【精品解析】浙江省杭州市临安名校2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷

浙江省杭州市临安名校2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高二上·临安开学考）在空间四边形中，等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2021高二上·肥城期中）直线 的一个方向向量是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·临安开学考）已知命题：直线与平行，命题，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023高二上·临安开学考）若平面，的法向量分别为，，则（　　）
A． B．
C．，相交但不垂直 D．以上均不正确
5．（2023高二上·临安开学考）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·临安开学考）与直线关于点对称的直线方程是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023高二上·临安开学考）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·临安开学考）已知，满足，则的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高二上·临安开学考）是空间的一个基底，与 构成基底的一个向量可以是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023高二上·临安开学考）已知直线，则下列表述正确的是（　　）
A．当时，直线的倾斜角为
B．当实数变化时，直线恒过点
C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1
D．直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4
11．（2023高二上·临安开学考）在空间直角坐标系中，，，，则（　　）
A．
B．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．点到直线的距离是
12．（2023高二上·临安开学考）对于两点，，定义一种“距离”：，则（　　）
A．若点C是线段AB的中点，则
B．在中，若，则
C．在中，
D．在正方形ABCD中，有
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高二上·临安开学考）已知向量，，且，则　 　.
14．（2020高二上·天津期末）已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量是　 　.
15．（2023高二上·临安开学考）点到直线的距离的最大值是　 　．
16．（2023高二上·临安开学考）是直线上的第一象限内的一点，为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，当面积最小时，点的坐标是　 　
四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2023高二上·临安开学考）平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，；
（1）用向量，，表示向量；
（2）求线段的长度．
18．（2023高一下·成都期末）设复数，i为虚数单位，且满足．
（1）求复数z；
（2）复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
19．（2023高二上·临安开学考）如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为原点，点B的坐标为，点C，D在第一象限．
（1）求直线CD的方程；
（2）若，求点D的横坐标．
20．（2023高二上·临安开学考）在ABC中．a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，
（1）求角C：
（2）若，求锐角ABC面积的取值范围．
21．（2023高二上·临安开学考）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，四边形为梯形，，.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
22．（2023高一下·衢州期末） 已知函数，
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）若有三个零点，且求证：
①
②.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解：由题意可得 .
故答案为：C.
【分析】根据空间向量的加法运算求解.
2．【答案】A
【知识点】直线的方向向量
【解析】【解答】因为直线 的斜率为 ，所以直线的一个方向向量为 ，
又因为 与 共线，所以 的一个方向向量可以是 ，
故答案为：A.
【分析】 先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：对于命题： 直线与平行 ，
可得，解得或，
当，两直线方程分别为和，可知两直线平行，符合题意；
当，两直线方程分别为和，可知两直线平行，符合题意；
综上所述：命题：或.
可知命题不能推出命题 ，命题不能推出命题 ，
所以命题 是命题的 充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先根据平行关系可得命题：或，进而结合充分、必要条件分析判断.
4．【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：因为，可知与不垂直，
又因为，可知与不平行，
所以 ，相交但不垂直.
故答案为：C.
【分析】根据平面法向量的垂直、平行判断两平面的位置关系.
5．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由题意可知：，
所以 在基底下的坐标为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意结合空间向量基本定理运算求解.
6．【答案】D
【知识点】平面内中点坐标公式；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：在所求直线上任取一点，则关于 点 的对称点为，
可知在直线 上，
则，可得 ，
所以所求直线方程为.
故答案为：D.
【分析】利用相关点法结合中点坐标公式运算求解.
7．【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，可得，
则，可得，
所以 点到直线的距离.
故答案为：D.
【分析】建系，利用空间向量求点到线的距离.
8．【答案】B
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：设直线 与x，y轴的交点分别为，
设线段AB上任一点（不包括端点），
则，点P到y 轴的距离为，即 ，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
可得，
所以的最小值即为点到y轴的距离.
故答案为：C.
