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分课时教学设计
第一课时《24.2.2.2直线与圆的位置关系》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 切线的性质和判定是在学了直线和圆三种位置关系之后提出的，切线的性质和判定定理是研究三角形的内切圆，切线长定理的基础。学好它今后数学和物理学科的学习会有很大的帮助。
学习者分析 学生在七、八年级基础上有了一定的分析、归纳和简单的逻辑推理能力，以及通过添加辅助线解决几何问题的能力，本节课通过学生动脑动手进一步提升学生的识图能力和总结经验方法的能力。
教学目标 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题
教学重点 让学生熟练运用圆的切线的判定定理和性质定理解决与圆有关的数学问题，并归纳总结运用切线的性质和判定解决问题的方法。
教学难点 掌握切线性质和判定解决问题的方法，并能灵活运用
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 你还记得直线和圆有哪几种位置关系吗？学生活动1： 教师提出问题，学生回答活动意图说明：通过回顾直线和圆的位置关系，为本节课探究圆的切线的判定定理及性质定理打好基础.环节二：新知探究教师活动2： 我们可以从哪些角度来判断一条直线和圆相切呢？ 定义法：直线和圆只有一个公共点. 数量关系法：圆心到直线的距离等于半径，即d=r. 还有其它的方法能判断直线和圆相切吗？ 思考 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？ 可以看出，这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，直线l就是⊙O的切线. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 要使直线l是⊙O的切线需要满足哪些条件？ ①经过半径的外端；②垂直于这条半径. 你能举出生活中直线和圆相切的实例吗？ 都是沿着圆的切线方向飞出的学生活动2： 师提出提问，并让学生拿出事先准备好的圆形纸片，动手操作，观察，最后教师PPT动态展示. 教师提出问题，学生根据所学知识回答 活动意图说明：让学生理解与掌握圆的切线的判定定理.环节三：新知讲解教师活动3： 思考 将上面“思考”中的问题反过来，如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？ 证明：假设半径OA与直线l不垂直，那么过点O作OB⊥l，垂足为B. 由于“点到直线的距离垂线段最短”，所以OB＜OA.根据“直线l和⊙O相交d＜r”，所以直线l和⊙O相交.这与已知相矛盾，因此假设不成立，则半径OA与直线l垂直. 归纳总结：切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径. 几何语言 ∵直线l 是⊙O的切线， 且A是切点， ∴ l⊥OA. 学生活动3： 学生通过观察，发现半径OA垂直于直线l．师生讨论后发现直接证明垂直并不容易．此时教师引导学生发现要证明的情况只是垂直这一种，所以可考虑使用反证法 活动意图说明：利用反证法引导学生得出切线的性质定理，并体会反证法的作用．环节四:典例精析教师活动4： 例1 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线. 证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA. ∵⊙O与AB相切于点D ∴OD⊥AB 又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点. ∴AO是∠BAC的平分线 ∴OE=OD，即OE是⊙O的半径 ∴AC是⊙O的切线. 变式训练 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线. 归纳总结： 证切线时常见的添加辅助线的方法 有交点，连半径证垂直 无交点，做垂直证半径 学生活动4： 学生独立思考，当堂练习 活动意图说明：设计两个图形一样但题型不一样的例题，引导学生认真审题，培养学生添加辅助线的能力和应用切线的判定定理解决问题的能力，并体会不同的辅助线添加的依据。
板书设计 一、切线的定义 二、切线的判定 三、切线的性质
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，☉O与AB相切于点A，BO与☉O交于点C，∠BAC=27°， 则∠B等于( ) A.36° B.54° C.110° D.140° 2.如图，直线l是☉O的切线，A为切点，B为直线l上一点,连接0B交☉O于点C.若AB=12, 0A=5，则BC的长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________． 4.如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若∠AOC=45°，，则线段的长为 ． 选做题： 5.如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点． （1）求证：直线与相切； （2）若的直径是10，，求的长． 