数学人教A版（2019）必修第一册3.2.1函数单调性（共15张ppt）

(共15张PPT)
3.2.1 函数单调性
观察下面各个函数的图象，说说图象有什么特点或变化规律？它们分别反映了函数的哪些性质？
图象从左到右保持递增
图象从左到右有增有减
问题导入
图象关于原点成中心对称
图象关于y轴对称
单调性、最大值或最小值、奇偶性
你能画出函数的图象，并描述函数有何变化趋势吗？
x
f(x)=x2
形
数
符号
在y轴右侧，从左向右，图象上升
x>0时，y随x的增大而增大
0在区间D上存在x1， x2，且x1< x2，有f(x1)< f(x2)，一定能保证函数图象在区间D上是上升的吗？
x
f(x)=x2
形
数
符号
在y轴右侧，从左向右，图象上升
x>0时，y随x的增大而增大
0任意
函数在区间上是单调递增的
活动：以小组的形式展开说说图象在轴左侧的性质.
单调递增 单调递减
定义
图示
注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.
单调性是局部性质
②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性.区间D叫做y=f(x)的单调区间。常数函数不具有严格的单调性.
归纳小结
x1，x2∈D, 当x1则称函数f(x)在区间D上单调递增,
区间D为f(x)的单调递增区间.
x1，x2∈D, 当x1f(x2),
则称函数f(x)在区间D上单调递减,
区间D为f(x)的单调递减区间.
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，
探求新知
5
思考1：函数f(x)=x2在定义域内是单调函数吗？
不是。并不是所有函数都有单调性，只有符合单调性定义的函数才有单调性。
即：函数在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。
思考2：函数定义域中对自变量的取值x1和x2有什么要求吗？
（1）任意性：即“
（2）有大小之分；
（3）属于同一个单调区间
思考3：(1)设是区间上某些自变量的值组成的集合，而且，当时，都有，我们能说函数在区间上单调递增吗？你能举例说明吗？
(2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？
探求新知
例1.根据定义，研究函数的单调性.
解：函数的定义域是.且，则
由，得，所以
①当时，.
于是，即.
这时，是增函数.
②当时，.
于是，即.
这时，是减函数.
题型一 判断（证明）函数的单调性）
归纳小结
证明函数单调性定义法的具体步骤：
1.取值:任取x1，x2∈D，且x12.作差:f(x1)－f(x2)；
3.变形:通常是因式分解和配方；
4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负；
5.结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.
例2.物理学中的玻意耳定律(为正常数)告诉我们，对于一定量气体，当其体积减小时，压强将增大.试对此用函数的单调性证明.
证明：且，则
由，得；由，得.
又，于是，即.
所以，根据函数单调性的定义，函数，是减函数.也就是说，当体积减小时，压强将增大.
题型一 判断（证明）函数的单调性）
例3：根据定义证明函数在区间上单调递增.
证明：
(
所以，
又由，得
于是
所以，函数在区间上单调递增.
题型一 判断（证明）函数的单调性）
说明：
1.单调区间是函数定义域的子集。
2.单调区间是单调增区间和单调减区间的统称。
3.求出单调区间后，若单调区间不唯一，中间可用“,”“和”隔开.
例4：如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间
解析：单调增区间是；
单调减区间是。
题型二 图像法判断函数单调性、单调区间
例5.画出函数 的图象，并指出函数的单调区间.
解：函数图象如图所示：
由图知，函数的增区间为：
函数的减区间为：
图象法求函数单调区间的步骤：
（1）作图；
（2）结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间.
题型二 图像法判断函数单调性、单调区间
变式.将例2中的 改为,则如何求解.
（解答思路同例2）
图象法求函数单调区间的步骤：
（1）作图；
（2）结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间.
题型二 图像法判断函数单调性、单调区间
作业：
1.整理复习课上例题；
2.课本85--86，习题3.2 第1,2,3，8题.
小结：
1.函数单调性的定义；
2.函数单调性的判断（定义法、图象法）；
课堂小结