福建省福州市连江县黄如论中学2023-2024学年高一上册数学入学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知全集，，，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．化简二次根式的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，在中，，点是斜边的中点，点是的重心，于点，若，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
5．直角三角形中，是斜边，，高把分为和两段，，那么的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．已知全集，集合或，或，则集合（ ）
A． B．
C． D．或
7．已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有个正整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．将下列多项式因式分解，结果中含有因式的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高一上·深圳月考）若a，b，，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若且，则 D．
11．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
12．下列结论正确的是（ ）
A．设，则的最小值是
B．当时，的最小值是
C．当时，
D．当时，的最大值是
二、非选择题（共40分）
13．已知，则集合的真子集的个数为 ．
14．不等式组的解集为 ．
15．已知函数，若关于的不等式的解为，则 ， ．
16．已知中，，，，边上的高，则内切圆的半径为 ．
17．集合，，且，则的值是 ．
18．已知，是一元二次方程的两个实数根，若，满足，则 ．
19．已知集合，，若，则实数的取值范围为 ．
20．用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积为 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为 ， 则 ，， ，，故A、C错误；
又因为 ， 则 或，故B错误， ，，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意结合集合间的运算分析判断.
2．【答案】A
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】解：由题意可知：，则，
所以 .
故答案为：A.
【分析】根据根式的定义可知，再结合根式运算求解.
3．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 ，可得，
等价于，解得，
所以 不等式的解集是 .
故答案为：B.
【分析】将整理得，等价于，结合二次不等式运算求解.
4．【答案】B
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可知：，则，且，
又因为 ，所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，，结合直角三角形三角函数值运算求解.
5．【答案】C
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图所示，
因为，则，可得，
即，解得或（舍去），
则，所以的面积是.
故答案为：D.
【分析】根据结合三角形相似可得，解得，进而结合勾股定理可得，即可求面积.
6．【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
所以 .
故答案为：C.
【分析】根据题意结合交集、补集运算求解.
7．【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为 ，则，
因为 的解中有且仅有个正整数， 可知，
此时不等式的解集为，可得.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合一元二次不等式分析求解.
8．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：因为 ，
又因为 ，， 则，，
所以 .
故答案为：B.
【分析】以为整体表示z，结合不等式的性质运算求解.
9．【答案】A,B,D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：对于A： ，故A正确；
对于B： ，故B正确；
对于C： ，故C错误；
对于D： ，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据题意利用因式分解逐项分析判断.
10．【答案】B,C,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解：对于A，当时，结论不成立，A不符合题意；
对于B，等价于，又，故成立，B符合题意；
对于C，因为且，所以等价于，即，成立，C符合题意；
对于D，等价于，成立，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由不等式的性质逐一判断即可.
11．【答案】A,D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可得： 的两根为，且，故A正确；
则，解得，
对于B： 不等式 ，即为，解得，
所以 不等式的解集为，故B错误；
对于C：不等式 ，即为 ，解得，
所以 不等式的解集为，故C错误；
对于D： ，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据三个二次之间的关系可得且，进而逐项分析判断.
12．【答案】C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解： 对于A：因为不是定值，所以不是 的最小值 ，故A错误；
对于B：若x为正数，则 ，当且仅当，即时，等号成立，
但 ，等号取不到，所以2不是 的最小值，故B错误；
对于C： 当时，，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D：令，则 ，
可得 ，当且仅当，即时，等号成立，故D正确；
故答案为：CD.
【分析】根据题意结合基本不等式逐项分析判断，注意基本不等式的条件“一正，二定，三相等”.
13．【答案】7
【知识点】集合的表示方法；子集与真子集
【解析】【解答】解：由题意可得 ，共3个元素，
所以集合的真子集的个数为.
故答案为：7.
【分析】根据题意可得，结合集合的真子集个数结合元素个数之间的关系运算求解.
14．【答案】或
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 ，则 ，
解得 或，
所以 不等式组的解集为或 .
故答案为： 或 .
【分析】根据绝对值的几何意义运算求解.
15．【答案】；
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 因为不等式的解为，
可知方程的解为，且，
可得，解得.
故答案为： ；..
【分析】由题意可知：方程的解为，且，利用韦达定理运算求解.
16．【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设 内切圆的半径为，
利用等面积法可知：，解得.
故答案为： .
【分析】根据题意利用等面积法运算求解.
17．【答案】0或1或
【知识点】集合的表示方法；集合关系中的参数取值问题；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
若， 则，
若，则；
若，则，解得；
若，则，解得；
故答案为：0或1或.
【分析】根据题意可得，，结合包含运算求解，注意空集的理解.
18．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：，显然 ， 均不为0，且同号，
若，则 ，整理得，
因为，无解，
若，则 ，整理得，
解得或（舍去）；
综上所述：.
故答案为： .
【分析】根据题意分， 两种情况讨论，结合韦达定理运算求解.
19．【答案】
【知识点】空集；交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为 ，
若，则，解得；
若，则，解得或；
综上所述：实数的取值范围为 .
故答案为： .
【分析】先求集合B，再分和 两种情况，结合交集运算结果列式求解.
20．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设长方体长为，高为，则车厢容积为，
由题意可得，整理得，
因为，当且仅当时，等号成立，
可得，解得，即，
所以 车厢的最大容积为 ，此时．
故答案为： .
