数学人教A版（2019）必修第一册4.1指数（共34张ppt）

(共34张PPT)
4.1 指数
4.1.1 次方根与分数指数幂
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
第四章 指数函数与对数函数
情境引入
良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，1936年首次发现.这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑.考古学家利用遗址中遗存物碳14的残留测定，古城存在时期为公元前3300年——前2300年.你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？
实际上，考古学家所用的数学知识就是本章即将要学的指数函数.为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.
情境导入
初中已经学习过整数指数幂.在学习幂函数时，我们把正方形的边长关于面积的函数记作.像这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义展开研究.
叫做的平方根.例如，就是4的平方根.
叫做的立方根.例如，就是8的立方根.
叫做16的四次方根.例如，2叫做32的五次方根.
探索新知
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
例如，，.
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示表示，负的次方根用符号表示表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.
例如，，，
探索新知
任何数连续偶数次相乘后，一定会得正数或0，因此，负数没有偶次方根.
0的任何次方根都是0，记作
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.
根据次方根的意义，可得：
例如，
探索新知
问题1：表示的次方根，一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么呢？
例如，
可以得到：
当为奇数时，；
当为偶数时，
例析
例1.求下列各式的值：
(1) (2) ; (3); (4).
解：(1)；
(2)；
(3)；
(4)
当为奇数时，；
当为偶数时，
探索新知
根据次方根的定义和数的运算，我们知道：
这就是说，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.
问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？
探索新知
把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把，等写成下列形式：
我们希望整数指数幂的性质，如对分数指数幂仍然适用.
探索新知
由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是
.
于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，
.
例如，，.
探索新知
与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定，
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
规定了分数指数幂的意义后，幂中指数的取值范围就从整数拓展到了有理数.
(1);
(2);
(3)
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数均有下面的运算性质.
例析
例2.求值：
(1)
解：(1)
(2)
例析
例3.用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中）
(1)
解：(1)
(2)
例析
例4.计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)；
(2)；
解：(1)
(2)
例析
例4.计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)；
(2)；
解：(1)
(2)
例析
(3)()
例4.计算下列各式(式中字母均是正数)：
(3)().
探索新知
上面我们将中指数的范围从整数拓展到了有理数.那么，当指数是无理数时，的意义是什么？它是确定的一个数吗？如果是，那么它有什么运算性质？
在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数.类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.
活动1：根据的不足近似值和过剩近似值(如下表)，利用计算工具计算相应的，的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？
探索新知
可以发现，当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，和都趋向于同一个数，这个数就是.也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂，
探索新知
和另一串逐渐减小的有理数指数幂，逐步逼近的结果，它是一个确定的实数.这个过程可以用下图表示.
探索新知
参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如，说明它也是一个确定的实数吗？
一般地，无理数指数幂为无理数是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数.实数指数幂是一个确定的实数.整数指数幂的运算性质也适应于实数指数幂，即对于任意实数均有下面的运算性质.
(1);
(2);
(3)
练习
题型一：根式的化简与求值
例1.化简：
(1)(2)
(3).
解：(1)
(2)显然，有意义，所以.
即
(3)
练习
方法技巧：
1.有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.
2.有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.
3.在含有多个绝对值的式子中，常利用零点分段法，结合数轴完成，去绝对值.
练习
变2.设,求的值.
解：原式,
而∴分情况讨论：
当时，原式；
当时，原式.
综上，
练习
题型二：根式与分数指数幂的互化
例2.将下列根式化成分数指数幂形式.
解：(1)
(2).
(3)
(4)
练习
方法技巧：
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加.
(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
练习
变2.用分数指数幂表示下列各式：
解：(1)
(2)；
(3)
练习
题型三：指数幂的化简与求值
例3.计算下列各式（式中字母都是正数）.
.
解：(1)原式
(2)原式；
(3)原式
练习
方法技巧：
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加.
(2)运算的先后顺序.
2.当底数是具体实数时，无论是小数还是分数，都先改写成分数指数幂的形式，再结合着指数幂的运算法则来解决问题.
练习
变3.化简或计算下列各式：
解：(1)原式
(2)原式
练习
例4.已知，求下列各式的值：
题型四：含条件的求值问题
解：将两边同时平方，得：.
(1)
(2)将两边同时平方，得：.∴
(3)
练习
方法技巧：
条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程.
练习
变4.若等于（ ）.
A.0 B. C. D.
解：将两边同时平方，得：.
又，∴.
∴
课堂小结&作业
小结：
1.的值.
2.指数幂的运算性质.
作业：
1.P107 练习1.2.3题；
2.P109 练习1题&习题4.1 1--5题.
谢谢学习
Thank you for learning