《第21—22章》综合练习题 （含解析）2023-2024学年人教版九年级数学上册

2023-2024学年人教版九年级数学上册《第21—22章》综合练习题（附答案）
一、选择题（共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2＝x B．ax2+bx+c＝0 C．xy＝1 D．
2．将方程2x（1﹣2x）＝5x（2﹣x）﹣3化为一般形式后为（　　）
A．x2﹣8x﹣3＝0 B．9x2+12x﹣3＝0
C．x2﹣8x+3＝0 D．9x2﹣12x+3＝0
3．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
4．一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2
5．已知等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（　　）
A．3 B．4 C．7 D．3或4
6．若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，则的值为（　　）
A． B． C．或2 D．或2
7．如图在同一个坐标系中函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象可能的是（　　）
A． B．
C． D．
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，与y轴交于点（0，1），则下列结论中正确的是（　　）
A．b＜0 B．b2﹣4ac＜0
C．a﹣b+c＜0 D．当x＜0时，y随x的增大而减小
9．关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣1）+b＝0（a＜0，b＜0）的解为x1，x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（　　）
A．﹣2＜x1＜x2＜1 B．﹣2＜x1＜1＜x2 C．x1＜﹣2＜x2＜1 D．x1＜﹣2＜1＜x2
10．如图，△ABC和△DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠ACB＝∠DFE＝90°，点C落在DE的中点处，且AB的中点M与C、F三点共线，现在让△ABC在直线MF上向右做匀速移动，而△DEF不动，设两个三角形重合部分的面积为y，向右水平移动的距离为x，则y与x的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（共12分）
11．请写出一个开口向下，且经过点（0，﹣1）的二次函数解析式：　 　．
12．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
13．若α、β是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则α2+2α﹣β＝　 　．
14．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表．
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
解答下列问题：
（1）方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的根是 　 　；
（2）当ax2+bx+c＞﹣1时，x的取值范围是 　 　．
三、解答题（满分78分）
15．解方程：2x2﹣x﹣1＝0．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m2﹣3m﹣5＝0的一个根是﹣1，求m的值及方程的另一个根．
17．二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（﹣2，5），且当x＝2时，y＝﹣3，求这个二次函数的解析式，并判断点B（0，3）是否在这个函数的图象上．
18．已知函数和y2＝mx+n的图象交于点（﹣2，﹣5）和点（1，4），并且的图象与y轴交于点（0，3）．
（1）求函数y1和y2的解析式；
（2）直接写出x为何值时，
①y1＞y2；
②y1＝y2；
③y1＜y2．
19．如图，学校打算用16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2．求生物园的长和宽．
20．一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0．
（1）若方程有两实数根，求m的范围．
（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，求m．
21．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）求△ABC的面积．
22．如图，一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000kg，出油率为50%（即每100kg花生可加工出花生油50kg）．现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率．

23．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．解答下列问题：（注意：取，）
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
（2）求足球第二次飞出到落地时，该抛物线的表达式．
参考答案
一、选择题（共30分）
1．解：A．方程x2＝x是一元二次方程，符合题意；
B．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C．xy＝1是二元二次方程，不符合题意；
D．方x+＝1是分式方程，不符合题意．
故选：A．
2．解：由原方程，得
2x﹣4x2＝10x﹣5x2﹣3，
则x2﹣8x+3＝0．
故选：C．
3．解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），
故选：B．
4．解：x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣1．
故选：D．
5．解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴（x﹣3）（x﹣4）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
∴等腰三角形的两边长分别3或4；
∴该等腰三角形的底边长为3或4；
故选：D．
6．解：由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，
∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，
∴a+b＝7，ab＝2，
∴＝＝＝＝．
故选：A．
7．解：当k＞0时，函数y＝kx﹣2的图象经过一、三、四象限；函数y＝kx2的开口向上，对称轴在y轴上；