【分析】设长方体长为，高为，可得，车厢容积为，利用基本不等式结合一元二次不等式运算求解.
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一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知全集，，，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为 ， 则 ，， ，，故A、C错误；
又因为 ， 则 或，故B错误， ，，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意结合集合间的运算分析判断.
2．化简二次根式的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】解：由题意可知：，则，
所以 .
故答案为：A.
【分析】根据根式的定义可知，再结合根式运算求解.
3．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 ，可得，
等价于，解得，
所以 不等式的解集是 .
故答案为：B.
【分析】将整理得，等价于，结合二次不等式运算求解.
4．如图所示，在中，，点是斜边的中点，点是的重心，于点，若，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可知：，则，且，
又因为 ，所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，，结合直角三角形三角函数值运算求解.
5．直角三角形中，是斜边，，高把分为和两段，，那么的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图所示，
因为，则，可得，
即，解得或（舍去），
则，所以的面积是.
故答案为：D.
【分析】根据结合三角形相似可得，解得，进而结合勾股定理可得，即可求面积.
6．已知全集，集合或，或，则集合（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
所以 .
故答案为：C.
【分析】根据题意结合交集、补集运算求解.
7．已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有个正整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为 ，则，
因为 的解中有且仅有个正整数， 可知，
此时不等式的解集为，可得.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合一元二次不等式分析求解.
8．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：因为 ，
又因为 ，， 则，，
所以 .
故答案为：B.
【分析】以为整体表示z，结合不等式的性质运算求解.
9．将下列多项式因式分解，结果中含有因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：对于A： ，故A正确；
对于B： ，故B正确；
对于C： ，故C错误；
对于D： ，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据题意利用因式分解逐项分析判断.
10．（2022高一上·深圳月考）若a，b，，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若且，则 D．
【答案】B,C,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解：对于A，当时，结论不成立，A不符合题意；
对于B，等价于，又，故成立，B符合题意；
对于C，因为且，所以等价于，即，成立，C符合题意；
对于D，等价于，成立，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由不等式的性质逐一判断即可.
11．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
【答案】A,D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可得： 的两根为，且，故A正确；
则，解得，
对于B： 不等式 ，即为，解得，
所以 不等式的解集为，故B错误；
对于C：不等式 ，即为 ，解得，
所以 不等式的解集为，故C错误；
对于D： ，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据三个二次之间的关系可得且，进而逐项分析判断.
12．下列结论正确的是（ ）
A．设，则的最小值是
B．当时，的最小值是
C．当时，
D．当时，的最大值是
【答案】C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解： 对于A：因为不是定值，所以不是 的最小值 ，故A错误；
对于B：若x为正数，则 ，当且仅当，即时，等号成立，
但 ，等号取不到，所以2不是 的最小值，故B错误；
对于C： 当时，，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D：令，则 ，
可得 ，当且仅当，即时，等号成立，故D正确；
故答案为：CD.
【分析】根据题意结合基本不等式逐项分析判断，注意基本不等式的条件“一正，二定，三相等”.
二、非选择题（共40分）
13．已知，则集合的真子集的个数为 ．
【答案】7
【知识点】集合的表示方法；子集与真子集
【解析】【解答】解：由题意可得 ，共3个元素，
所以集合的真子集的个数为.
故答案为：7.
【分析】根据题意可得，结合集合的真子集个数结合元素个数之间的关系运算求解.
14．不等式组的解集为 ．
【答案】或
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 ，则 ，
解得 或，
所以 不等式组的解集为或 .
故答案为： 或 .
【分析】根据绝对值的几何意义运算求解.
15．已知函数，若关于的不等式的解为，则 ， ．
【答案】；
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 因为不等式的解为，
可知方程的解为，且，
可得，解得.
故答案为： ；..
【分析】由题意可知：方程的解为，且，利用韦达定理运算求解.
16．已知中，，，，边上的高，则内切圆的半径为 ．
【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设 内切圆的半径为，
利用等面积法可知：，解得.
故答案为： .
【分析】根据题意利用等面积法运算求解.
17．集合，，且，则的值是 ．
【答案】0或1或
【知识点】集合的表示方法；集合关系中的参数取值问题；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
若， 则，
若，则；
若，则，解得；
若，则，解得；
故答案为：0或1或.
【分析】根据题意可得，，结合包含运算求解，注意空集的理解.
18．已知，是一元二次方程的两个实数根，若，满足，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：，显然 ， 均不为0，且同号，
若，则 ，整理得，
因为，无解，
若，则 ，整理得，
解得或（舍去）；
综上所述：.
故答案为： .
【分析】根据题意分， 两种情况讨论，结合韦达定理运算求解.
19．已知集合，，若，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】空集；交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为 ，
若，则，解得；
若，则，解得或；
综上所述：实数的取值范围为 .
故答案为： .
【分析】先求集合B，再分和 两种情况，结合交集运算结果列式求解.
20．用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设长方体长为，高为，则车厢容积为，
由题意可得，整理得，
因为，当且仅当时，等号成立，
可得，解得，即，
所以 车厢的最大容积为 ，此时．
故答案为： .
【分析】设长方体长为，高为，可得，车厢容积为，利用基本不等式结合一元二次不等式运算求解.
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