三角部分易错题选
一、选择题：
1．（如中）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A 向右平移 B 向右平移 C 向左平移 D向左平移
错误分析:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误.
答案: B
2．（如中）函数的最小正周期为 ( )
A B C D
错误分析:将函数解析式化为后得到周期,而忽视了定义域的限制,导致出错.
答案: B
3．(石庄中学) 曲线y=2sin(x+cos(x-)和直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1、P2、P3……，则(P2P4(等于 （ ） A．( B．2( C．3( D．4(
正确答案：A 错因：学生对该解析式不能变形，化简为Asin(x+)的形式，从而借助函数图象和函数的周期性求出(P2P(。
4．(石庄中学)下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+),其中以点(,0)为中心对称的三角函数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
正确答案：D 错因：学生对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握。
5．(石庄中学)函数y=Asin((x+()((>0,A(0)的图象与函数y=Acos((x+()((>0, A(0)的图象在区间(x0,x0+)上（ ）
A．至少有两个交点 B．至多有两个交点
C．至多有一个交点 D．至少有一个交点
正确答案：C 错因：学生不能采用取特殊值和数形结合的思想方法来解题。
6．(石庄中学) 在(ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则(C的大小应为( )
A． B． C．或 D．或
正确答案：A 错因：学生求(C有两解后不代入检验。
7．已知tan( tan(是方程x2+3x+4=0的两根，若(，(((-)，则(+(=（ ）
A． B．或- C．-或 D．-
正确答案：D 错因：学生不能准确限制角的范围。
8．（搬中） 若，则对任意实数的取值为（ ）
A. 1 B. 区间（0，1）
C. D. 不能确定
解一：设点，则此点满足
解得或
即
选A
解二：用赋值法，
令
同样有
选A
说明：此题极易认为答案A最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C或D。
9．（搬中） 在中，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
解：由平方相加得
若
则
又
选A
说明：此题极易错选为，条件比较隐蔽，不易发现。这里提示我们要注意对题目条件的挖掘。
10．（城西中学）中,、、C对应边分别为、、.若,,,且此三角形有两解,则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
正确答案：A
错因：不知利用数形结合寻找突破口。
11．（城西中学）已知函数 y=sin(x+)与直线y＝的交点中距离最近的两点距离为，那么此函数的周期是（ ）
A B C 2 D 4
正确答案：B
错因：不会利用范围快速解题。
12．（城西中学）函数为增函数的区间是………………………… ( )
A. B. C. D.
正确答案：C
错因：不注意内函数的单调性。
13．（城西中学）已知且，这下列各式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
正确答案(D)
错因:难以抓住三角函数的单调性。
14．（城西中学）函数的图象的一条对称轴的方程是（）
正确答案A
错因：没能观察表达式的整体构造，盲目化简导致表达式变繁而无法继续化简。
15．（城西中学）ω是正实数，函数在上是增函数，那么（ ）
A． B． C． D．
正确答案A
错因：大部分学生无法从正面解决，即使解对也是利用的特殊值法。
16．（一中）在(0，2π)内，使cosx＞sinx＞tanx的成立的x的取值范围是 （ ）
A、 () B、 () C、（） D、()
正确答案：C
17．（一中）设，若在上关于x的方程有两个不等的实根，则为
A、或 B、 C、 D、不确定
正确答案：A
18．（蒲中）△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（ ）
A、 B、 C、或 D、
答案：A
点评：易误选C。忽略对题中隐含条件的挖掘。
19．（蒲中）在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为（ ）
A、 B、 C、或 D、或
答案：A
点评：易误选C，忽略A+B的范围。
20．（蒲中）设cos1000=k，则tan800是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：B
点评：误选C，忽略三角函数符号的选择。
21．（江安中学）已知角的终边上一点的坐标为（），则角的最小值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
正解：D
，而
所以，角的终边在第四象限，所以选D，
误解：,选B
22．（江安中学）将函数的图像向右移个单位后，再作关于轴的对称变换得到的函数的图像，则可以是（ ）。
A、 B、 C、 D、
正解：B
,作关于x轴的对称变换得,然后向左平移个单位得函数 可得
误解：未想到逆推，或在某一步骤时未逆推，最终导致错解。
23．（江安中学）A，B，C是ABC的三个内角，且是方程的两个实数根，则ABC是（ ）
A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
正解：A
由韦达定理得：
在中，
是钝角，是钝角三角形。
24．（江安中学）曲线为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）。
A、 B、 C、1 D、
正解：D。
由于所表示的曲线是圆，又由其对称性，可考虑的情况，即
则∴
误解：计算错误所致。
25．（丁中）在锐角⊿ABC中，若，，则的取值范围为（ ）
A、 B、 C、 D、
错解: B.
错因:只注意到而未注意也必须为正.
正解: A.
26．（丁中）已知，（），则 （C）
A、 B、 C、 D、
错解：A
错因：忽略，而不解出
正解：C
27．（丁中）先将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （ ）
A．y=sin(－2x+ ) B． y=sin(－2x－)
C．y=sin(－2x+ ) D． y=sin(－2x－)
错解：B
错因：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度时，写成了
正解：D
28．（丁中）如果，那么的取值范围是（ ）
A．， B．， C．，， D．，，
错解: D．
错因:只注意到定义域,而忽视解集中包含.
正解: B．
29．（薛中）函数的单调减区间是（ ）
A、 （） B、
C、 D、
答案：D
错解：B
错因：没有考虑根号里的表达式非负。
30．（薛中）已知的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：A设，可得sin2x sin2y=2t,由。
错解：B、C
错因：将由
选B，相减时选C，没有考虑上述两种情况均须满足。
31．（薛中）在锐角ABC中，若C=2B，则的范围是（ ）
A、（0，2） B、 C、 D、
答案：C
错解：B
错因：没有精确角B的范围
40．（案中）函数 （ ）
A、3 B、5 C、7 D、9
正确答案：B
错误原因：在画图时，0＜＜时，＞意识性较差。
41．（案中）在△ABC中，则∠C的大小为 （ ）
A、30° B、150° C、30°或150° D、60°或150°
正确答案：A
错误原因：易选C，无讨论意识，事实上如果C=150°则A=30°∴，∴＜＜6和题设矛盾
42．（案中） （ ）
A、 B、 C、 D、
正确答案：C
错误原因：利用周期函数的定义求周期，这往往是容易忽视的，本题直接检验得
43．（案中） （ ）
A、 B、 C、 D、
正确答案：B
错误原因：忽视三角函数定义域对周期的影响。
44．（案中）已知奇函数等调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ）
A、f(cosα)＞ f(cosβ) B、f(sinα)＞ f(sinβ)
C、f(sinα)＜f(cosβ) D、f(sinα)＞ f(cosβ)
正确答案：（C）
错误原因：综合运用函数的有关性质的能力不强。
45．（案中）设那么ω的取值范围为（ ）
A、 B、 C、 D、
正确答案：(B)
错误原因：对三角函数的周期和单调性之间的关系搞不清楚。
二填空题：
1．（如中）已知方程（a为大于1的常数）的两根为，，
且、，则的值是_________________.
错误分析：忽略了隐含限制是方程的两个负根，从而导致错误.
正确解法： ，
是方程的两个负根
又 即
由===可得
答案: -2 .
2．（如中）已知,则的取值范围是_______________.错误分析:由得代入中,化为关于的二次函数在上的范围,而忽视了的隐含限制,导致错误.
答案: .
略解: 由得
将（1）代入得=.
3．（如中）若,且,则_______________.
错误分析:直接由,及求的值代入求得两解,忽略隐含限制出错.
答案: .
4．（搬中）函数的最大值为3，最小值为2，则______，_______。
解：若
则
若
则
说明：此题容易误认为，而漏掉一种情况。这里提醒我们考虑问题要周全。
5．(磨中)若Sin cos，则α角的终边在第_____象限。
正确答案：四
错误原因：注意角的范围，从而限制α的范围。
6．（城西中学）在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为_________.
