12.2 全等三角形的判定 第4课时 课件（共26张ppt） 2023-—2024学年人教版数学八年级上册

(共26张PPT)
12.2 全等三角形的判定第4课时
1．已知斜边和直角边会作直角三角形；熟练掌握“斜边、直角边”，利用它判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；
2.经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理能力；
3.通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进—步激发探究的积极性.
同学们先小试身手，完成填空练习.
如图，Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是_____、_____，斜边是______.
C
B
A
AC
BC
AB
再思考：两个直角三角形有一对相等的角是它们的直角，根据所学知识还能补充哪些条件证明两个三角形全等？
1.添加斜边和一个锐角对应相等，两个直角三角形全等.
2.添加一条直角边和一锐角对应相等，两个直角三角形全等.
3.添加两直角边对应相等，两个直角三角形全等.
A
B
C
D
E
F
问题：
如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？
探究：
任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90 . 再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90 ，B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
（1）先画∠M C′ N=90°
A
B
C
M
C′
N
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC.
M
C′
A
B
C
N
B′
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′.
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
（4）连接A′B′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
　　斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．
几何语言：
∵　在Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，
　 AB =A′B′，
BC =B′C′(或AC=A′C′)，
∴　Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′（HL）．
A
B　
C　
A′
B′　
C′　
结论
例1：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC =BD．求证 BC =AD．
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C和∠D都是直角
在△ABC 和△BAD中，
AB＝BA
AC＝BD
∴Rt△ABC ≌Rt△BAD（HL）
∴BC＝AD
如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要明证△ABC ≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．
（1） . （ ）；
（2） . （ ）；
（3） . （ ）；
（4） . （ ）．
AD=BC
∠ DAB= ∠ CBA
BD=AC
∠ DBA= ∠ CAB
HL
HL
AAS
AAS
2.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.
求证：EB=DC.
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
CE=BD，
BC=CB ，
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
∴ EB=DC.
例2：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
BC=EF，
AC=DF .
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B=∠DEF.
∵ ∠DEF+∠F=90°，
∴∠B+∠F=90°.
例3：如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？
分析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5 cm，可据此求出P点的位置．
(2)Rt△APQ≌Rt△CAB，此时AP＝AC，P、C重合．
解：(1)当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝BC，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA，∴AP＝BC＝5 cm；
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
∴AP＝AC＝10 cm，
∴当AP＝5 cm或10 cm时，△ABC才能和△APQ全等．
　　练习1:如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E 两地．DA⊥AB，EB⊥AB．D，E 与路段AB的距离相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
解：D、E与路段AB的距离相等.
理由：∵C是路段AB的中点，
∴AC = BC，
又∵两人同时同速度出发，并同时到达D，E两地.
∴CD = CE，
又DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B =90°，
在Rt△ACD与Rt△BCE中，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL).
∴DA = EB，
即D、E与路段AB的距离相等.
A
B
C
D
E
练习2:如图，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE = BF．求证：AE = DF．
A
B
C
D
E
F
证明：∵CE = BF，
∴CE - EF = BF - EF，
即CF = BE.
又∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠DFC =∠AEB =90°.
在Rt△DFC与Rt△AEB中，
∴Rt△DFC≌Rt△AEB（HL).
∴AE = DF.
A
B
C
D
E
F
练习3: 如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC与E，AB = DC，BE = CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由.
解：平行.
理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴∠AFB和∠DEC都是直角，
又BE = CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF = CE.
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
AB=CD，
BF=CE，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)，
∴∠B =∠C，AB∥CD.
“HL”定理
内容
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
（简写为“斜边、直角边”或“HL”）
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）.
1.如图，∠DCE = 90°，CD = CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B，试说明AD + AB = BE.
解：∵AD⊥AC，BE⊥AC，
∴∠A =∠CBE =90°，
∴∠D +∠ACD =90°.
又∵∠DCE = 90°，
∴∠ACD +∠BCE = 90°，
∴∠D =∠BCE.
在△ACD和△BEC中，
∴△ACD≌△BEC(AAS).
∴AD = BC，AC = BE，
∴AD+AB = BC+AB = AC = BE.
2.小组合作整理用5种方法证明直角三角形全等的习题.