【分析】设线段AB上任一点（不包括端点），根据几何意义可得，
可求点关于直线的对称点为，根据对称性结合图象可得最小值.
9．【答案】A,C
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】 解：因为， ，
可知 ， 均与 共面，不能构成基底的一个向量
故B、D错误；
假设 ，
则，但此方程组无解，
所以 与 不共面，可以构成基底，故A正确；
假设 ，
则，但此方程组无解，
所以 与 不共面，可以构成基底，故C正确；
故答案为：AC.
【分析】根据空间向量基本定理逐项分析判断.
10．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的倾斜角；直线的斜率；恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：对于A： 当时，直线的斜率，倾斜角为，故A正确；
对于B：因为 ，即，
令，解得，所以 当实数变化时，直线恒过点，故B正确；
对于C：若 直线与直线平行 ，
结合选项B可知：点到直线的距离即为 两条直线的距离，
故C错误；
对于D：由直线方程可得：直线在x，y轴上的截距分别为，且，
所以 直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】对于A：代入，求斜率进而可得倾斜角；对于B：整理方程得，分析求解即可；对于C：根据题意将两平行线间距离转化为点到直线的距离运算求解；对于D：先求直线在x，y轴上的截距，结合基本不等式求面积的最小值.
11．【答案】B,D
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得：，
对于A： ，故A错误；
对于B： ，故B正确；
对于C：因为，
所以 异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；
对于D： 点到直线的距离是，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】对于A：根据数量积的坐标运算求解；对于B：根据向量的模长公式运算求解；对于C：根据异面直线的夹角公式运算求解；对于D：根据点到直线的距离运算求解.
12．【答案】A,C,D
【知识点】平面内中点坐标公式
【解析】【解答】解：对于A：若点C是线段AB的中点，则，
则，故A正确；
对于B：因为中，，
不妨设，
则，
可得，
故B不正确；
对于C：设，则，
因为，
，
所以，故C正确；
对于D：因为ABCD为正方形，不妨设，
则，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】对于A：根据题意结合中点坐标公式运算求解；对于B：不妨设，结合题意运算求解；对于C：根据题意结合绝对值不等式运算求解；对于D：不妨设，结合题意运算求解.
13．【答案】
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：由题意可得，解得 .
故答案为： .
【分析】根据向量垂直的坐标表示运算求解.
14．【答案】（2,0,2）
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】向量 在向量 上的投影是 ，
所以向量 在向量 上的投影向量是 ，
故答案为：（2,0,2）
【分析】首先由数量积的公式即可计算出向量 在向量 上的投影，再由向量的定义即可求出投影向量为由此求出坐标。
15．【答案】
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：因为 直线 过定点，
所以 点到直线的距离的最大值是.
故答案为： .
【分析】根据直线方程可知直线 过定点，结合几何性质分析求解.
16．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：设，则，
因为，则，整理得，
由，可得，
则 面积，
当且仅当，即时，等式成立，
此时点的坐标是 .
故答案为： .
【分析】设，根据三点共线可得，进而结合基本不等式求面积最小值.
17．【答案】（1）解：因为为中点，为中点，，，，
所以
；
（2）解：因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，
所以，，，
所以
所以，即线段PM长为
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合空间向量的线性运算求解；
(1) 根据空间向量的数量积的定义以及运算性质求解.
18．【答案】（1）解：设，
，
，解得.
（2）解：是方程的一个根，
，即，
则
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算以及复数模公式即可求解.
（2）根据已知条件，结合韦达定理求出二次方程系数.
19．【答案】（1）解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以，则．
设直线CD的方程为（），即．
因为平行四边形ABCD的面积为8，，故AB与CD之间的距离为．
由题图知：直线AB的方程为，于是，解得．
由C，D在第一象限知：，所以，
故直线CD的方程为．
（2）解：设点D的坐标为，由，则．
所以，解得或，
故点D的横坐标为或2．
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线平行；直线的斜截式方程；平面内两点间的距离公式；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】 (1) 根据平行关系 直线CD的方程为 ，根据面积关系结合平行线间距离公式运算求解；
(2)设点D的坐标为， 根据直线方程和长度关系列式求解.