正确答案：
错因：看不出是两角和的正切公式的变形。
7．（一中）函数的值域是 ．
正确答案：
8．（一中）若函数的最大值是1，最小值是，则函数的最大值是 ．正确答案：5
9．（一中）定义运算为:例如，,则函数f(x)=的值域为 ．正确答案：
10．（蒲中）若，α是第二象限角，则=__________
答案：5
点评：易忽略的范围，由得=5或。
11．（蒲中）设ω>0，函数f(x)=2sinωx在上为增函数，那么ω的取值范围是_____
答案：0<ω≤
点评：
12．（蒲中）在△ABC中，已知a=5，b=4，cos(A－B)=，则cosC=__________
答案：
点评：未能有效地运用条件构造三角形运用方程思想实施转化。
13．（江安中学）在中，已知，b，c是角A、B、C的对应边，则①若，则在R上是增函数；②若，则ABC是；③的最小值为；④若，则A=B；⑤若，则，其中错误命题的序号是_____。
正解：错误命题③⑤。
①
②。
③
显然。
④
(舍) ，。
⑤
错误命题是③⑤。
误解：③④⑤中未考虑，④中未检验。
14．（江安中学）已知，且为锐角，则的值为_____。
正解：，令得代入已知，可得
误解：通过计算求得计算错误.
15．（江安中学）给出四个命题：①存在实数，使；②存在实数，使；③是偶函数；④是函数的一条对称轴方程；⑤若是第一象限角，且，则。其中所有的正确命题的序号是_____。
正解：③④
不成立。
不成立。
是偶函数，成立。
将代入得,是对称轴，成立。
若，但，不成立。
误解：①②没有对题目所给形式进行化简，直接计算，不易找出错误。
⑤没有注意到第一象限角的特点，可能会认为是的角，从而根据做出了错误的判断。
16．（丁中）函数的最小正周期是
错解：
错因：与函数的最小正周期的混淆。
正解：
17．（丁中）设=tan成立，则的取值范围是_______________
错解：
错因：由tan不考虑tan不存在的情况。
正解：
18．（丁中）①函数在它的定义域内是增函数。
②若是第一象限角，且。
③函数一定是奇函数。
④函数的最小正周期为。
上述四个命题中，正确的命题是 ④
错解：①②
错因：忽视函数是一个周期函数
正解：④
19．（丁中）函数f(x)=的值域为______________。
错解：
错因：令后忽视,从而
正解：
20．（丁中）若2sin2α的取值范围是
错解：
错因：由其中，得错误结果；由
得或结合（1）式得正确结果。
正解：[0 , ]
21．（薛中）关于函数有下列命题，y=f(x)图象关于直线对称 y=f(x)的表达式可改写为 y=f(x)的图象关于点对称 由必是的整数倍。其中正确命题的序号是 。
答案：
错解：
错因：忽视f(x) 的周期是，相邻两零点的距离为。
22．（薛中）函数的单调递增区间是 。
答案：
错解：
错因：忽视这是一个复合函数。
23．（案中）
。
正确答案：
错误原因：两角和的正切公式使用比较呆板。
24．（案中）是 。
正确答案：
错误原因：如何求三角函数的值域，方向性不明确
三、解答题：
1．（石庄中学）已知定义在区间[-(，] 上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -对称，当x([-，]时，函数f(x)=Asin((x+()(A>0, (>0,-<(<)，其图象如图所示。
(1)求函数y=f(x)在[-(，]的表达式；
(2)求方程f(x)=的解。
解：(1)由图象知A=1，T=4()=2(，(=
在x([-，]时
将(，1)代入f(x)得
f()=sin(+()=1
∵-<(<
∴(=
∴在[-，]时
f(x)=sin(x+)
∴y=f(x)关于直线x=-对称
∴在[-(，-]时
f(x)=-sinx
综上f(x)=
(2)f(x)=
在区间[-，]内
可得x1= x2= -
∵y=f(x)关于x= - 对称
∴x3=- x4= -
∴f(x)=的解为x({-,-,-,}
2．（搬中） 求函数的相位和初相。
解：
原函数的相位为，初相为
说明：部分同学可能看不懂题目的意思，不知道什么是相位，而无从下手。应将所给函数式变形为的形式（注意必须是正弦）。
3．（搬中） 若，求的取值范围。
解：令，则有
说明：此题极易只用方程组（1）中的一个条件，从而得出或。原因是忽视了正弦函数的有界性。另外不等式组（2）的求解中，容易让两式相减，这样做也是错误的，因为两式中的等号成立的条件不一定相同。这两点应引起我们的重视。
4．（搬中）求函数的定义域。
解：由题意有
当时，；
当时，；
当时，
函数的定义域是
说明：可能会有部分同学认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数。
5 ．（搬中）已知，求的最小值及最大值。
解：
令
则
而对称轴为
当时，；
当时，
说明：此题易认为时，，最大值不存在，这是忽略了条件不在正弦函数的值域之内。
6．（搬中）若，求函数的最大值。
解：
当且仅当
即时，等号成立
说明：此题容易这样做：
，但此时等号成立的条件是，这样的是不存在的。这是忽略了利用不等式求极值时要平均分析的原则。
7．（搬中） 求函数的最小正周期。
解：函数的定义域要满足两个条件；
要有意义且
，且
当原函数式变为时，
此时定义域为
显然作了这样的变换之后，定义域扩大了，两式并不等价
所以周期未必相同，那么怎么求其周期呢？首先作出的图象：
而原函数的图象与的图象大致相同
只是在上图中去掉所对应的点
从去掉的几个零值点看，原函数的周期应为
说明：此题极易由的周期是而得出原函数的周期也是，这是错误的，原因正如上所述。那么是不是说非等价变换周期就不同呢？也不一定，如1993年高考题：函数的最小正周期是（ ）。A. B. C. D. 。此题就可以由的周期为而得原函数的周期也是。但这个解法并不严密，最好是先求定义域，再画出图象，通过空点来观察，从而求得周期。
8．(磨中)已知Sinα= Sinβ=，且α，β为锐角，求α+β的值。
正确答案：α+β=
错误原因：要挖掘特征数值来缩小角的范围
9．(磨中)求函数y=Sin(—3x)的单调增区间：
正确答案：增区间[]（）
错误原因：忽视t=—3x为减函数
10．(磨中)求函数y=的最小正周期
正确答案：最小正周期π
错误原因：忽略对函数定义域的讨论。
11．(磨中)已知Sinx+Siny=，求Siny—cos2x的最大值。
正确答案：
错误原因：挖掘隐含条件
12．（丁中）（本小题满分12分）
设,已知时有最小值-8。
(1)、求与的值。（2）求满足的的集合A。
错解：，当时，得
错因：没有注意到应是时，取最大值。
正解：，当时，得
13．（薛中）求函数的值域
答案：原函数可化为设则则，
当
错解：
错因：不考虑换元后新元t的范围。
14．（蒲中）已知函数f(x)=－sin2x+sinx+a，（1）当f(x)=0有实数解时，求a的取值范围；（2）若x∈R，有1≤f(x)≤，求a的取值范围。
解：（1）f(x)=0，即a=sin2x－sinx=(sinx－)2－
∴当sinx=时，amin=，当sinx=－1时，amax=2，
∴a∈[，2]为所求
（2）由1≤f(x)≤得
∵ u1=sin2x－sinx++4≥4
u2=sin2x－sinx+1=≤3
∴ 3≤a≤4
点评：本题的易错点是盲目运用“△”判别式。
15．（江安中学）已知函数≤≤是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间[0，]上是单调函数，求和的值。
正解：由是偶函数，得
故
对任意x都成立，且
依题设0≤≤，
由的图像关于点M对称，得
取
又，得
当时，在上是减函数。
当时，在上是减函数。
当≥2时，在上不是单调函数。
所以，综合得或。
误解：①常见错误是未对K进行讨论，最后只得一解。
②对题目条件在区间上是单调函数，不进行讨论，故对≥不能排除。
高考数学复习易做易错题选
函数、导数部分
一、选择题：
1、已知函数，，那么集合中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 1或2
2、已知函数的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数的定义域和值域分别是（ ）
A. [0，1] ，[1，2] B. [2，3] ，[3，4] C. [-2，-1] ，[1，2] D. [-1，2] ，[3，4]
3、已知0＜＜1，＜-1，则函数的图象必定不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4、将函数的图象向左平移一个单位得到图象，再将向上平移一个单位得图象，作出关于直线对称的图象，则对应的函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
