1.4.2《用空间向量研究距离夹角问题》同步练习（含解析）

用空间向量研究距离夹角问题
一．选择题（共9小题）
1．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，是上的一个动点，过点作平面平面，截棱锥所得图形面积为，若平面与平面之间的距离为，则函数的图象是　　
A．B． C．D．
2．已知空间向量，，，，，，则　　
A． B． C．5 D．
3．已知向量，3，和，1，分别是直线和的方向向量，则直线与所成的角为　　
A． B． C． D．
4．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体，的中点到的中点的距离为　　
A． B． C．2 D．1
5．已知向量，，，，，，则的最小值为　　
A． B． C． D．
6．长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，，分别是四边形和正方形的中心，则向量与的夹角的余弦值是　　
A． B． C． D．
7．已知动点在正方体的对角线（不含端点）上．设，若为钝角，则实数的取值范围为　　
A． B． C．， D．，
8．在空间直角坐标系中，已知，0，，，，，则，两点间的距离　　
A． B．4 C． D．
9．已知，0，，，2，是空间直角坐标系中两点，则　　
A．3 B． C．9 D．
二．多选题（共1小题）
10．若，，与的夹角为，则的值为　　
A．17 B． C． D．1
三．填空题（共8小题）
11．若向量，，与，1，的夹角为钝角，则实数的取值范围为　　．
12．已知，3，，，，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是　　．
13．已知直线的方向向量为，，，若点，1，为直线外一点，，1，为直线上一点，则到直线上的距离为　　．
14．直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则与的夹角为　　．
15．在空间直角坐标系中，点，1，在平面上的射影为点，在平面上的射影为点，则　　．
16．已知点，0，，，，，点在轴上，且到与到的距离相等，则的坐标是 　　．
17．已知，1，，，，，则，　　．
18．已知空间中两个点，3，，，7，，则　　．
四．解答题（共3小题）
19．已知：，4，，，，，，，，，，求：
（1），，；
（2）与所成角的余弦值．
20．如图，的二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，求的长．
21．已知平行六面体，，，，，设，，．
（1）试用、、表示；
（2）求的长度．
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，是上的一个动点，过点作平面平面，截棱锥所得图形面积为，若平面与平面之间的距离为，则函数的图象是　　
A． B．
C． D．
【分析】过作平面，交于，过作，交于，过作，交于，连结，则平面是所求的平面，由此能求出结果．
【解答】解：过作平面，交于，过作，交于，
过作，交于，连结，
则平面是所求的平面，
过点作平面平面，
截棱锥所得图形面积为，平面与平面之间的距离为，
，解得，
，即，，，
函数，．
函数的图象如下图：
故选：．
【点评】本题考查函数图象的求法，考查棱锥、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
2．已知空间向量，，，，，，则　　
A． B． C．5 D．
【分析】利用向量坐标运算法则先求出，由此能求出．
【解答】解：空间向量，，，，，，
，，，
．
故选：．
【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．已知向量，3，和，1，分别是直线和的方向向量，则直线与所成的角为　　
A． B． C． D．
【分析】求出，由此能求出直线与所成的角．
【解答】解：向量，3，和，1，分别是直线和的方向向量，
，
，
直线与所成的角为．
故选：．
【点评】本题考查两直线的夹角的求法，考查向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体，的中点到的中点的距离为　　
A． B． C．2 D．1
【分析】利用正方体的结构特征，先分别求出和的坐标，再用两点间距离公式求解．
【解答】解：在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体
，0，，，2，，的中点，1，，
，0，，，2，，的中点，1，，
的中点到的中点的距离为：
．
故选：．
【点评】本题考查两点间距离的求法，考查空间直角坐标系、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
5．已知向量，，，，，，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【分析】用向量减法坐标法则求的坐标，再用向量模的坐标公式求模的最小值．
【解答】解：，，，，，
，
当时，有最小值，
的最小值是，
故选：．
【点评】考查向量的坐标运算法则及向量坐标形式的求模公式．
6．长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，，分别是四边形和正方形的中心，则向量与的夹角的余弦值是　　
A． B． C． D．
【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出向量与的夹角的余弦值．
【解答】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，1，，，，0，，，
，0，，，
设向量与的夹角为，
则．
故向量与的夹角的余弦值为：．
故选：．
【点评】本题考查向量的夹角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．已知动点在正方体的对角线（不含端点）上．设，若为钝角，则实数的取值范围为　　
A． B． C．， D．，
【分析】建立空间直角坐标系，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，从而可求的取值范围．
【解答】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则有，0，，，1，，，1，，，0，