20．【答案】（1）解：及正弦定理得，
∴，
∴，即，∴，
∵，∴，∵，∴．
（2）解：设外接圆的半径为，由，
得，即，
则，∴．
的面积．
∵，∴，，∴，
∵，，，∴，∴，∴，
∴，∴，即锐角面积的取值范围是．
【知识点】三角函数的化简求值；正弦定理；余弦定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；
(2)设外接圆的半径为， 利用正弦定理可得 ，利用正弦定理边化角，利用面积公式结合三角恒等变换可得 ，进而结合正弦函数的有界性运算求解.
21．【答案】（1）解：取中点，连接，
分别为中点，，，
，，又，
，，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）解：取中点，连接，
，，四边形为平行四边形，
又，，即；
为等边三角形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面；
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
设，，则，，，，，
，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
，解得：，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1) 根据平行的性质可得 ，结合线面平行的判定定理分析证明；
(2)根据面面垂直的性质定理可得平面 ，以为坐标原点，正方向为轴，可建立示空间直角坐标系，利用空间向量求面面夹角.

22．【答案】（1）解：因为，
所以，
当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递增；
因此的单调递减区间为.
（2）解：①，
当时，仅有一个零点，不合题意；
当时，
当时，在仅有一个零点，在没有零点，不合题意；
当时，在仅有一个零点，因为，所以在没有零点，不合题意；
因此，所以
在仅有一个零点，在在有两个零点，，且当时；
，∴，
∵，∴，
∴，∵，
∴，
综上：
②由题意可知：
，，
∴
，
∴.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；二次函数的图象；二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)当时，去绝对值把函数进行化简，利用二次函数的性质，结合函数图象即可求出单调减区间.
(2)①由已知条件可得不符合题意，当a>0时，由零点存在定理可知在上有两个零点，且，进而证明，最后带人即可证明.
②由①问可知，由求根公式求出即可证明.
1 / 1浙江省杭州市临安名校2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高二上·临安开学考）在空间四边形中，等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解：由题意可得 .
故答案为：C.
【分析】根据空间向量的加法运算求解.
2．（2021高二上·肥城期中）直线 的一个方向向量是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的方向向量
【解析】【解答】因为直线 的斜率为 ，所以直线的一个方向向量为 ，
又因为 与 共线，所以 的一个方向向量可以是 ，
故答案为：A.
【分析】 先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量.
3．（2023高二上·临安开学考）已知命题：直线与平行，命题，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：对于命题： 直线与平行 ，
可得，解得或，
当，两直线方程分别为和，可知两直线平行，符合题意；
当，两直线方程分别为和，可知两直线平行，符合题意；
综上所述：命题：或.
可知命题不能推出命题 ，命题不能推出命题 ，
所以命题 是命题的 充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先根据平行关系可得命题：或，进而结合充分、必要条件分析判断.
4．（2023高二上·临安开学考）若平面，的法向量分别为，，则（　　）
A． B．
C．，相交但不垂直 D．以上均不正确
【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：因为，可知与不垂直，
又因为，可知与不平行，
所以 ，相交但不垂直.
故答案为：C.
【分析】根据平面法向量的垂直、平行判断两平面的位置关系.
5．（2023高二上·临安开学考）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由题意可知：，
所以 在基底下的坐标为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意结合空间向量基本定理运算求解.
6．（2023高二上·临安开学考）与直线关于点对称的直线方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面内中点坐标公式；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：在所求直线上任取一点，则关于 点 的对称点为，
可知在直线 上，
则，可得 ，
所以所求直线方程为.
故答案为：D.
【分析】利用相关点法结合中点坐标公式运算求解.
7．（2023高二上·临安开学考）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，可得，
则，可得，
所以 点到直线的距离.
故答案为：D.