5、已知函数在其定义域上单调递减，则函数的单调减区间是（ ）
A. B. C. D.
6、函数在下面的哪个区间上是增函数（ ）
A. B. C. D.
7、设，、，且＞，则下列结论必成立的是（ ）
A. ＞ B. +＞0 C. ＜ D. ＞
8、方程和的根分别是、，则有（ ）
A. ＜ B. ＞ C. = D. 无法确定与的大小
9、若、是关于的方程（）的两个实根，则的最大值等于（ ）
A. 6 B. C. 18 D. 19
10、若与在上都是减函数，对函数的单调性描述正确的是（ ）
A. 在上是增函数 B. 在上是增函数
C. 在上是减函数 D. 在上是增函数，在上是减函数
11、已知奇函数在上单调递减，且，则不等式＞0的解集是（ ）
A. B. C. D.
12、不等式≤在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
13、方程至少有一个负的实根的充要条件是（ ）
A. 0<≤1 B. ＜1 C.≤1 D. 0<≤1或< 0
14、在同一坐标系中，函数与（>0且≠1）的图象可能是
（A） （B）
（C） （D）
15、函数是上的奇函数，满足，当∈（0，3）时，则当∈（，）时， =（ ）
A. B. C. D.
16、函数的图象关于原点中心对称，则
A. 在上为增函数
B. 在上为减函数
C. 在上为增函数，在上为减函数
D. 在上为增函数，在上为减函数
17、且＜0，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
18、二次函数满足，又，，若在[0，]上有最大值3，最小值1，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. [2,4]
19、已知函数的图象如图所示，
则 （ ）
A. B.
C. D. 0 1 2
20、设，，，则的面积是 （ ）
A. 1 B. C. 4 D. 4
二、填空题：
21、函数（＞-4）的值域是____________________.
22、函数的值域是________________________.
23、函数的值域是_________________________.
24、若实数满足，则=_____________________.
25、设定义在区间上的函数是奇函数，则实数的值是_______________________.
26、函数（<-1）的反函数是_______________________.
27、函数在（1，+）上是增函数，则实数的取值范围是____________________.
28、已知集合，集合，若，则实数的取值范围是________________________.
29、已知函数是定义在R上的偶函数，当＜0时， 是单调递增的，则不等式＞的解集是_________________________.
30、已知对任意都有意义，则实数的取值范围是________________________________
31、函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是______________________.
32、函数的值域是______________________.
33、对于任意，函数表示，，中的较大者，则
的最小值是____________________________.
34、已知＞1，＞＞0，若方程的解是，则方程的解是____________________.
35、已知函数（≠0）在区间上的最大值为1，则实数
的值是____________________.
36、对于任意实数、，定义运算*为：*=，其中、、为常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算，现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零常数，使得对于任意实数，都有*=，则=___________________________________.
37、已知函数的定义域为，则实数的取值范围是________________________.
38、若函数（>0且≠1）的值域为，则实数的取值范围是________________.
39、若曲线与有且只有一个公共点，为坐标原点，则
的取值范围是________________________.
40、若定义在区间上的函数对上的任意个值，，…，，总满足≤，则称为上的凸函数.已知函数在区间上是“凸函数”，则在△中，的最大值是____________________.
答案：1 C 、 2 C 、3 A 、4 B 、5 D 、6 B 、7 D 、8 A 、9 C 、10 C 、11 B 、12 C 、13 C、14 C 、15 B 、 16 B 、17 A 、18 D 、19 A 、20 B 、
21 、 22、 23、 24 10、 25 2、 26 27、 28、 29、 30、 31 32、 33 2、 34 、35 或、 36 4、 37 或 、 38 或、 39 、40 。
高考数学复习易做易错题选
平面向量
一、选择题：
1．（如中）在中,,则的值为 ( )
A 20 B C D
错误分析:错误认为,从而出错.
答案: B
略解: 由题意可知,
故=.
2．（如中）关于非零向量和，有下列四个命题：
（1）“”的充要条件是“和的方向相同”；
（2）“” 的充要条件是“和的方向相反”；
（3）“” 的充要条件是“和有相等的模”；
（4）“” 的充要条件是“和的方向相同”；
其中真命题的个数是 （ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
错误分析:对不等式的认识不清.
答案: B.
3．(石庄中学)已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P线段AB上且 =t (0≤t≤1)则· 的最大值为 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当(OP(cos(最大时，· 即为最大。
4．(石庄中学)若向量 =(cos(,sin() ， =， 与不共线，则与一定满足（ ）
A． 与的夹角等于(-( B．∥
C．(+)((-) D． ⊥
正确答案：C 错因：学生不能把、的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。
5．(石庄中学)已知向量 =(2cos(，2sin()，((()， =（0,-1)，则 与 的夹角为( )
A．-( B．+( C．(- D．(
正确答案：A 错因：学生忽略考虑与夹角的取值范围在[0，(]。
6．(石庄中学)O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若( -)·(+-2)=0，则(ABC是（ ）
A．以AB为底边的等腰三角形 B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形 D．以BC为斜边的直角三角形
正确答案：B 错因：学生对题中给出向量关系式不能转化：2不能拆成(+)。
7．(石庄中学)已知向量M={ ( =(1,2)+((3,4) ((R}， N={(=(-2,2)+ ((4,5) ((R }，则M(N=（ ）
A ｛（1，2）｝ B C D
正确答案：C 错因：学生看不懂题意，对题意理解错误。
8．已知，，若，则△ABC是直角三角形的概率是（ C ）
A． B． C． D．
分析：由及知，若垂直，则；若与垂直，则，所以△ABC是直角三角形的概率是.
9．(磨中)设a0为单位向量，（1）若a为平面内的某个向量，则a=|a|·a0;(2)若a与a0平行，则a=|a|·a0；（3）若a与a0平行且|a|=1，则a=a0。上述命题中，假命题个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
正确答案：D。
错误原因：向量的概念较多，且容易混淆，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。
10．(磨中)已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，则a·b= 。
正确答案：。±15。
错误原因：容易忽视平行向量的概念。a、b的夹角为0°、180°。
11．(磨中)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
,则P的轨迹一定通过△ABC的( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
正确答案：B。
错误原因：对理解不够。不清楚
与∠BAC的角平分线有关。
12．(磨中)如果，那么 （ ） A． B． C． D．在方向上的投影相等
正确答案：D。
错误原因：对向量数量积的性质理解不够。
13．（城西中学）向量＝（3，4）按向量a=(1,2)平移后为 （ ）
A、（4，6） B、（2，2） C、（3，4） D、（3，8）
正确答案： C
错因：向量平移不改变。
14．（城西中学）已知向量则向量的夹角范围是（ ）
A、[π/12，5π/12] B、[0，π/4] C、[π/4，5π/12] D、 [5π/12，π/2]
正确答案：A
错因：不注意数形结合在解题中的应用。
15．（城西中学）将函数y=2x的图象按向量 平移后得到y=2x+6的图象，给出以下四个命题：① 的坐标可以是（-3，0） ②的坐标可以是（-3，0）和（0，6） ③的坐标可以是（0，6） ④的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是 （ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
正确答案：D
错因：不注意数形结合或不懂得问题的实质。
16．（城西中学）过△ABC的重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,若 ,(),则的值为( )
A 4 B 3 C 2 D 1
正确答案：A
错因：不注意运用特殊情况快速得到答案。
17．（蒲中）设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
点评：易误选C，错因：忽视与反向的情况。
18．（蒲中）设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（ ）
① 存在一个实数λ，使=λ或=λ； ② |·|=|| ||；
③ ； ④ (+)//(－)
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
答案：C
点评：①②④正确，易错选D。
19．（江安中学）以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使，则的坐标为（ ）。
A、（2，-5） B、（-2，5）或（2，-5）
C、（-2，5） D、（7，-3）或（3，7）
正解：B
设，则由 ①
而又由得 ②
由①②联立得。
误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。
20．（江安中学）设向量，则是的（ ）条件。
A、充要 B、必要不充分
C、充分不必要 D、既不充分也不必要
正解：C
若则，若，有可能或为0，故选C。
误解：，此式是否成立，未考虑，选A。
21．（江安中学）在OAB中，，若=-5，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
正解：D。
∵∴（LV为与的夹角）
∴∴∴
误解：C。将面积公式记错，误记为
22．（丁中）在中，，，有，则的形状是 （D）
锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
错解：C
错因：忽视中与的夹角是的补角
正解：D
23．（丁中）设平面向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 （A）
A、 B、（2，+ C、（— D、（-
错解：C
错因：忽视使用时，其中包含了两向量反向的情况
正解：A
24．（薛中）已知A（3，7），B（5，2），向量平移后所得向量是 。
A、（2，-5）， B、（3，-3）， C、（1，-7） D、以上都不是
答案：A
错解：B
错因：将向量平移当作点平移。
25．（薛中）已知中， 。
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
答案：C
错解：A或D
错因：对向量夹角定义理解不清
26．（案中）正三角形ABC的边长为1，设，那么的值是 （ ）
A、 B、 C、 D、
正确答案：(B)
错误原因：不认真审题，且对向量的数量积及两个向量的夹角的定义模糊不清。
27．（案中）已知，且，则 （ ）
A、相等 B、方向相同 C、方向相反 D、方向相同或相反
正确答案：(D)
错误原因：受已知条件的影响，不去认真思考可正可负，易选成B。
28．（案中）已知是关于x的一元二次方程，其中是非零向量，且向量不共线，则该方程 （ ）
A、至少有一根 B、至多有一根
C、有两个不等的根 D、有无数个互不相同的根
正确答案：(B)
错误原因：找不到解题思路。
29．（案中）设是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：
① ②
③ ④若不平行
其中正确命题的个数是
（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
正确答案：(B)
错误原因：本题所述问题不能全部搞清。
二填空题：
1．（如中）若向量=，=，且，的夹角为钝角，则的取值范围是______________.
