3.2 勾股定理的逆定理 同步练习（含解析） 苏科版八年级数学上册

苏科版八年级数学上册
3.2 勾股定理的逆定理
一、选择题
1.以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是( )
A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、
2.由下列条件不能判断是直角三角形的是( )
A. ：：：： B. ：：：：
C. D.
3.在中，，，的对边分别为，，，下列说法中，错误的是( )
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么
D. 如果，，那么
4.如图，在中，，，，则边上的高为( )
A.
B.
C.
D.
5.下列四个说法：
因为以，，为边长的三角形是直角三角形，所以，，是勾股数；
因为，，不是勾股数，所以以，，为边长的三角形，不是直角三角形；
若，，是勾股数，且最大，则一定有；
如果三个整数，，是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数．
其中正确的是
( )
A. B. C. D.
6.如图，在的正方形网格中，从在格点上的点，，，中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知、是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则一定是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
8.如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能作出( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题
9.若三角形的三边长分别等于、、，则此三角形的面积为________．
10.在中，斜边，则_______．
11.如图，已知，，，，，则______．
12.如图，为的边上一点，已知，，，，则的长为 ．
13.如图是“俄罗斯方块”游戏中的一个图案，由四个完全相同的小正方形拼成，则的度数为_____．

14.如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么
15.如图，在中，，，边上的中线，则的面积为______．
三、解答题
16.如图，在四边形中，，，，求的度数．
17.如图，已知点是线段上的一点，，若，，，，
求、的长；
求证：．
18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是
分别求出线段、的长度；
在图中画线段、使得的长为，以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．
19.定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．
已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗请说明理由
已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
20.阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，，，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作九章算术，其勾股数组公式为：，其中，，是互质的奇数．
应用：当时，求有一边长为的直角三角形的另外两条边长．
21.如图，是的高，点在边上，若，，．
求，的长．
判断的形状并加以说明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】A、，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；
B、，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；
C、，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；
D、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故正确．
故选：．
根据勾股定理的逆定理得出选项A、、不能构成直角三角形，选项能构成直角三角形，即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理；在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2.【答案】
【解析】解：、：：：：，且，可求得，故不是直角三角形；
B、不妨设，，，此时，故是直角三角形；
C、，且，可求得，故是直角三角形；
D、，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
故选：．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查勾股定理及其逆定理，根据勾股定理，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，可以得到，是对的，然后根据三角形的内角和等于，可以得到也是对的根据勾股定理逆定理可知是错的．
【解答】
解：根据三角形的内角和等于，可以得到，所以是对的；
B.根据直角三角形的两直角边的平方的和等于斜边的平方，可以得到是对的；
C.如果，那么是，所以是错的 ；
D.根据和的度数，可以得到，从而得到它们的边的关系，所以也是对的
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；由勾股定理的逆定理证出三角形是直角三角形是解决问题的关键．根据所给的条件和勾股定理的逆定理证出是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可得出边上的高．
【解答】
解：，，，
，
是直角三角形，，
则由面积公式知，，
．
故选C．
5.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：
三个数必须是正整数，例如：、、满足，但是它们不都是正整数，所以它们不是勾股数．
一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．
记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：，，；，，；，，；
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】
解：虽然以，，为边长的三角形是直角三角形，但是，，不是整数，所以，，不是勾股数，故说法错误；
由于，，不是整数，所以，，不是勾股数，但是，，所以以，，为边长的三角形是直角三角形，故说法错误；