【综合拓展类作业】 6.如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°. 求证：DC是⊙O的切线．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列命题中，真命题是( ) A. 垂直于半径的直线是圆的切线 B. 经过半径外端的直线是圆的切线 C. 经过切点的直线是圆的切线 D. 圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线 2.如图，线段与⊙相切于点，线段与⊙相交于点，=12，=8，则⊙的半径长为_________． 选做题： 3. 如图，在△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P，PE⊥AC 于 E. 求证：PE 是 ⊙O 的切线. 【综合拓展类作业】 4.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
教学反思 新课程理念及新基础教育理念都提倡“把课堂还给学生，让课堂充满生命活力”，让学生真正“动起来”，我认为“动”不应当是表面的、外在的，而应当使学生的思维处于活跃状态,积极思考问题,这种内在的、深层的动，才提数学课堂需要的动。动得有序，动而不乱。课堂教学要的不是热闹场面，而是对问题的深入研究和思考。因此，在动手画图的过程中，经历动脑思考、归纳、总结的过程。得到“经过半径外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线”的结论。注意培养学生的解题能力。根据学生的数学学习情况和明年就面临中考的现实，教学中我注意引导学生分析认真分析每个已知条件，由每个条件可以得到哪些信息，结合要证明的结论及信息之间的联系,分析哪些信息有用，哪些没用。再理清思路,然后整理出来。注意多种评价手段的运用。教学中面向大多数学生.并且给予及时的鼓励和评价。一个会心的微笑、学生的掌声、翘起的拇指、真诚的语言，让学生及时感觉到被认可,他就更有动力投入到下面的学习中。
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24.2.2.2直线和圆的位置关系
人教版九年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题
新知导入
你还记得直线和圆有哪几种位置关系吗？
图形
公共点个数
2个
1个
0个
位置关系
相交
相切
相离
圆心到直线的距离d与半径r的关系
d＜r
d=r
d＞r
∟
o
d
r
新知讲解
我们可以从哪些角度来判断一条直线和圆相切呢？
1
定义法：直线和圆只有一个公共点.
2
数量关系法：圆心到直线的距离等于半径，即d=r.
还有其它的方法能判断直线和圆相切吗？
l
A
新知讲解
可以看出，这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，直线l就是⊙O的切线.
思考 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？
归纳总结
文字语言
符号语言
经过 并
且 的
直线是圆的切线.
∵OA是⊙O的半径，
且l⊥OA于A，
∴ l是⊙O的切线.
半径的外端
垂直于这条半径
切线的判定定理
【注意】
①过半径的外端 ②垂直于半径
两个条件缺一不可.
新知讲解
你能举出生活中直线和圆相切的实例吗？
下雨天快速转动雨伞时飞出的水珠
在砂轮下打磨工件时飞出的火星
都是沿着圆的切线方向飞出的
新知讲解
思考 将上面“思考”中的问题反过来，如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
证明：假设半径OA与直线l不垂直，那么过点O作OB⊥l，垂足为B.
由于“点到直线的距离垂线段最短”，所以OB＜OA.
根据“直线l和⊙O相交d＜r”，所以直线l和⊙O相交.
这与已知相矛盾，因此假设不成立，则半径OA与直线l垂直.
B
归纳总结
文字语言
符号语言
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵直线l 是⊙O的切线，
且A是切点，
∴ l⊥OA.
切线的性质定理
新知讲解
切线的判定定理和性质定理有什么区别和联系？
联系
交换切线的判定定理的条件和结论，可得到切线的性质定理.
区别
切线的判定定理在未知相切要证明相切时使用；
典例精析
例1 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.
证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.
∵⊙O与AB相切于点D
∴OD⊥AB
又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点.
∴AO是∠BAC的平分线
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径
∴AC是⊙O的切线.
E
变式训练
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
O
B
A
C
证明：连接OC.
