第一章 一元二次方程【考点串讲PPT（共38张)】-2023-2024学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

第一章
一元二次方程
思维导图
知识大全
考点精析
常用技巧或结论
九年级期中考试复习
思维导图
知识大全
考点一 一元二次方程
只含有_______未知数（元），并且未知数最高次数是_____，等号两边都是________，这样的方程叫一元二次方程。
一个
2
整式
ax 2 + bx + c = 0（a≠0）
一元二次方程的一般形式为___________________________________。
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
解题技巧
考点一 一元二次方程
判断一元二次方程五大条件（缺一不可）：
1.只有一个未知数；
2.未知数的最高次数是2次；
3.二次项系数不为0；
4.整式方程；
5.先化简后判断.
针对训练
考点一 一元二次方程
【典例1】要使方程a?3x2+b+1x+c=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0 B．a≠3 C．a≠3且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0
1.下列方程中，一元二次方程共有（ ）
①x2?3x?1=0；②x?22+y2=3；③1x2+2x?8=0；④?2x2=0；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
?
针对训练
考点一 一元二次方程
【典例2】填空
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元二次方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x -1)=8
2y-5y2=0
3x2-5x+1=0
x2 + x- 10＝0
-5y2+2y=0
3
-5
1
1
1
-10
-5
2
0
针对训练
考点一 一元二次方程
【典例3】若x＝-1是方程ax2+bx+c＝0的解，则（　　）
A．a+b+c＝1 B．a﹣b+c＝0
C．a+b+c＝0 D．a﹣b﹣c＝0
1．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为
_______________．
2.已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，
求m的值．
x2-2x=0
【详解】依题意，得????????2?4?????5=0．
∴????????2?4????=5．
∵????????2?4????+????=6，
∴5+????=6．∴????=1．
?
知识大全
考点一 一元二次方程
3．（2022广东14/23）若????=1是方程????2?2????+????=0的根，则????=____________．
?
【详解】把x=1代入方程x2?2x+a=0，得1?2+a=0，解得a=1，故答案为：1．
?
4．（2022资阳市14/24）若a是一元二次方程x2+2x?3=0的一个根，则2a2+4a的值是___________．
?
【详解】∵a是一元二次方程x2+2x?3=0的一个根，
∴a2+2a?3=0，
∴a2+2a=3，
∴2a2+4a=2a2+2a=2×3=6，
故答案为：6．
?
知识大全
考点二 一元二次方程与一元一次方程
一元一次方程与一元二次方程相同点与不同点？
一元一次方程
一元二次方程
一般形式
相同点
不同点
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
解题技巧
考点二 一元二次方程与一元一次方程
一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
一元一次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，一般形式是ax+b=0（且a≠0）．
针对训练
考点二 一元二次方程与一元一次方程
【典例4】已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问：
（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
【解答】
解：（1）∵2????+1????2+4????????+?????1=0是关于x的一元一次方程，
∴2????+1=04????≠0，解得????=?12
（2）∵2????+1????2+4????????+?????1=0是关于x的一元二次方程，
∴2????+1≠0即????≠?12，
∴这个一元二次方程的二次项系数为2k+1，一次项系数为4????，常数项为k-1
?
针对训练
考点二 一元二次方程与一元一次方程
1．简答题：
（1）当????为何值时，关于????的方程????2?1????2+?????????2=0是一元二次方程？
（2）已知关于????的一元二次方程????2?1????2+?????????3?????=0有一个根是0，求????的值．
（3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l，那么m应该等于什么数？
?
【详解】
解：（1）∵关于????的方程????2?1????2+?????????2=0是一元二次方程，
∴????2?1≠0，解得：????≠±1；
（2）∵关于????的一元二次方程????2?1????2+?????????3?????=0有一个根是0，
∴将x=0代入????2?1????2+?????????3?????=0可得：?3?????=0，解得：m=-3；
（3）∵关于????的一元二次方程????2?1????2+?????????3?????=0有一个根是1，
∴将x=1代入????2?1????2+?????????3?????=0可得：????2?4=0，解得：m=±2.
?
知识大全
考点三 解一元二次方程
一般地，对于方程x2＝p ①，
1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个____________的实数根______________________；
2)当p＝0时，方程①有两个______的实数根_____________；
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2____0，所以方程① _______实数根。
不相等
相等
x1＝x2＝0
无
≥
x1＝-???? , x2＝ ????
?
知识大全
考点三 解一元二次方程
将方程通过配成____________形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是为了___________，把一个一元二次方程转化成______一元一次方程来解。
用配方法解一元二次方程的关键：
将一元二次方程配成完全平方形式。
完全平方
降次
两个
不能直接开平方
解的一元二次方程
可以直接开平方
解的一元二次方程
变形为
知识大全
考点三 解一元二次方程
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p ①
的形式，那么就有：
1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个________________的实数根______________________；
2)当p＝0时，方程①有两个________________的实数根______________________；
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(x＋n)2____0，所以方程①_______实数根。
不相等
相等
x1＝x2＝-n
无
≥
x1＝-n-????，x2＝-n+ ????
?
知识大全
考点三 解一元二次方程
当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根为_____________的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0的求根公式。
解一元二次方程时，把各系数直接________________，可以省略配方过程而直接求一元二次方程根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
?
????=?????±?????????????????????????????
?
代入求根公式
知识大全
考点三 解一元二次方程
先因式分解，使一元二次方程转化为____________________的形式，从而实现________，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
两个一次式乘积等于0
降次
知识大全
考点三 解一元二次方程
解一元二次方程的方法
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
解一元二次方程的方法
适用范围
配方法
（基础）
先配方，再降次
所有一元二次方程
公式法
（基础）
利用求根公式
所有一元二次方程
因式分解法
（灵活掌握）
右化零，左分解，两因式，各求解
仅部分
解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。
针对训练
考点三 解一元二次方程
【典例4】用适当的方法解下列方程：
1)?????22=4?????2????2
2)?????1????+2=4
?
【详解】
（1）解：（1）（x﹣2）2＝4x﹣2x2，
整理，得（x﹣2+2x）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝23，x2＝2；
（2）解：（x﹣1）（x+2）＝4，
整理，得x2+x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝2．
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针对训练
考点三 解一元二次方程
（1）解：?????12=4，
解得：????1=3,????2=?1；
（2）????2?6?????18=0
∴????2?6????=18，
∴????2?6????+9=27，
即?????32=27，
∴?????3=±33，
解得：????1=3+33,????2=3?33；
（3）3?????22=?????????2
∴3?????22??????????2=0，
∴?????22?????6=0，
解得：????1=2,????2=3；
?
1解方程：
(1)?????12=4
(2)????2?6?????18=0
(3)3?????22=?????????2
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针对训练
考点三 解一元二次方程
2．下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（　　）
① 13x2=1；②（x﹣2）2=5；③14（x+3）2=3；④x2=x+3；⑤3x2﹣3=x2+1；
⑥y2﹣2y﹣3=0
A．1 B．2 C．3 D．4
3.用配方法解方程x2﹣23x﹣1＝0时，应将其变形为( )
A．(x﹣13)2＝89 B．(x+13)2＝109????C．(x﹣23)2＝0 D．(x﹣13)2＝109