错误分析：只由的夹角为钝角得到而忽视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的范围,导致错误.
正确解法: ，的夹角为钝角,
解得或 (1)
又由共线且反向可得 (2)
由(1),(2)得的范围是
答案: .
2．（一中）有两个向量，，今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为．设、在时刻秒时分别在、处，则当时， 秒．正确答案：2
（薛中）1、设平面向量若的夹角是钝角，则的范围是 。
答案：
错解：
错因：“”与“的夹角为钝角”不是充要条件。
3．（薛中）是任意向量，给出：，方向相反，都是单位向量，其中 是共线的充分不必要条件。
答案：
错解：
错因：忽略方向的任意性，从而漏选。
4．（案中）若上的投影为 。
正确答案：
错误原因：投影的概念不清楚。
5．（案中）已知o为坐标原点，集合,且 。
正确答案：46
错误原因：看不懂题意，未曾想到数形结合的思想。
三、解答题：
1．（如中）已知向量,且求
(1) 及;
(2)若的最小值是,求实数的值.
错误分析:(1)求出=后,而不知进一步化为,人为增加难度;
(2)化为关于的二次函数在的最值问题,不知对对称轴方程讨论.
答案: (1)易求, = ;
(2) ==
=
从而:当时,与题意矛盾, 不合题意;
当时, ;
当时,解得,不满足;
综合可得: 实数的值为.
2．（如中）在中,已知,且的一个内角为直角,求实数的值.
错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.
答案: (1)若即
故,从而解得;
(2)若即,也就是,而故,解得;
(3)若即,也就是而,故,解得
综合上面讨论可知,或或
3．（石庄中学）已知向量m=(1,1)，向量与向量夹角为，且·=-1，
(1)求向量；
(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C为(ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求(+(的取值范围。
解：(1)设=(x,y)
则由<,>=得：cos<,>== ①
由·=-1得x+y=-1 ②
联立①②两式得或
∴=(0,-1)或(-1,0)
(2) ∵<,>=
得·=0
若=(1,0)则·=-1(0
故((-1,0) ∴=(0,-1)
∵2B=A+C，A+B+C=(
(B= ∴C=
+=(cosA,2cos2)
=(cosA,cosC)
∴(+(===
=
=
=
=
∵0
∴0<2A<
∴-1∴(+((()
4．（石庄中学）已知函数f(x)=m(x-1((m(R且m(0)设向量)，，，，当(((0，)时，比较f()与f()的大小。
解：=2+cos2(，=2sin2(+1=2-cos2(
f()=m(1+cos2((=2mcos2(
f()=m(1-cos2((=2msin2(
于是有f()-f()=2m(cos2(-sin2()=2mcos2(
∵(((0,) ∴2(((0, ) ∴cos2(>0
∴当m>0时，2mcos2(>0，即f()>f()
当m<0时，2mcos2(<0，即f()5．（石庄中学）已知(A、(B、(C为(ABC的内角，且f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2
(1)当f(A、B)取最小值时，求(C
(2)当A+B=时，将函数f(A、B)按向量平移后得到函数f(A)=2cos2A求
解：(1) f(A、B)=(sin22A-sin2A+)+(cos22B-cos2B+)+1
=(sin2A-)2+(sin2B-)2+1
当sin2A=,sin2B=时取得最小值，
∴A=30(或60(，2B=60(或120( C=180(-B-A=120(或90(
(2) f(A、B)=sin22A+cos22()-
=
=
=
6．（石庄中学）已知向量（m为常数），且,不共线，若向量,的夹角落< , >为锐角，求实数x的取值范围.
解：要满足<>为锐角
只须>0且（）
=
=
=
即 x (mx-1) >0
1°当 m > 0时
x<0 或
2°m<0时
x ( -mx+1) <0
3°m=0时 只要x<0
综上所述：x > 0时，
x = 0时，
x < 0时，
7．(磨中)已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a与b之间有关系|ka+b|=|a－kb|，其中k>0，
（1）用k表示a·b;
（2）求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小。
解 （1）要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用两边平方，得
|ka+b|2=(|a－kb|)2
k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)
∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2
a·b =
∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，
∴a2=1, b2=1,
∴a·b ==
（2）∵k2+1≥2k，即≥=
∴a·b的最小值为，
又∵a·b =| a|·|b |·cos，|a|=|b|=1
∴=1×1×cos。
∴=60°,此时a与b的夹角为60°。
错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a·b或|a|2+|b|2+2a·b。
8．（一中）已知向量，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，且，求的值．
解（Ⅰ）,
.
, ,
即 . .
（Ⅱ）
，
，
.
高考数学复习易做易错题选
数列部分
一、选择题：
1．（石庄中学）设s是等差数列｛a｝的前n项和，已知s=36, s=324, s=144 (n>6),则n=( )
A 15 B 16 C 17 D 18
正确答案：D 错因：学生不能运用数列的性质计算a+a=
2．（石庄中学）已知s是等差数列｛a｝的前n项和，若a+a+a是一个确定的常数，则数列｛s｝中是常数的项是（ ）
A s B s C s D s
正确答案: D 错因：学生对等差数列通项公式的逆向使用和等差数列的性质不能灵活应用。
3．（石庄中学）设｛a｝是等差数列，｛b｝为等比数列，其公比q≠1, 且b＞0(i=1、2、3 …n) 若a=b,a=b则 ( )
A a=b B a＞b C a＜b D a＞b或 a＜b
正确答案 B 错因：学生不能灵活运用等差中项和等比中项的定义及基本不等式。
4．（石庄中学）已知非常数数列｛a｝，满足 a-aa+a=0且a≠a, i=1、2、3、…n,对于给定的正整数n,a=a,则等于（ ）
A 2 B -1 C 1 D 0
正确答案：D 错因：学生看不懂题目，不能挖掘题目的隐含条件，｛a｝的项具有周期性。
5．（石庄中学）某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（ ）．
A a(1+p) B a(1+p) C D ]
正确答案：D 错因： 学生对存款利息的计算方法没掌握。
6．（搬中）一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（ ）
A. 22 B. 21 C. 19 D. 18
解：设该数列有项
且首项为，末项为，公差为
则依题意有
可得
代入(3)有
从而有
又所求项恰为该数列的中间项，
故选D
说明：虽然依题意只能列出3个方程，而方程所涉及的未知数有4个，但将作为一个整体，问题即可迎刃而解。在求时，巧用等差中项的性质也值得关注。知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解。
7．（搬中）是成等比数列的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解：不一定等比
如
若成等比数列
则
选D
说明：此题易错选为A或B或C，原因是等比数列中要求每一项及公比都不为零。
8．(磨中)已知Sk表示{an}的前K项和，Sn—Sn+1=an（n∈N+），则{an}一定是_______。
A、等差数列 B、等比数列 C、常数列 D、以上都不正确
正确答案：D
错误原因：忽略an=0这一特殊性
9．(磨中)已知数列—1，a1，a2，—4成等差数列,—1，b1,b2,b3,—4成等比数列，则的值为___________。
A、 B、— C、或— D、
正确答案：A
错误原因：忽略b2为等比数列的第三项，b2符号与—1、—4同号
10．(磨中)等比数列{an}的公比为q，则q＞1是“对于任意n∈N+”都有an+1＞an的_______条件。
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
正确答案：D
错误原因：忽略a1与q共同限制单调性这一特性
11．（城西中学）数列的前n项和为s=n2+2n-1，
则a1+a3+a5+……+a25=( )
A 350 B 351 C 337 D 338
正确答案：A
错因：不理解该数列从第二项起向后成等差数列。
12．（城西中学）在等差数列，则在Sn中最大的负数为（ ）
A．S17 B．S18 C．S19 D．S20
答案：C
错因：等差数列求和公式应用以及数列性质分析错误。
13．（城西中学）已知三个互不相等实数成等差数列，那么关于的方程
A，一定有两个不相等的实数根 B，一定有两个相等的实数根
C, 一定没有实数根 D，一定有实数根
正确答案：D
错因：不注意ａ＝０的情况。
14．（城西中学）从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
正确答案：D
错因：误认为公比一定为整数。
15．（城西中学）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设是公比为q的无穷等比数列，下列四组量中，一定能成为数列“基本量”的是（ ）
（1），（2）（3），，（4）
A.（1）（3） B .（1） （4） C.（2） （3） D.（2）（4）
正确答案(B)
错因:题意理解不清
16．（城西中学）已知等差数列｛an,｝的前n项和为sn，且S2=10,S5=55,则过点P(n,)，Q(n+2,)(n∈N+*)的直线的斜率为
A、4 B、3 C、2 D、1
正确答案： D
错因：不注意对和式进行化简。
17．（城西中学）在之间插入n个正数，使这n+2个正数成等比数列，则插入的n个正数之积为._______.