，1，，设，，，
，，，0，，，，
，，，1，，，，
由图知不是平角，为钝角等价于，
，
，
解得，
的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．
8．在空间直角坐标系中，已知，0，，，，，则，两点间的距离　　
A． B．4 C． D．
【分析】利用空间中两点间距离公式直接求解．
【解答】解：在空间直角坐标系中，
，0，，，，，
，两点间的距离：
．
故选：．
【点评】本题考查两点间距离公式的求法，考查空间中两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
9．已知，0，，，2，是空间直角坐标系中两点，则　　
A．3 B． C．9 D．
【分析】利用两点间距离公式直接求解．
【解答】解：，0，，，2，，
．
故选：．
【点评】本题考查两点间距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共1小题）
10．若，，与的夹角为，则的值为　　
A．17 B． C． D．1
【分析】利用向量夹角公式直接求解．
【解答】解：，，与的夹角为，
，
解得或．
故选：．
【点评】本题考查实数值的求法，考向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三．填空题（共8小题）
11．若向量，，与，1，的夹角为钝角，则实数的取值范围为　　．
【分析】直接利用向量的数量积和向量的夹角为钝角的充要条件，求出的范围．
【解答】解：向量，，与，1，，
因为与夹角为钝角，
所以，且，，
解得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查空间向量的数量积和向量的夹角，属于基础题．
12．已知，3，，，，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是　　．
【分析】利用空间向量夹角公式直接求解．
【解答】解：，3，，，，，与的夹角为钝角，
，
解得．
又，3，与，，不共线，
实数的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．已知直线的方向向量为，，，若点，1，为直线外一点，，1，为直线上一点，则到直线上的距离为　　．
【分析】根据点到直线的距离为，，分别计算向量的模长与夹角的正弦值即可求解．
【解答】解：，1，，，1，，
，0，，又，，，
，，
，，
又，
点，1，到直线的距离为：
，，
故答案为：．
【点评】本题考查点到直线的距离，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，是基础题．
14．直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则与的夹角为　　．
【分析】利用空间向量夹角公式直接求解．
【解答】解：直线的一个方向向量为，
直线的一个方向向量为，
，
与的夹角为．
故答案为：．
【点评】本题考查两直线的夹角的余弦值的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．在空间直角坐标系中，点，1，在平面上的射影为点，在平面上的射影为点，则　　．
【分析】利用射影性质先分别求出点和的坐标，再由两点间距离公式能求出．
【解答】解：点在平面上的射影为点，在平面上的射影为点，
，1，，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查两点间距离的求法，考查射影性质、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16．已知点，0，，，，，点在轴上，且到与到的距离相等，则的坐标是 　，，　．
【分析】设，，，由到与到的距离相等，列出方程，能求出的坐标．
【解答】解：点，0，，，，，点在轴上，设，，，
到与到的距离相等，
，
解得，
故，，．
故答案为：，，．
【点评】本题考查点的坐标的求法，考查空间中两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17．已知，1，，，，，则，　　．
【分析】由空间向量夹角公式，，能求出结果．
【解答】解：，1，，，，，
，．
故答案为：．
【点评】本题考查空间中两个向量的夹角的余弦值的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．已知空间中两个点，3，，，7，，则　　．
【分析】利用两点间距离公式直接求解．
【解答】解：空间中两个点，3，，，7，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查两点间距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四．解答题（共3小题）
19．已知：，4，，，，，，，，，，求：
（1），，；
（2）与所成角的余弦值．
【分析】（1）由向量的平行和垂直可得关于，，的关系式，解之即可得向量坐标；
（2）由（1）可得向量与的坐标，进而由夹角公式可得结论．
【解答】解：（1），
，
解得，，
故，4，，，，，
又因为，所以，即，解得，
故，，；
（2）由（1）可得，2，，，，，
设向量与所成的角为，
则．
【点评】本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式，属基础题．
20．如图，的二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，求的长．
【分析】由已知条件知，由此能求出的长．
【解答】解：如图，，
的长为．
【点评】本题考查空间中线段长的求法，是基础题，解题时要注意数形结合思维的合理运用．
21．已知平行六面体，，，，，设，，．
（1）试用、、表示；
（2）求的长度．
【分析】（1），由此能求出结果．
（2）由．，，由此能求出的长度．
【解答】解：（1）
．
（2），
．
的长度为．
【点评】本题考查向量的表示，考查线段长的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
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