∵ OA＝OB，CA＝CB,
∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径，
∴ AB是⊙O的切线.
∟
归纳总结
已知公共点
证切线时常见的添加辅助线的方法
不知公共点
作垂直，证半径
连半径，证垂直
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，☉O与AB相切于点A，BO与☉O交于点C，∠BAC=27°， 则∠B等于( )
A.36° B.54° C.110° D.140°
2.如图，直线l是☉O的切线，A为切点，B为直线l上一点,连接0B交☉O于点C.若AB=12, 0A=5，则BC的长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
A
D
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________．
4.如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若∠AOC=45°，，则线段的长为 ．
44°
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若的直径是10，，求的长．
解：（1）连接OD交BC于点F，如图，
∵点是的中点，∴OD⊥BC，
∵DE//BC∴OD⊥DE
∵OD是的半径∴直线与相切；
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
（2）∵AC是的直径，且AB=10,
∴∠ABC=90°，
∵OD⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB
∴
∵ ∴ ∴
由勾股定理得，
∴．
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°.
求证：DC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC，BC.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝30°，∴BC＝ AB＝OB.
又∵BD＝OB，∴BC＝BD＝OB＝ OD，
∴∠OCD＝90°. ∴DC是⊙O的切线．
课堂总结
切线的判定定理
切线的性质定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
圆的切线垂直于过切点的半径.
直线和圆的位置关系
板书设计
直线和圆的位置关系
一、切线的定义
二、切线的判定
三、切线的性质
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1. 下列命题中，真命题是( )
A. 垂直于半径的直线是圆的切线
B. 经过半径外端的直线是圆的切线
C. 经过切点的直线是圆的切线
D. 圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
2.如图，线段与⊙相切于点，线段与⊙相交于点，=12，=8，则⊙的半径长为_________．
D
5
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
O
A
B
C
E
P
3. 如图，在△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P，PE⊥AC 于 E. 求证：PE 是 ⊙O 的切线.
证明：连接 OP，如图.
∵ AB = AC，∴∠B =∠C.
∵ OB = OP，∴∠B =∠OPB.
∴∠OPB =∠C.
∴ OP∥AC.
∵ PE⊥AC，∴ PE⊥OP.
∴ PE为 ⊙O 的切线.
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
M
N
谢谢
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二十四章
课标要求 1.与圆有关的概念:正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念，并能正确分析它们的区别与联系。2.与圆有关的角:掌握圆周角和圆心角的区别与联系，将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，一般地，若题目无直径，往往需要作出直径。3.圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理:定理和结论是在圆的旋转不变性上推出来的，需注意“在同圆或等圆中”中这个关系。4.与圆有关的位置关系:了解点和圆、直径和圆、圆和圆共有几种位置关系，并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键。5.切线长定理:切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据。6.会计算圆的弧长、扇形的面积。7.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。8.会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。9.在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。