正确答案：
错因：无法探求问题实质，致使找不到解题的切入点。
18．（城西中学）数列满足 ，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
正确答案：C
错因：缺研究性学习能力
19．（一中）已知数列的前n项和为，，现从前m项：，，…，中抽出一项（不是，也不是），余下各项的算术平均数为37，则抽出的是
A．第6项 B．第8项 C．第12项 D．第15项
正确答案：B
20．（一中）某种细菌在细菌的作用下完成培养过程，假设一个细菌与一个细菌可繁殖为2个细菌与0个细菌,今有1个细菌和512个细菌,则细菌最多可繁殖的个数为
A．511 B.512 C.513 D.514
正确答案：C
21．（一中）等比数列中，，公比，用表示它前n项的积：，则中最大的是（ ）
A B C D
正确答案：C
22．（一中）已知，对于，定义，假设，那么解析式是（ ）
A B C D
正确答案：B
23．（一中）如图①，②，③，……是由花盆摆成的图案，
① ② ③
根据图中花盆摆放的规律，猜想第个图形中花盆的盆数= .
正确答案：
24．（一中）是实数构成的等比数列，Sn是其前n项和，则数列中 （ ）
A、任一项均不为0 B、必有一项为0
C、至多有有限项为0 D、或无一项为0，或无穷多项为0
正确答案：D
25．（蒲中）是a，x，b成等比数列的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充要条件 D、既不充分又不必要条件
答案：D
点评：易错选A或B。
26．（蒲中）数列1，1+2，1+2+4，…，1+2+4+…+2n各项和为（ ）
A、2n+1－2－n B、2n－n－1
C、2n+2－n－3 D、2n+2－n－2
答案：C
点评：误把1+2+4+…+2n当成通项，而忽略特值法排除，错选A。
27．（蒲中）已知数列{an}的通项公式为an=6n－4，数列{bn}的通项公式为bn=2n，则在数列{an}的前100项中与数列{bn}中各项中相同的项有（ ）
A、50项 B、34项 C、6项 D、5项
点评：列出两个数列中的项，找规律。
28．（江安中学）已知数列中，若≥2)，则下列各不等式中一定成立的是（ ）。
≤
≥
正解：A
由于≥2)，为等差数列。
而 ≤0 ≤
误解：判断不出等差数列，判断后，是否选用作差法。
29．（江安中学）某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（ ）。
≤
>
≥
正解：B
设平均增长率为，
≤
误解：
30．（江安中学）计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制数，将它转换成十进制形式，是，那么二进制数转换成十进制形式是（ ）
217-2
216-2
216-1
215-1
正解：C
=
误解：①没有弄清题意；②=
31．（江安中学）在数列{}中，，则等于（ ）。
10
13
19
正解：C。由2得，∴{}是等差数列
∵
误解：A、B、D被式子的表面所迷惑，未发现{}是等差数列这个本质特征，而只由表面的递推关系得到，从而计算繁琐，导致有误。
32．（江安中学）已知等比数列{}的首项为，公比为q，且有，则首项的取值范围是（ ）。
正解：D。 ①时，，；
②且时
且，。选。
误解：①没有考虑，忽略了；
②对，只讨论了或，或，而得到了错误解答。
33．（江安中学）在ABC中，为的对边，且，则（ ）。
成等差数列
成等差数列
成等比数列
成等比数列
正解：D。
即
，
注意：切入点是将恒等变形，若找不准，将事倍功半。
34．（丁中）x=是a、x、b成等比数列的(
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
错解：C或A
错因：①误认为x=与。②忽视为零的情况。
正解：D
35．（丁中）若成等比数列，则下列三个数：①
② ③，必成等比数列的个数为（ ）
A、3 B、2 C、1 D、0
错解: A.
错因:没有考虑公比和的情形,将①③也错认为是正确的.
正解: C.
36．（丁中）已知是递增数列，且对任意都有恒成立，则实数的取值范围 （D）
A、( B、( C、( D、(
错解：C
错因：从二次函数的角度思考，用
正解：D。
37．（丁中）等比数列中，若，，则的值 （A）是3或－3 （B） 是3 （C） 是－3 （D）不存在
错解：A
错因：直接，，成等比数列，，忽视这三项要同号。
正解：C
38．（薛中）数列的前n项和 .
A、350 B、351 C、337 D、338
答案：A
错解：B
错因：首项不满足通项。
39．（薛中）在等差数列中，，若它的前n项和Sn有最大值，那么中的最小正数是（ ）
A、S17 B、S18 C、S19 D、S20
答案：C
错解：D
错因：化简时没有考虑a10的正负。
40．（薛中）若a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且，则m 的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：C
错解：B
错因：对数函数的性质不熟。
41．（薛中）已知数列的通项公式为，则关于an的最大，最小项，叙述正确的是（ ）
A、最大项为a1,最小项为a3 B、最大项为a1,最小项不存在
C、最大项不存在，最小项为a3 D、最大项为a1,最小项为a4
答案：A
错解：C
错因：没有考虑到时，
42．（案中）等比数列的等比中项为（ ）
A、16 B、±16 C、32 D、±32
正确答案：（B）
错误原因：审题不清易选（A），误认为是，实质为±。
43．（案中）已知的前n项之和…的值为 （ ）
Ａ、67 Ｂ、65 Ｃ、61 Ｄ、55
正确答案：A
错误原因：认为为等差数列，实质为
二填空题：
1．（如中）在等比数列中，若则的值为____________
[错解]或
[错解分析] 没有意识到所给条件隐含公比为正
[正解]
2．（如中）实数项等比数列的前项的和为，若，则公比等于 ________-
[错解]
[错解分析]用前项的和公式求解本题,计算量大,出错,应活用性质
[正解]
3．（如中）从集合中任取三个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有 _________
[错解]90个
[错解分析]没有考虑公差为负的情况,思考欠全面
[正解]180个
4．（如中）设数列满足，则为等差数列是为等比数列的 ____________条件
[错解]充分
[错解分析] 对数运算不清,判别方法没寻求到或半途而废
[正解]充要
5．（如中）若数列是等差数列，其前项的和为，则也是等差数列，类比以上性质，等比数列，则=__________，也是等比数列
[错解]
[错解分析] 没有对仔细分析,其为算术平均数,
[正解]
6．（如中）已知数列中，则等于______________
[错解]或 或
[错解分析] 盲目下结论,没能归纳出该数列项的特点
[正解]
7．（如中）已知数列中，（是与无关的实数常数），且满足，则实数的取值范围是___________
[错解]
[错解分析]审题不清,若能结合函数分析会较好
[正解]
8．（如中）一种产品的年产量第一年为件，第二年比第一年增长﹪，第三年比第二年增长﹪，且，若年平均增长﹪，则有___(填)
[错解]
[错解分析]实际问题的处理较生疏,基本不等式的使用不娴熟
[正解]
9．（城西中学）给定，定义使为整数的叫做“企盼数”，则在区间(1，62)内的所有企盼数的和是___________.