【分析】建系，利用空间向量求点到线的距离.
8．（2023高二上·临安开学考）已知，满足，则的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：设直线 与x，y轴的交点分别为，
设线段AB上任一点（不包括端点），
则，点P到y 轴的距离为，即 ，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
可得，
所以的最小值即为点到y轴的距离.
故答案为：C.
【分析】设线段AB上任一点（不包括端点），根据几何意义可得，
可求点关于直线的对称点为，根据对称性结合图象可得最小值.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高二上·临安开学考）是空间的一个基底，与 构成基底的一个向量可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】 解：因为， ，
可知 ， 均与 共面，不能构成基底的一个向量
故B、D错误；
假设 ，
则，但此方程组无解，
所以 与 不共面，可以构成基底，故A正确；
假设 ，
则，但此方程组无解，
所以 与 不共面，可以构成基底，故C正确；
故答案为：AC.
【分析】根据空间向量基本定理逐项分析判断.
10．（2023高二上·临安开学考）已知直线，则下列表述正确的是（　　）
A．当时，直线的倾斜角为
B．当实数变化时，直线恒过点
C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1
D．直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的倾斜角；直线的斜率；恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：对于A： 当时，直线的斜率，倾斜角为，故A正确；
对于B：因为 ，即，
令，解得，所以 当实数变化时，直线恒过点，故B正确；
对于C：若 直线与直线平行 ，
结合选项B可知：点到直线的距离即为 两条直线的距离，
故C错误；
对于D：由直线方程可得：直线在x，y轴上的截距分别为，且，
所以 直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】对于A：代入，求斜率进而可得倾斜角；对于B：整理方程得，分析求解即可；对于C：根据题意将两平行线间距离转化为点到直线的距离运算求解；对于D：先求直线在x，y轴上的截距，结合基本不等式求面积的最小值.
11．（2023高二上·临安开学考）在空间直角坐标系中，，，，则（　　）
A．
B．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．点到直线的距离是
【答案】B,D
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得：，
对于A： ，故A错误；
对于B： ，故B正确；
对于C：因为，
所以 异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；
对于D： 点到直线的距离是，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】对于A：根据数量积的坐标运算求解；对于B：根据向量的模长公式运算求解；对于C：根据异面直线的夹角公式运算求解；对于D：根据点到直线的距离运算求解.
12．（2023高二上·临安开学考）对于两点，，定义一种“距离”：，则（　　）
A．若点C是线段AB的中点，则
B．在中，若，则
C．在中，
D．在正方形ABCD中，有
【答案】A,C,D
【知识点】平面内中点坐标公式
【解析】【解答】解：对于A：若点C是线段AB的中点，则，
则，故A正确；
对于B：因为中，，
不妨设，
则，
可得，
故B不正确；
对于C：设，则，
因为，
，
所以，故C正确；
对于D：因为ABCD为正方形，不妨设，
则，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】对于A：根据题意结合中点坐标公式运算求解；对于B：不妨设，结合题意运算求解；对于C：根据题意结合绝对值不等式运算求解；对于D：不妨设，结合题意运算求解.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高二上·临安开学考）已知向量，，且，则　 　.
【答案】
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：由题意可得，解得 .
故答案为： .
【分析】根据向量垂直的坐标表示运算求解.
14．（2020高二上·天津期末）已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量是　 　.
【答案】（2,0,2）
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】向量 在向量 上的投影是 ，
所以向量 在向量 上的投影向量是 ，
故答案为：（2,0,2）
【分析】首先由数量积的公式即可计算出向量 在向量 上的投影，再由向量的定义即可求出投影向量为由此求出坐标。
15．（2023高二上·临安开学考）点到直线的距离的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：因为 直线 过定点，
所以 点到直线的距离的最大值是.
故答案为： .
【分析】根据直线方程可知直线 过定点，结合几何性质分析求解.