若，，是勾股数，且最大，则一定有，故说法正确；
若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数，故说法正确．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
如图，连接、、、、、，先求出每边的平方，得出，，，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．
【解答】
解：连接、、、、、，
设小正方形的边长为，
由勾股定理得：，，，，，，
，，，
、、是直角三角形，共个直角三角形，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
依据作图即可得到，，，进而得到，即可得出是直角三角形．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
【解答】
解：如图，由题意知，，，，
所以，
所以是直角三角形，且，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了直角三角形的判定，注意分类讨论思想的应用是解决此题的关键．可以分、、分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决．
【解答】
解：如图：
当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：、，，四个；
当是直角边，是直角顶点时，第三个顶点是点；
当是直角边，是直角顶点时，第三个顶点是．
因而共有个满足条件的顶点．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查勾股定理以及三角形的面积公式，属于基础题由勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形，再根据三角形的面积公式计算，即可得到答案．
【解答】
解：三角形的三边长分别等于、、，
则，
所以该三角形为直角三角形，
则此三角形的面积为．
故答案为．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了勾股定理的知识，是一道基本题型，解题关键是熟练掌握勾股定理，难度一般．
由三角形为直角三角形，利用勾股定理得到斜边的平方等于两直角边的平方和，再根据斜边的长，可得出两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．
【解答】解：为直角三角形，为斜边，
，
又，
，
则．
故答案为．
11.【答案】
【解析】解：在直角中，，，，
，
在中，，
，
故答案为：．
先在直角中运用勾股定理求出，然后根据勾股定理的逆定理得出．
本题考查了勾股定理及其逆定理，比较简单．在直角中求出是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是先根据得勾股定理逆定理，在直角中，已知，由勾股定理即可求得即可解答．
【解答】
解：由可知为直角三角形，且，
所以为边上的高．
在中，，
所以，
所以，
故答案为．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，求出、、的长，判断出是等腰直角三角形是解答本题的关键，难度一般．设小正方形的边长为，连接，利用勾股定理求出、、的长，由勾股定理的逆定理判断出是等腰直角三角形，继而得出的度数．
【解答】
解：如图，设小正方形的边长为，连接．
则，，，
，且，
是等腰直角三角形，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：连接，
由勾股定理得：，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形，勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键．
连接，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：，，最后根据平行线的性质可得结论．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定与性质．延长到，使，连接，利用得出与全等，得到，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，的面积等于的面积，利用三角形的面积公式即可得出结果．
【解答】
解：延长到，使，连接，如图所示：
为的中点，
，
在与中，，
≌，
．
又，，，
，
，
则；
故答案为：．
16.【答案】解：如图，连接，
，，
，，
，，
，，
，
，
．
【解析】【分析】
由于，，利用勾股定理可求，并可求，而，，易得，根据勾股定理的逆定理可得，从而易求．
【点评】
本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是连接，得出．
17.【答案】解：在中，，，，
．
在中，，，，
，
证明：，，，
，
．
【解析】根据勾股定理即可求出和的长；
根据勾股定理的逆定理判定即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记定理的内容是解此题的关键．
18.【答案】解：；；
如图，，
，，
，
以、、三条线段可以组成直角三角形．
【解析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，充分利用网格是解题的关键．
利用勾股定理求出、的长即可；
根据勾股定理的逆定理，即可作出判断．
19.【答案】解：是．理由：
，，
，
以、、为边的三角形是一个直角三角形，
点、是线段的勾股分割点．
设，则，
当为最大线段时，
依题意，
即，
解得；
当为最大线段时，
依题意，
即，
解得，
综上所述，或．
【解析】本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理是判断三角形是否是直角三角形的方法确定三角形是直角三角形后可以通过勾股定理求三角形的边长，属于中档题．
判断和是否相等即可；
需要分为斜边或为斜边两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解．
20.【答案】解：当，，，，
直角三角形有一边长为，
Ⅰ、当时，，解得：舍去；
Ⅱ、当时，即，代入得，，；
Ⅲ、当时，，解得：，
，
，代入得，，．
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为，或，．
【解析】由，得到 ，， ，根据直角三角形有一边长为，列方程即可得到结论．
本题考查了勾股数，分类讨论是解题的关键．
21.【答案】解：是边上高，
，
，
，
是直角三角形，
，，
，
，，
，
，
是直角三角形．
【解析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
利用勾股定理可求出，的长，即可求出的周长；
利用勾股定理的逆定理即可证明．