=AE+DE,
∴EC=AE，
∴点E在线段AC的垂直平分线上．
A
B
C
M
N
【变式】如图：△ABC中，MN是AC的垂直平分线，若CM=3 cm，△ABC的周长是22 cm，则△ABN的周长是 .
16 cm
在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的点横坐标_____，纵坐标___________；关于 y 轴对称的点横坐标___________，纵坐标_____.
点( x ，y )关于 x 轴对称的点的坐标为(___，___)
点( x ，y )关于 y 轴对称的点的坐标为(___，___)
相等
互为相反数
互为相反数
相等
x -y
-x y
考点三、用坐标表示轴对称
【例3】 按要求完成作图：
(1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标：
x
y
O
A
B
C
解析：(1)先找出点A、B、C关于y轴的对称点，再依次连线即可；
(2)找出点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，A'C与x轴的交点即是点P的位置.
A1
B1
C1
A'
P(-3,0)
1
1
【变式】在直角坐标系中，点P(a,2)与点A(-3,m)关于y轴对称，则a,m的值分别为（ ）
A. 3，-2 B. -3，-2 C. 3，2 D. -3，2
C
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)
考点四、等腰三角形的性质及判定
等腰三角形判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
(简写成“等角对等边”).
【例4】如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.
求证： ∠BAC=2∠DBC.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
解析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示，则
∵AB=AC, ∴AE⊥BC.
∴ ∠2+ ∠ACB=90 °.
∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °.
∴ ∠2= ∠DBC.
∴ ∠BAC= 2∠DBC.
【变式】等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求该等腰三角形的顶角的度数.
解：设该等腰三角形中，小角的度数为x,则大角的度数为2x.
当x为底角时， x +x+ 2x=180°，
解得 x=45°，则2x=90°.
当x为顶角时， x +2x+ 2x=180°，
解得x =36°.
故该等腰三角形顶角的度数为90°或36°.
等边三角形的性质：
1.等边三角形的三边相等.
2.等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°.
3.等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合.
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
考点五、等边三角形的性质及判定
等边三角形的判定方法：
1.三边相等的三角形是等边三角形.
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【例5】如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD.
∴△ABE≌△CBD.
∴AE＝CD.
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°.
在△ABE与△CBD中，
AB＝CB，
∵ ∠ABE＝∠CBD，
BE＝BD，
【变式】如图,△ABC和△ADE都是等边三角形,AD是BC边上的中线.
求证:BE=BD.
证明:∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=60°.
∵AB=AC,AD为BC边上的中线,
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30°,
∴∠BAE=∠BAD=30°.
在△ABE和△ABD中,
AE=AD,
∵ ∠BAE=∠BAD,
AB=AB,
∴△ABE≌△ABD(S.A.S.),
∴BE=BD.
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
考点六、含30°角的直角三角形的性质
【例6】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．
证明：如图，连接AF.
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°.
∵AC的垂直平分线是EF，
∴CF=AF，
∴∠FAC=∠C=30°，
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°.
在Rt△ABF中，∠B=30°，
∴BF=2AF，
∴BF=2CF．
【变式】如图，点D在线段BC上，连接AD，BD=CD，CA⊥AD，∠1=30°，AB=4，求AC的长．
解：过B作BM⊥AD，交AD的延长线于点M，如图，
∵BM⊥AD，CA⊥AD，
∴∠DAC=∠DMB=90°，
∵BD=DC，∠BDM=∠CDA，
∴△BDM≌△CDA，∴AC=BM，
∵在Rt△ABM中，∠1=30°，AB=4，
∴BM=12AB=2，∴AC=2，
?
1．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为(　　)
A．50° B．51°
C．51.5° D．52.5°
D 　
【能 力 提 升】
2．【宁夏中考】如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和点E分别在AB和AC上，且AD＝AE.连结DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为(　　)
A．40°
B．45°
C．55°
D．70°
3．【易错题】若实数m、n满足等式|m－2|＋(n－4)2＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是(　　)
A．12 B．10
C．8 D．6
C 　
B 　
4．【易错题】如图所示，在3×3的网格中，网格线的交点称为格点，已知图中A、B为两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为(　　)
A．10 B．8 C．6 D．4
B 　
5．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝(　　)
A．30° B．20° C．25 D．15°
D 　
6．【黑龙江绥化中考】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝_____度．
36　
7．如图，在等边三角形ABC中，边长为2，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥BC，则△ADE的周长为____.
3　
36　
50°或80°　
10．直线上依次有A、B、C、D四个点，AD＝7，AB＝2，若AB、BC、CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为_________.
11．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画____条．
2或2.5　
4　
12．如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°.
(1)若∠1＝50°，求∠2；
(2)连结DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3.
(1)解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝∠C＝60°.
∵∠B＋∠1＋∠DEB＝180°，∠DEB＋∠DEF＋∠2＝180°，且∠DEF＝60°，
∴∠1＋∠DEB＝∠2＋∠DEB，∴∠2＝∠1＝50°.　
(2)证明：∵DF∥BC，∴∠FDE＝∠DEB.
∵∠B＋∠1＋∠DEB＝180°，∠FDE＋∠3＋∠DEF＝180°，
且∠B＝60°，∠DEF＝60°，∴∠1＝∠3.
13．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O.
(1)求证：OB＝OC；
(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．
14．如图，在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明理由．
15．【核心素养题】如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1＝1，则a2020＝(　　)
A．22018 B．22019 C．22020 D．22021
B 　
16．【核心素养题】如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒后，可得到等边△AMN?
(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN？若能，请求出此时M、N运动的时间；若不能，请说明理由．
解：(1)设点M、N运动x s后，M、N两点重合．
由题意，得x＋12＝2x，解得x＝12.即运动12 s后，M、N两点重合．
(2)如图1，设点M、N运动t s后，可得到等边△AMN，
则AM＝t cm，AN＝AB－BN＝(12－2t) cm.
∵△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN，即t＝12－2t，解得t＝4，
∴点M、N运动4 s后，可得到等边△AMN.
图1
图2