正确答案：52
错因：大部分学生难以读懂题意，也就难以建立解题数学模型。
10．（蒲中）数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则an=____________
答案：an=
点评：误填2n－1，忽略“an=Sn－Sn－1”成立的条件：“n≥2”。
11．（蒲中）已知{an}为递增数列，且对于任意正整数n，an=－n2+λn恒成立，则λ的取值范围是____________
答案：λ>3
点评：利用二次函数单调性讨论较繁，且易错，利用an+1>an恒成立较方便。
12．（江安中学）关于数列有下列四个判断：
若成等比数列，则也成等比数列；
若数列{}既是等差数列也是等比数列，则{}为常数列；
数列{}的前n项和为，且，则{}为等差或等比数列；
数列{}为等差数列，且公差不为零，则数列{}中不会有，其中正确判断的序号是______（注：把你认为正确判断的序号都填上）
正解：(2)(4).
误解：(1)(3)。对于(1)a、b、c、d成等比数列。
也成等比数列，这时误解。因为特列：时，成等比数列，但，，，即不成等比。
对于（3）可证当时，为等差数列，时为等比数列。时既不是等差也不是等比数列，故（3）是错的。
13．（江安中学）关于的方程的所有实根之和为_____。
正解：168
方程有实根，
≥0
解得：≤n≤
所有实根之和为
误解：没能根据条件具体确定n的取值，只得出一个关于n的多项式结果。
14．（江安中学）有四个命题：
一个等差数列{}中，若存在，则对于任意自然数，都有；
一个等比数列{}中，若存在，则对于任意，都有；
一个等差数列{}中，若存在，则对于任意，都有；
一个等比数列{}中，若存在自然数，使，则对于任意，都有，其中正确命题的序号是_____。
正解：由等差数列和等比数列的性质得①②④。
误解：“对于等比数列，若，各项同号（同正或同负），若，各项正，负相间”，学生对此性质把握不清，故认为②④错。
15．（丁中）已知数列｛an｝的前n项和Sn=an－1(a),则数列｛an｝_______________
A.一定是等差数列 B.一定是等比数列
C.或者是等差数列或者是等比数列 D.既非等差数列又非等比数列
错解：B
错因：通项中忽视的情况。
正解：C
16．（丁中）设等差数列中，，且从第5项开始是正数，则公差的范围是
错解：
错因：忽视，即第4项可为0。
正解：
17．（丁中）方程的四个实数根组成一个首项为的等比数列，则
正解: .
错因:设方程的解为;方程的解为,则,不能依据等比数列的性质准确搞清的排列顺序.
18．（丁中）等差数列｛an｝中, a1=25, S17 =,则该数列的前__________项之和最大，其最大值为_______。
错解：12
错因：忽视
正解：12或13 ，
19．（薛中）若，则数列的前n项和Sn= 。
答案：
错解：
错因：裂项求和时系数2丢掉。
20．（薛中）已知数列是非零等差数列，又a1,a3,a9组成一个等比数列的前三项，则的值是 。
答案：1或
错解：
错因：忘考虑公差为零的情况。
21．（薛中）对任意正整数n, 满足数列是递增数列，则的取值范围是 。
答案：
错解：
错因：利用二次函数的对称轴，忽视其与的关系。
22．（案中）数列的前n项之和为，若将此数列按如下规律编组：（）、(,)、（，，）、……，则第n组的n个数之和为 。
正确答案：
错误原因：未能明确第n组各项的构成规律，尤其是首项和最后一项，从而找不到合适的解法，应转化为：
23．（案中）若an=1+2+3+…+n，则数列的前n项之和= 。
正确答案：
错误原因：未能将an先求和得不强。
24．（案中）若数列为等差数列且，则数列，类比上述性质，相应地若数列＞0， ，则有
正确答案：
错误原因：类比意识不强
三、解答题：
1．（如中）设数列的前项和为，求这个数列的通项公公式
[错解]
[错解分析]此题错在没有分析的情况，以偏概全．误认为任何情况下都有
[正解]
因此数列的通项公式是
2．（如中）已知一个等比数列前四项之积为，第二、三项的和为，求这个等比数列的公比．
[错解]四个数成等比数列，可设其分别为
则有，解得或，
故原数列的公比为或
[错解分析]按上述设法，等比数列公比，各项一定同号，而原题中无此条件
[正解]设四个数分别为
则，
由时，可得
当时，可得
3．（石庄中学） 已知正项数{an}满足a1= a (0(I) ； (II) .
解析：(I) 将条件变形，得.
于是，有，，，…….
将这n-1个不等式叠加，得，故.
(II) 注意到0 从而，有.
4．（搬中） 已知数列的前项和满足，求数列的通项公式。
解：
当时，
当时，
的通项公式为
说明：此题易忽略的情况。应满足条件。
5．（搬中）等比数列的前项和为，求公比。
解：若
则
矛盾
说明：此题易忽略的情况，在等比数列求和时要分公比两种情况进行讨论。
6．（搬中）求和。
解：若
则
若
则
若
且
令
则
两式相减得
说明：此题易忽略前两种情况。数列求和时，若含有字母，一定要考虑相应的特殊情况。
7．(磨中)已知数列{an}的前n项和Sn=n2—16n—6，求数列{|an|}的前n项和Sn’
正确答案：Sn’= —n2+16n+6 n≤8时
n2—16n+134 n＞8时
错误原因：运用或推导公式时，只考虑一般情况，忽视特殊情况，导致错解。
8．(磨中) 已知函数f(x)= —Sin2x—aSinx+b+1的最大值为0，最小值—4 ，若实数a＞0，求a、b的值。
正确答案：a=2 b= —2
错误原因：忽略对区间的讨论。
9．(磨中)数列{an}的前n项和Sn=n2—7n—8求数列通项公式
正确答案：an= —14 n=1
2n—8 n≥2
错误原因： n≥2时，an=Sn—Sn—1 但n=1时，不能用此式求出a1
10．(磨中)求和(x+)2+（x2+）2+……(xn+)2
正确答案：当x2=1时 Sn=4n
当x2≠1时 Sn=+2n
错误原因：应用等比数列求和时未考虑公比q是否为1
11．（城西中学）学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样特色菜可供选择（每个学生都将从二者中选一），调查资料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20％改选B，而选B菜的，下周星期一则有30％改选A，若用A、B分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数。（1）试以A表示A；（2）若A=200，求{A}的通项公式；（3）问第n个星期一时，选A与选B的人数相等？
正确答案：（1）由题可知，，又；
所以整理得：。（2）若A=200，且，则设则，
∴即{A-600}可以看成是首项为-400，公比为的等比数列。
∴；（3）∵，又 则， 由得。即第3个星期一时，选A与选B的人数相等。
错因：不会处理非等差非等比数列。
12．（城西中学）设二次函数f(x)=x2+x,当x[n,n+1](n+)时，f(x)的所有整数值的个数为g(n).
求g(n)的表达式；
设an=( n+),Sn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n-1an,求Sn;
设bn=,Tn=b1+b2+…+bn, 若Tn正确答案：（1）当x[n,n+1](n+)时，函数f(x)=x2+x的值随x的增大而增大，则f(x)的值域为(n+)(n+)
（2）
① 当n为偶数时
=
②当n为奇数时
=
∴
（3）由，得 ①
①×得：②
①-②得
则由﹤L( L),L的最小值为7。
错因：1、①中整数解的问题
2、②运算的技巧
3、运算的能力
12．（薛中）已知数列中，a1=8, a4=2且满足（1）求数列的
通项公式（2）设，求Sn
（3）设，是否存在最大的整数m，使得对任意均有成立？若存在，求出m，若不存在，请说明理由。
答案：(1)
(2)Sn=
(3)由（1）可得
由Tn为关于n的增函数，故，于是欲使对恒成立，则存在最大的整数m=7满足题意。
错因：对（2）中表达式不知进行分类讨论；对（3）忽视讨论Tn的单调性。
13．（蒲中）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn—1=0（n≥2），a1=，
（1）求证：成等差数列；（2）求an的表达式。
解：（1）当n≥2时，an=Sn－Sn－1，又an+2SnSn－1=0，∴Sn－Sn－1+SnSn－1=0
若Sn=0，则a1=S1=0与a1=矛盾，∴Sn≠0，∴，又
∴ 成等差数列。
（2）由（1）知：，
当n≥2时，an=－2SnSn－1=－，当n=1时，a1=
∴
点评：本题易错点忽视公式an=Sn－Sn－1成立的条件“n≥2”，导致（2）的结果
14．（江安中学）设为常数，且
证明对任意≥；
假设对任意n≥1有，求的取值范围
证明：①设
用代入，解出：
是公比为－2，首项为的等比数列。
，即
②若成立，特别取有
下面证明时，对任意，有
由通项公式
，
当时，
当时， ≥0
故的取值范围为
误解：①对于等比数列：先构造出求，难度较大，若用数学归纳法证明同学容易想到。
②通过对n为奇数或为偶数的讨论找出的取值范围有难度。
易做易错题选
不等式部分
一、选择题：
1．（如中）设若0f(b)>f(c),则下列结论中正确的是
A (a-1)(c-1)>0 B ac>1 C ac=1 D ac>1
错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数的图象,由图可得出选D.