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针对训练
考点三 解一元二次方程
4.下列一元二次方程最适合用分解因式法解的是( )
A．（x-1）（x-2）=3 B．x2 +4x=23
C．x2+2x-1=0 D．（x-3）2=x2-9
5.已知x、y都是实数，且(x2+y2)(x2+y2+2)﹣3＝0，那么x2+y2的值是(　　)
A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
知识大全
考点四 一元二次方程根的判别式
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式。
判别式概念：
判别式表示：
通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac.
(x+b2a)2=b2?4ac4a2=Δ4a2
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由前面的推导过程，可知：
1）若△＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根。
2）若△= 0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个 相等的实根。
3）若△＜0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 无 实根。
即当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根为
解题技巧
考点四 一元二次方程根的判别式
一元二次方程????????2+????????+????=0(????≠0) 根的判别式：????=????2?4????????
1）????>0?方程有两个不相等的实根:????=?????±????2?4????????2????（????2?4????????≥0）
2）????=0?方程有两个相等的实根：????1=????2=?????2????
3）??<0?方程无实根
【选择题快速判断法】如果a、c异号，所以ac<0，则????>0,方程有两个不相等的实根.
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针对训练
考点四 一元二次方程根的判别式
【典例5】关于????的一元二次方程????2?????+3????+2????+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
1.已知关于x的一元二次方程????2+2x?????=0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
2.方程(?????2)????2?4?????1=0有两个不等的实数根，则????的取值范围是（ ）．
A．????>??2 B．?????2且????≠2
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针对训练
考点四 一元二次方程根的判别式
3. （青海省西宁市城区2022年中考数学真题）关于x的一元二次方程2x2+x?k=0没有实数根，则k的取值范围是（???????）
A．k?18 D．k≥?18


4．（2022年甘肃省兰州市中考数学真题）关于x的一元二次方程kx2+2x?1=0有两个相等的实数根，则k=（???????）
A．-2 B．-1 C．0 D．1

?
【详解】解：∵一元二次方程2????2+?????????=0没有实数根，
∴Δ=12?4×2×(?k)<0，解得?????
【详解】
∵原方程有两个相等的实数根，
∴△＝b2?4ac＝4?4×（?k）＝0，且k≠0；
解得????=?1．
故选：B．
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知识大全
考点五 一元二次方程根与系数的关系
当Δ?≥0时，两根的和等于一次项系数与二次项系数的___________，
两根的积等于常数项与二次项系数的___________，
即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根与系数的关系为:
人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”。
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【易错点】使用韦达定理的前提条件：1) 先把方程化为一般式。
2) Δ≥0。
比的相反数
比
x1+x2 =?ba, x1x2 = ca
?
解题技巧
考点五 一元二次方程根与系数的关系
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2
1）平方和 ????????????+????????????=
2）倒数和 ???????????? + ????????????? =
3）差的绝对值 | x1 - x2 |=

