4.4探索三角形相似的条件 同步训练（含答案）2023-2024学年北师大九年级数学上册

2023-2024学年九年级上册4.4探索三角形相似的条件 同步训练
一、选择题
1．如图，能使成立的条件是（　　）
A． B．
C． D．
2．神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是．我们知道圆盘一周为，，．这体现了（　　）
A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割
3．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（　　）
A． B． C． D．
4．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝4，则AC的长为（　　）
A．（6﹣2） B．（2﹣2）
C．（﹣1） D．（3﹣）
5．下列判断中，正确的是（　　）
A．各有一个角是的两个等腰三角形相似
B．邻边之比为2：1的两个等腰三角形相似
C．各有一个角是的两个等腰三角形相似
D．邻边之比为2：3的两个等腰三角形相似
6．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（　　）
A． B．
C． D．
8．一个钢筋三脚架三边长分别为，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为和的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（　　）
A．一种 B．两种
C．三种 D．四种或四种以上
二、填空题
9．图中的两个三角形是否相似，　 　（填“是”或“否”）.
10．已知线段，C是AB的黄金分割点，且，则　 　.（结果保留根号）
11．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是　 　．
12．黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为160cm，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为　 　cm．（结果保留根号）
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有　 　个.
三、解答题
14．如图，点D为边上一点，连接，，，.
求证：.
15．如图，在中，点D在边上，且满足．请找出图中的一对相似三角形，并证明．
16．如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为上一点，且．求证：．
17．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求CG的长．
18．如图：
（1）[基础巩固]：如图1，在△ABC中，∠ACB=90° ，AC= BC，D是AB边上一点，F是BC边上一点，∠CDF=45°．求证：AC． BF=AD． BD；
（2）[尝试应用]如图2，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，∠A=∠B=∠CDF=45°，若AC=9，BF=8，求线段CF的长．
（3）[拓展提高]如图3，在△ABC中，AB=4，∠B=45°．以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE，点D在BC上，点E在AC上．若CE=2，求CD的长．
答案解析部分
1． C
2．D
3．B
4．B
5．B
6．D
7．C
8．B
9．是
10．
11．
12．
13．4
14．证明：∵，，
∴，
∴，，即，
又∵，
∴
15．解：；
∵，
∴，
∵，
∴．
16．证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∴．
∵
∴；
17．（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴，又，
在和中，，∴（SAS），∴；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，∴，
由（1）可知，
∴，∴，即，∴，
又，∴；
（3）解：由（2）得，∴，即，
∴或（舍去），根据（1）中的结论得，∴．
18．（1）证明：∵∠ABC=90°，AC= BC，
∴∠A=∠B=45，
∵∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF，∠A=∠CDF=45°，
∴∠ACD=∠BDF，
∴△ACD∽△BDF，
∴
∴AC·BF =AD·BD．
（2）解：如图2中，延长AC交BF的延长线于点T．
∵∠A=∠CDF=∠B=45°，
∴∠T=90°，TA=TB，
∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF，
∴∠ACD=∠BDF，
故△ACD∽△BDF，
∴
∵AD=DB，
∴
∴AD=6，
∴AB=2AD=12，
∴TA=TB=12，
∴CT=12-9=3，TF=12-8=4，
∴CF==5
（3）解：如图，过点E作EF与CD交于点F，使∠EFD=45°，
∵∠B=∠ADE=45°，
∴∠BAD=∠EDF ，
∴△ABD∽△DFE，
∴
∵DE=AD，AB=4，
∴DF=AB=8，
∵∠EFD=45°，∠ADE=45°，
∴∠EFC=∠DEC= 135°，
∴△EFC∽△DEC ，
∴
∴EC=2，
∴EC2= FC·CD= FC×(8+FC)，
∴20= FC×(8+ FC)，
∴FC=2，
∴CD=10．