2．（如中）设成立的充分不必要条件是
A B C D x<-1
错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D。
3．（如中）不等式的解集是
A B C D
错解：选B，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。正确答案为D。
4．（如中）某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x,则
A B C D
错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。正确答案为B。
5．（如中）已知，则2a+3b的取值范围是
A B C D
错解：对条件“”不是等价转化，解出a,b的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。正解：用待定系数法，解出2a+3b=(a+b)(a-b),求出结果为D。
6．（石庄中学）若不等式ax+x+a＜0的解集为 Φ，则实数a的取值范围（ ）
A a≤-或a≥ B a＜ C -≤a≤ D a≥
正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。
7．（石庄中学）已知函数y=㏒(3x在[-1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围（ ）
A a≤-6 B -＜a＜-6 C -8＜a≤-6 D －8≤a≤-6
正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。
8．（石庄中学）已知实数x、y、z满足x+y+z=0,xyz＞0记T=＋＋,则（ ）
A T＞0 B T=0 C T＜0 D 以上都非
正确答案： C 错因：学生对已知条件不能综合考虑，判断T的符号改为判定 xyz(＋＋)的符号。
9．（石庄中学）下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（ ）
A． 甲 a＞b，乙 ＜ B 甲 ab＜0，乙 ∣a+b∣＜∣a－b∣ C 甲 a=b ，乙 a＋b=2 D 甲 ，乙
正确答案： D 错因：学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻。
10．（石庄中学）f(x)=︱2—1｜，当a＜b＜c时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（ ） A a＜0,b＜0,c＜0 B a＜0,b＞0,c＞0 C 2＜2 D 2＜2
正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。
11．(磨中)a,b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A.a2>b2 B.( ) a <()b C.lg(a－b)>0 D.>1
正确答案：B。
错误原因：容易忽视不等式成立的条件。
12．(磨中)x为实数，不等式|x－3|－|x－1|>m恒成立，则m的取值范围是（ ）
A.m>2 B.m<2 C.m>－2 D.m<－2
正确答案：D。
错误原因：容易忽视绝对值的几何意义，用常规解法又容易出错。
13．(磨中)已知实数x、y满足x2+y2=1，则(1－xy)(1+xy)( )
A.有最小值，也有最大值1 B.有最小值，也有最大值1
C.有最小值，但无最大值 D.有最大值1，但无最小值
正确答案：B 。
错误原因：容易忽视x、y本身的范围。
14．(磨中)若a>b>0，且>，则m的取值范围是（ ）
A. mR B. m>0 C. m<0 D. –b正确答案：D 。
错误原因：错用分数的性质。
15．（城西中学）已知，则是的（ ）条件
A、充分不必要 B、必要不充分 C、既不充分也不必要 D、充要
正确答案：D
错因：不严格证明随便判断。
16．（城西中学）如果那么的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
正确答案：B
错因：利用真数大于零得x不等于60度，从而正弦值就不等于，于是就选了D.其实x等于120度时可取得该值。故选B。
17．（一中）设则以下不等式中不恒成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
正确答案：B
18．（一中）如果不等式（a>0）的解集为{x|m≤x≤n}，且|m-n|=2a，则a的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
正确答案：B
19．（蒲中）若实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b（a≠b），则mx+ny的最大值为（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：B
点评：易误选A，忽略运用基本不等式“=”成立的条件。
20．（蒲中）数列{an}的通项式，则数列{an}中的最大项是（ ）
A、第9项 B、第8项和第9项
C、第10项 D、第9项和第10项
答案：D
点评：易误选A，运用基本不等式，求，忽略定义域N*。
21．（丁中）.若不等式＞在上有解,则的取值范围是 （ ）
A． B. C． D．
错解：D
错因：选D恒成立。
正解：C
22．（薛中）已知是方程的两个实根，则的最大值为（ ）
A、18 B、19 C、 D、不存在
答案：A
错选：B
错因：化简后是关于k的二次函数，它的最值依赖于所得的k的范围。
23．（薛中）实数m,n,x,y满足m2+n2=a , x2+y2=a , 则mx+ny的最大值是 。
A、 B、 C、 D、
答案：B
错解：A
错因：忽视基本不等式使用的条件，而用得出错解。
24．（案中）如果方程（x-1）(x 2-2x＋m)=0的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那么实数m的取值范围是 （ ）
A、0≤m≤1 B、＜m≤1 C、≤m≤1 D、m≥
正确答案：（B）
错误原因：不能充分挖掘题中隐含条件。
二填空题：
1．（如中）设，则的最大值为
错解：有消元意识，但没注意到元的范围。正解：由得：，且，原式=，求出最大值为1。
2．（如中）若恒成立，则a的最小值是
错解：不能灵活运用平均数的关系，正解：由，即，故a的最小值是。
3．（如中）已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为 。
错解一、因为对a>0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4。
错解二、，所以z的最小值是。
错解分析：解一等号成立的条件是相矛盾。解二等号成立的条件是，与相矛盾。
正解：z===，令t=xy, 则，由在上单调递减,故当t=时 有最小值,所以当时z有最小值。
4．(磨中)若对于任意x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4<0恒成立，则实数m的取值范围是 。
正确答案：(－2,2) 。
错误原因：容易忽视m＝2。
5．（城西中学）不等式ax+ bx + c＞0 ，解集区间（- ，2），对于系数a、b、c，则有如下结论：
a ＞0 ②b＞0 ③ c＞0 ④a + b + c＞0 ⑤a – b + c＞0，其中正确的结论的序号是________________________________.
正确答案 2 、3、 4
错因：一元二次函数的理解
6．（一中）不等式(x－2)≥0的解集是 ．
正确答案：
7．（一中）不等式的解集为（-∞，0），则实数a的取值范围是_____________________。
正确答案：{-1，1}
8．（一中）若α，β，γ为奇函数f(x)的自变量，又f(x)是在（-∞，0）上的减函数，且有α+β>0，α+γ>0，β+γ>0，则f(α)+f(β)与f(-γ)的大小关系是：f(α)+f(β) ______________f(-γ)。正确答案：<
9．（蒲中）不等式|x+1|(2x－1)≥0的解集为____________
答案：
点评：误填而忽略x=－1。
10．（蒲中）设x>1，则y=x+的最小值为___________
答案：
点评：误填：4，错因：≥，当且仅当即x=2时等号成
立，忽略了运用基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”的条件。
11．（丁中）设实数a,b,x,y满足a2+b2=1,x2+y2=3, 则ax+by的取值范围为_______________.
错解：
错因：，当且仅当时等号成立，而此时与已知条件矛盾。
正解：[－]
12．（丁中）.－4＜k＜o是函数y=kx2－kx－1恒为负值的___________条件
错解：充要条件
错因：忽视时符合题意。
正解：充分非必要条件
13．（丁中）函数y=的最小值为_______________
错解：2
错因：可化得，而些时等号不能成立。
正解：
14．（丁中）已知a,b，且满足a+3b=1，则ab的最大值为___________________.