4)????1????2+????2????1 =
5）(????1+1)(????2+1)=
?
(????????+????????)?????????????????????????
?
????????+????????????????????????
?
(?????????????????)????=(????????+????????)?????????????????????????
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????12+????22????1????2=(????1+????2)2?2????1????2????1????2
?
????1????2+(????1+????2)+1
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针对训练
考点五 一元二次方程根与系数的关系
【典例6】已知关于x的一元二次方程????2+3????+?????2=0有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为????1,????2，若????1+1????2+1=?1，求k的值．
?
【详解】（1）解：∵一元二次方程????2+3????+?????2=0有实数根．
∴?≥0，即32-4（k-2）≥0， 解得k≤174
（2）∵方程的两个实数根分别为????1,????2，
∴????1+????2=?3,????1????2=?????2，
∵????1+1????2+1=?1，
∴????1????2+????1+????2+1=?1，
∴?????2?3+1=?1，
解得k=3．
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针对训练
考点五 一元二次方程根与系数的关系
1．已知关于x的一元二次方程????2?4?????2????+8=0有两个实数根????1,????2．
（1）求k的取值范围；
（2）若????13????2+????1????23=24，求k的值．
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【详解】解：(1)由题意可知，????=(?4)2?4×1×(?2????+8)≥0，
整理得：16+8?????32≥0，
解得：????≥2，
∴????的取值范围是：????≥2．
故答案为：????≥2．
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针对训练
考点五 一元二次方程根与系数的关系
2．已知关于x的一元二次方程????2?4?????2????+8=0有两个实数根????1,????2．
（1）求k的取值范围；
（2）若????13????2+????1????23=24，求k的值．
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(2)由题意得：????13????2+????1????23=????1????2(????1+????2)2?2????1????2=24，
由韦达定理可知：????1+????2=4，????1????2=?2????+8，
故有：(?2????+8)42?2(?2????+8)=24，
整理得：????2?4????+3=0，
解得：????1=3,????2=1，
又由(1)中可知????≥2，
∴????的值为????=3．
故答案为：????=3．
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针对训练
考点五 一元二次方程根与系数的关系
3．（2022年湖北省十堰市中考数学真题）已知关于????的一元二次方程????2?2?????3????2=0．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为????，????，且????+2????=5，求????的值．
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【解析】
（1）Δ=????2?4????????=?22?4×1?(?3????2)=4+12????2，
∵12????2≥0，∴4+12????2≥4>0，∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的两个实数根????，????，由根与系数关系可知，????+????=2，?????????=?3????2，
∵????+2????=5，∴????=5?2????，
∴5?2????+????=2，解得：????=3，????=?1，
∴?3????2=?1×3=?3，
即????=±1．
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解题技巧
考点六 利用一元二次方程解决实际问题
利用一元二次方程解决实际问题：
1）传播问题：明确每轮传播中的___________个数，以及这一轮被传染的__________．
2) 增长率问题：
①如果增长率问题中的基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的数量为
____________，第二次增长后的数量为____________．
②如果下降率问题中的基数为a，平均下降率为x，则第一次下降后的数量为
__________，第二次下降后的数量为___________．
3）几何问题：
①常见几何____________是等量关系。
②解决课本封面、小路宽度常采用____________列方程。
传染源
总数
a(1＋x)
a(1＋x)2
a(1－x)
a(1－x)2
周长面积
图形平移
解题技巧
考点六 利用一元二次方程解决实际问题
利用一元二次方程解决实际问题：
4) 数字问题：
①若个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则十位数字表示为____________.
百位数字表示_____________.
②日历中的某个日期，左右相差___________，上下相差___________.
5）利润问题：单件利润=___________,总利润=________________
6) 表格问题：理解题干内容，从题干中获取信息。
7）动点问题：在动点中观察图形的变化情况，需理解动点在图形不同位置情况，才
能做好计算推理过程。在变化中找到不变的性质是解决动点问题的基本思路。
100c+10b+a
10b+a
1
7
售价-进价
单件利润×销量
针对训练
考点六 利用一元二次方程解决实际问题
1．“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了_________人．
【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有????(1+????)人被传染，由题意得 1+????+????(1+????)=25
解得????=4或?6（舍去）所以，每轮传染中平均一个人传染了4人,故答案为：4．
?
【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．
可列方程为：x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
解得：x1＝8，x2＝1.5（舍），∴x﹣4＝4，
∴10x+（x﹣4）＝84．
答：这个两位数为84．故答案为：84
2．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___．
针对训练
考点六 利用一元二次方程解决实际问题
【详解】解：由题意得：
50?????300+10????=16000；
故答案为50?????300+10????=16000．
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3．2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价????元，可列方程________．
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针对训练
考点六 利用一元二次方程解决实际问题
4.已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于210cm？
（3）△PQB的面积能否等于7 平方厘米？请说明理由．
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【提示】（1）设P、Q分别从A、B两点出发，x秒后，AP=xcm，PB=（5-x）cm，BQ=2xcm，则△PBQ的面积等于12×2x（5-x），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令12×2t（5-t）=7，化简该方程后，判断该方程的????2?4????????与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
?
谢谢！