16．（2023高二上·临安开学考）是直线上的第一象限内的一点，为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，当面积最小时，点的坐标是　 　
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：设，则，
因为，则，整理得，
由，可得，
则 面积，
当且仅当，即时，等式成立，
此时点的坐标是 .
故答案为： .
【分析】设，根据三点共线可得，进而结合基本不等式求面积最小值.
四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2023高二上·临安开学考）平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，；
（1）用向量，，表示向量；
（2）求线段的长度．
【答案】（1）解：因为为中点，为中点，，，，
所以
；
（2）解：因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，
所以，，，
所以
所以，即线段PM长为
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合空间向量的线性运算求解；
(1) 根据空间向量的数量积的定义以及运算性质求解.
18．（2023高一下·成都期末）设复数，i为虚数单位，且满足．
（1）求复数z；
（2）复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
【答案】（1）解：设，
，
，解得.
（2）解：是方程的一个根，
，即，
则
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算以及复数模公式即可求解.
（2）根据已知条件，结合韦达定理求出二次方程系数.
19．（2023高二上·临安开学考）如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为原点，点B的坐标为，点C，D在第一象限．
（1）求直线CD的方程；
（2）若，求点D的横坐标．
【答案】（1）解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以，则．
设直线CD的方程为（），即．
因为平行四边形ABCD的面积为8，，故AB与CD之间的距离为．
由题图知：直线AB的方程为，于是，解得．
由C，D在第一象限知：，所以，
故直线CD的方程为．
（2）解：设点D的坐标为，由，则．
所以，解得或，
故点D的横坐标为或2．
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线平行；直线的斜截式方程；平面内两点间的距离公式；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】 (1) 根据平行关系 直线CD的方程为 ，根据面积关系结合平行线间距离公式运算求解；
(2)设点D的坐标为， 根据直线方程和长度关系列式求解.
20．（2023高二上·临安开学考）在ABC中．a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，
（1）求角C：
（2）若，求锐角ABC面积的取值范围．
【答案】（1）解：及正弦定理得，
∴，
∴，即，∴，
∵，∴，∵，∴．
（2）解：设外接圆的半径为，由，
得，即，
则，∴．
的面积．
∵，∴，，∴，
∵，，，∴，∴，∴，
∴，∴，即锐角面积的取值范围是．
【知识点】三角函数的化简求值；正弦定理；余弦定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；
(2)设外接圆的半径为， 利用正弦定理可得 ，利用正弦定理边化角，利用面积公式结合三角恒等变换可得 ，进而结合正弦函数的有界性运算求解.
21．（2023高二上·临安开学考）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，四边形为梯形，，.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）解：取中点，连接，
分别为中点，，，
，，又，
，，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）解：取中点，连接，
，，四边形为平行四边形，
又，，即；
为等边三角形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面；
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
设，，则，，，，，
，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
，解得：，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1) 根据平行的性质可得 ，结合线面平行的判定定理分析证明；
(2)根据面面垂直的性质定理可得平面 ，以为坐标原点，正方向为轴，可建立示空间直角坐标系，利用空间向量求面面夹角.

22．（2023高一下·衢州期末） 已知函数，
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）若有三个零点，且求证：
①
②.
【答案】（1）解：因为，
所以，
当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递增；
因此的单调递减区间为.
（2）解：①，
当时，仅有一个零点，不合题意；
当时，
当时，在仅有一个零点，在没有零点，不合题意；
当时，在仅有一个零点，因为，所以在没有零点，不合题意；
因此，所以
在仅有一个零点，在在有两个零点，，且当时；
，∴，
∵，∴，
∴，∵，
∴，
综上：
②由题意可知：
，，
∴
，
∴.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；二次函数的图象；二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)当时，去绝对值把函数进行化简，利用二次函数的性质，结合函数图象即可求出单调减区间.
(2)①由已知条件可得不符合题意，当a>0时，由零点存在定理可知在上有两个零点，且，进而证明，最后带人即可证明.
②由①问可知，由求根公式求出即可证明.
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