当k＜0时，函数y＝kx﹣2的图象经过二、三、四象限；函数y＝kx2的开口向下，对称轴在y轴上，故C正确．
故选：C．
8．解：选项A，∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，即b＝2a．
∴b＞0．故选项A错误；
选项B，∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根．
∴b2﹣4ac＞0．故选项B错误；
选项C，由题图可知，当x＝﹣1时，抛物线有最低点，且在x轴下方，
∴二次函数有最小值，且y最小＜0．
∴当x＝﹣1时，二次函数的值y＝a﹣b+c＜0．故选项C正确；
选项D，由图可知，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，当﹣1＜x＜0时，y随x的增大而增大．
∴当x＜0时，y随x增大而减小是错误的，故选项D错误．
故选：C．
9．解：关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣1）+b＝0（a＜0，b＞0）的解就是函数y＝a（x+2）（x﹣1）与y＝﹣b的交点的横坐标，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵b＜0，
∴y＝﹣b在x轴下方，
∵x1＜x2，
如图所示：
∴x1＜﹣2＜1＜x2，
故选：D．
10．解：本题的运动过程应分两部分，从开始到两三角形重合，另一部分是从重合到分离；
在第一部分，三角形ABC在直线MF上向右做匀速运动，则重合部分面积的增加速度不断变快；而另一部分面积的减小速度越来越小．
故选：C．
二、填空题（共12分）
11．解：∵开口向下且过点（0，﹣1）的抛物线解析式，
∴可以设顶点坐标为（0，﹣1），
故解析式为：y＝﹣x2﹣1（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x2﹣1（答案不唯一）．
12．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0
∴k≠0，
∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠0．
故答案为：k＞﹣1且k≠0．
13．解：∵α方程x2+3x﹣1＝0的实数根，
∴α2+3α﹣1＝0，
∴α2＝﹣3α+1，
∴α2+2α﹣β＝﹣3α+1+2α﹣β
＝﹣（α+β）+1，
∵α、β是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣3，
∴α2+2α﹣β＝3+1＝4．
故答案为4．
14．解：（1）由ax2+（b﹣1）x+c＝0，得ax2+bx+c＝x，
可知二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x的交点为（﹣1，﹣1）和（3，3），
所以方程ax2+bx+c＝x的根是x1＝﹣1，x2＝3；
（2）根据表格可知抛物线的对称轴是，当时，函数值y随着x的增大而增大，
∴抛物线开口向下．
，
解得x＝4，
可知当x＝﹣1和x＝4时，y＝﹣1．
∴当﹣1＜x＜4时，ax2+bx+c＞﹣1．
故答案为：﹣1，3；﹣1＜x＜4．
三、解答题（满分78分）
15．解方程：2x2﹣x﹣1＝0，
（x﹣1）（2x+1）＝0，
x﹣1＝0，2x+1＝0，
∴．
16．解：设方程的另一根为x2．
∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m2﹣3m﹣5＝0的一个根是﹣1，
∴x＝﹣1满足关于x的一元二次方程x2﹣6x+m2﹣3m﹣5＝0，
∴（﹣1）2﹣6×（﹣1）+m2﹣3m﹣5＝0，即m2﹣3m+2＝0，
∴（m﹣1）（m﹣2）＝0，
解得，m＝1或m＝2；
又由韦达定理知﹣1+x2＝6，
解得，x2＝7．即方程的另一根是7．
17．解：把A（﹣2，5），点（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得，解得，
所以二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
当x＝0时，y＝0﹣0﹣3＝﹣3，
所以点B（0，3）不在这个函数的图象上．
18．解：（1）把点（﹣2，﹣5）、点（1，4）、点（0，3）代入得，
，
解得，
∴；
把点（﹣2，﹣5）和点（1，4）代入y2＝mx+n得，
解得，
∴y2＝3x+1．
（2）如图，在同一坐标系中画出和y2＝3x+1的图象，
由图象可得①当﹣2＜x＜1时，y1＞y2；②当x＝﹣2或x＝1时，y1＝y2；③当x＞1或x＜﹣2时，y1＜y2．
19．解：设宽为x m，则长为（16﹣2x）m．
由题意，得 x （16﹣2x）＝30，
解得 x1＝3，x2＝5．
当x＝3时，16﹣2×3＝10，
当x＝5时，16﹣2×5＝6．
答：围成矩形的长为10 m、宽为3 m，或长为6 m、宽为5m．
20．解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0有两个实数根，
∴m≠0且△≥0，即（﹣2m）2﹣4 m （m﹣2）≥0，
解得m≠0且m≥0，
∴m的取值范围为m＞0．
（2）∵方程两实根为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1 x2＝，
∵|x1﹣x2|＝1，
∴（x1﹣x2）2＝1，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝1，
∴22﹣4×＝1，
解得：m＝8；
经检验m＝8是原方程的解．
21．解：（1）∵CD⊥y轴，
∴C，D两点关于抛物线对称轴对称D（6，4），
∴C（0，4），
∴此抛物线的对称轴为直线：，即x＝3
（2）连接AC，
∵A，B关于对称轴对称，B（8，0），
抛物线的对称轴为直线：x＝3，
∴A（﹣2，0），
∴AB＝8﹣（﹣2）＝10，
∴△ABC的面积＝．
22．解：设新品种花生产量的增长率为x，则新品种花生出油率的增长率为x，
根据题意得：3000（1+x）×50%（1+x）＝1980，
整理得：x2+3x﹣0.64＝0，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣3.2（不符合题意，舍去）．
答：新品种花生产量的增长率为20%．
23．解：（1）由题意知，A（0，1），B（6，0），顶点坐标M（6，4），
设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）2+4，
将A（0，1）代入得，1＝a（0﹣6）2+4，
解得，
∴，
∴足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为；
（2）当y＝0时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴C（13，0），
由题意，设第二次落地的抛物线的顶点坐标为（k，2），设第二次落地的抛物线为，
当x＝13时，，
解得，（不合题意，舍去），
∴，
∴足球第二次飞出到落地时，抛物线的表达式为．