错解：
错因：由得，，
等号成立的条件是与已知矛盾。
正解：
15．（薛中）设函数的定义域为R，则k的取值范围是 。
A、 B、 C、 D、
答案：B
错解：C
错因：对二次函数图象与判别式的关系认识不清，误用。
16．（薛中）不等式(x-2)2 (3-x) (x-4)3 (x-1) 的解集为 。
答案：
错解：
错因：忽视x=2时不等式成立。
17．（薛中）已知实数x,y满足，则x的取值范围是 。
答案：
错解：
错因：将方程作变形使用判别式，忽视隐含条件“”。
18．（薛中）若，且2x+8y-xy=0则x+y的范围是 。
答案：由原方程可得
错解：设代入原方程使用判别式。
错因：忽视隐含条件，原方程可得y (x-8)=2x，则x>8则x+y>8
19．（案中）已知实数 。
正确答案：
错误原因：找不到解题思路，另外变形为时易忽视这一条件。
20．（案中）已知两个正变量恒成立的实数m的取值范围是 。
正确答案：
错误原因：条件x+y＝4不知如何使用。
21．（案中）已知函数①②③④，其中以4为最小值的函数个数是 。
正确答案：0
错误原因：对使用算术平均数和几何平均数的条件意识性不强。
22．（案中）已知是定义在的等调递增函数，且，则不等式的解集为 。
正确答案：
错误原因：不能正确转化为不等式组。
23．（案中）已知a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 则ax+by+cz的最大值为
正确答案：3
错误原因：忽视使用基本不等式时等号成立的条件，易填成5。应使用如下做法：9a2+x2≥6ax, 9b2+y2 ≥6by，9c2+z2≥6cz，6(ax+by+cz)≤9（a2+b2+c2）+9(x2+y2+z2) = 18, ax+by+cz≤3
三、解答题：
1．（如中）是否存在常数 c，使得不等式对任意正数 x,y恒成立？
错解：证明不等式恒成立，故说明c存在。
正解：令x=y得，故猜想c=,下证不等式恒成立。
要证不等式，因为x,y是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即证,即2xy≤，而此不等式恒成立，同理不等式也成立，故存在c=使原不等式恒成立。
2．（如中）已知适合不等式的x的最大值为3，求p的值。
错解：对此不等式无法进行等价转化，不理解“x的最大值为3”的含义。
正解：因为x的最大值为3，故x-3<0,原不等式等价于，
即，则，
设（1）（2）的根分别为，则
若，则9-15+p-2=0，p=8
若，则9-9+p+2=0,p=-2
当a=-2时，原方程组无解，则p=8
3．（搬中） 设，且，求的取值范围。
解：令
则
比较系数有
即
说明：此题极易由已知二不等式求出的范围，然后再求即的范围，这种解法错在已知二不等式中的等号成立的条件不一定相同，它们表示的区域也不一定相同，用待定系数法则容易避免上述错误。
4．（搬中） 若，解关于的不等式：。
解：令
则
的判别式
恒成立
原不等式的解为
说明：此题容易由得出的错误结论。解有关不等式的问题，一定要注意含参数的表达式的符号，否则易出错误。
5．（搬中） 求函数的极大值或极小值。
解：当时，
当且仅当
即时，
当时，
当且仅当
即时，
说明：此题容易漏掉对的讨论。不等式成立的前提是。
6．（搬中）求函数的最大值。
解：
当且仅当
即时，
说明：此题容易这样做：
。但此时等号应满足条件，这样的是不存在的，错误的原因是没有考虑到等号成立的条件。这一点在运用重要不等式时一定要引起我们高度的重视。
7．（搬中）解不等式：。
解：当时，原不等式为
当时，原不等式为
又
原不等式的解为
说明：此题易在时处出错，忽略了的前提。这提醒我们分段求解的结果要考虑分段的前提。
7．（搬中） 若且，解不等式：
解：若，两边取以为底的对数
若，同样有，
又
当时不等式的解为
当时不等式的解为
说明：此题易在时的解中出错，容易忽略这个条件。解决对数问题要注意真数大于0的条件。
8．（搬中）方程的两根都大于2，求实数的取值范围。
解：设方程的两根为，则必有
说明：此题易犯这样的错误：
且
和判别式联立即得的范围
原因是只是的充分条件
即不能保证同时成立
9．(磨中)设函数f(x)=logb(b>0且b≠1)，
（1）求f(x)的定义域；
（2）当b>1时，求使f(x)>0的所有x的值。
解 （1）∵x2－2x+2恒正，
∴f(x)的定义域是1+2ax>0，
即当a=0时，f(x)定义域是全体实数。
当a>0时，f(x)的定义域是（－，+∞）
当a<0时，f(x)的定义域是（－∞，－）
（2）当b>1时，在f(x)的定义域内，f(x)>0>1x2－2x+2>1+2ax
x2－2(1+a)x+1>0
其判别式Δ=4(1+a)2－4=4a(a+2)
(i)当Δ<0时，即－2∵x2－2(1+a)x+1>0
∴f(x)>0x<－
(ii)当Δ=0时，即a=－2或0时
若a=0,f(x)＞0(x－1)2>0
x∈R且x≠1
若a=－2,f(x)＞0(x+1)2＞0
x＜且x≠－1
(iii)当△＞0时，即a＞0或a＜－2时
方程x2－2(1+a)x+1=0的两根为
x1=1+a－,x2=1+a+
若a＞0，则x2＞x1＞0＞－
∴或
若a<－2，则
∴f(x)＞0x＜1+a－或1+a+＜x＜－
综上所述：当－2＜a＜0时，x的取值集合为x|x＜－
当a=0时，x∈R且x≠1，x∈R，当a=－2时：x|x＜－1或－1＜x＜
当a＞0时，x∈x|x＞1+a+或－＜x＜1+a－
当a＜－2时，x∈x|x＜1+a－或1+a+＜x＜－
错误原因：解题时易忽视函数的定义域，不会合理分类。
10．（城西中学）设集合M＝[－1，1]，N=[－，]，f(x)=2x2+mx－1，若x∈N,m∈M,求证|f(x)|≤
证明：|f(x)|=|2x2+mx－1|= |(2x2－1)+mx|≤|(2x2－1)|+|mx|= (2x2－1)+|mx|≤(2x 2－1)+| x|
=－2（| x|－）2＋≤
错因：不知何时使用绝对值不等式。
11．（城西中学）在边长为a的正三角形中，点P、Q、R分别在BC、CA、AB上，且BP+CQ+AR=a,设BP=x,CQ=y,AR=z,三角形PQR的面积为s,求s的最大值及相应的x、y、z的值。
解 设ΔBPR、ΔPCR、ΔARQ的面积为s1、、s2、s3，则
S=SΔABC－S1－S2－S3=a2－[a2－（xy+xz+yz）]＝（xy+xz+yz）
由x+y+z=a,得xy+yz+zx≤,∴Smav=a2，此时，x=y=z=
错因：不知如何使用基本不等式。
12．（蒲中）设a、b∈R，求证：≤
证明：当|a+b|=0时，不等式已成立
当|a+b|≠0时，∵ |a+b|≤|a|+|b|
∴ =≤=
=+≤
点评：错证：∵|a+b|≤|a|+|b|
∴ ≤≤ ①
错因：①的推理无根据。
高考复习易做易错题精选
解析几何
（如中）若直线与抛物线的两个交点都在第二象，则k的取值范围是______________.
解 答： (-3, 0)
易错原因：找不到确当的解答方法。本题最好用数形结合法。
（如中）若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为
A B C D
解 答：C
易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a和题目中方程的a的意义。
（如中）椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是
A B C D
解 答：D
易错原因：短轴长误认为是
4．（如中）过定点（1，2）作两直线与圆相切，则k的取值范围是
A k>2 B -32 D 以上皆不对
解 答：D
易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑
5．（如中）设双曲线的半焦距为C，直线L过两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为
A 2 B 2或 C D
解 答：D
易错原因：忽略条件对离心率范围的限制。
6．（如中）已知二面角的平面角为，PA，PB，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到二面角的棱的距离为别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的
A B C D
解 答： D
易错原因：只注意寻找的关系式，而未考虑实际问题中的范围。
7．（如中）已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影为M，点A的
8．（如中）若曲线与直线+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是
A B C D
解 答：C
易错原因：将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系。
9. （如中）已知正方形ABCD 对角线AC所在直线方程为 .抛物线过B，D两点
（1）若正方形中心M为（2，2）时，求点N(b,c)的轨迹方程。
（2）求证方程的两实根，满足
解答：（1）设
因为 B,D在抛物线上 所以两式相减得
则代入（1）
得
故点的方程是一条射线。
（2）设
同上
（1）-（2）得
（1）+（2）得
（3）代入（4）消去得
得 又即的两根满足
故。
易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。
10. （如中）已知双曲线两焦点，其中为的焦点，两点A (-3,2) B (1,2)都在双曲线上，（1）求点的坐标；（2）求点的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）若直线与的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t的取值范围。
解答：（1）由得：
故
（2）设点
则又双曲线的定义得
又 或
点的轨迹是以为焦点的椭圆
除去点或 除去点 图略。
（3）联列：消去得
整理得：
当时 得 从图可知：，
又因为轨迹除去点 所以当直线过点时也只有一个交点，即或5
易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点的轨迹时易少一种情况；（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。