内容分析 与三角形、四边形等一样，圆也是基本的平面图形，也是“空间与图形”的主要研究对象，是人们生活中常见的图形。在学生前面学习了一些基本的直线形一一三角形、四边形等的基础上，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，进一步研究一个基本的曲线形一一圆，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加强对圆的认识.探索圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等，并结合一些图形性质的证明，进一步发展学生的逻辑思维能力。由于本章综合性强，会与全等、相似、四边形等知识相联系，往往在考试中得分率较低，因此在讲授本章知识时，教师要注意从具体情景出发，使学生了解知识的来源和形成，加深对数学概念的理解，从而达到能熟练掌握知识技能并应用其灵活解决问题的能力。
学情分析 学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质，而且把直线形里学过的一些基本图形，几何变换加以灵活运用．通过本章的学习，学生会对圆有一个较为全面系统的认识，而且对各种数学思想如分类讨论，转化思想，完全归纳、类比的思想等有很好的理解和把握。
单元目标 教学目标1、经历探索圆及其相关结论的过程，认识圆的轴对称性和中心对称性；2、探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间相等的关系定理；3、探索并理解圆心角和圆周角的关系定理，三种位置关系及对应的数量关系；4、知道三角形的外心和内心；5、探索并理解直线与圆的位置关系，掌握切线的性质与判断；6、了解正多边形与圆的关系，会计算弧长和扇形的面积。（二）教学重点、难点教学重点：圆周角定理和切线的性质与判定的理解和运用.教学难点：对圆集合定义的理解，运用相关定理进行证明与计算.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数24.1 圆的有关性质424.2 点和圆、直线与圆的位置关系424.3正多边形和圆124.4弧长及扇形的面积2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务24.1圆的有关性质1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系。2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。3.探索圆周角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论，圆内接四边形的对角互补4.知道三角形的内心和外心。学生通过理解相关概念，掌握垂径定理以及圆周角定理从而能解决一些问题任务1：学生通过图片，操作掌握圆中相关概念.任务2：学生能利用弧、弦、圆心角之间的关系解题任务3：学生知道圆是轴对称图形，并能指出圆的对称轴. 垂径定理的条件是：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧，已知五个条件中的两个就可推出其中三个，解题过程中应灵活运用该定理任务4：理解圆周角以及圆心角的关系，会用其解题.24.2点和圆、直线与圆的位置关系1.了解点与圆的位置关系.2.了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。3.探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等理解点与圆，直线与圆的位置关系，并能熟练运用切线的性质以及判定解决问题。任务1：通过学生探究掌握点与圆的位置关系任务2：认识直线与圆的位置关系任务3：通过探究掌握切线的性质以及判定定理任务4：引出切线长概念并探究切线长定理24.3正多边形和圆 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系学生能根据正多边形与圆的关系解决问题任务1：认识正多边形.任务2：根据图形得出正多边形和圆的相关概念.24.4弧长与扇形面积1.会计算圆的弧长、扇形的面积2.掌握圆锥侧面展开图学生能利用弧长公式、扇形面积公式解决问题任务1：学生通过探究弧长与圆的周长之间的关系得出弧长的计算公式任务2：学生通过探究扇形与圆的面积之间的关系得出扇形的面积计算公式任务3：通过观察圆锥侧面展开图，推出圆锥侧面积的计算方法
任务1：通过例子引出圆的概念
任务2：例题求证四点共圆
24.1.1圆
任务3：归纳圆中相关概念
活动1：探究圆的对称性从而得出垂径定理
活动2：探究切线长定理
活动3：思考在三角形上截下一块圆形，得出三角形内切圆
24.2.2.3切线长定理
活动1：研究圆外一点作两条圆的切线之间的关系，得出切线长概念
24.2.2.2切线的性质与判定
活动3：例题
活动2：探究切线的性质定理
活动1：思考经过半径外端作垂线，这条直线与圆的位置关系，概括切线的概念
活动3：思考直线与圆的位置关系中数量关系的表述
活动2：理解直线与圆的关系中的相关概念
活动1： 通过日出得出直线与圆的位置关系
24.2.2.1直线和圆的位置关系
活动4：思考经过同一条直线上的三点能作出一个圆，得出反证法
活动3：思考不在同一条直线上的三点作圆，找到确定圆心的方法
24.2.1点和圆的位置关系
活动2：探究经过一个点、两个点作圆得出圆心分布的特点
活动1：通过问题得出点和圆的三种位置关系
圆
活动4：通过思考四个角的关系得出圆内接四边形的性质
24.1.4圆周角
活动3：通过例题得出圆内接四边形的概念
活动2：通过学生活动探究圆周角定理及推论
活动1：通过导入总结出圆周角的概念
活动2：验证垂径定理
活动3：例题解析
24.1.2垂直于弦的直径
24.1.3弧、弦、圆心角
活动3：例题解析
活动2：思考圆心角，弧，弦之间的关系
活动1：探究圆的中心对称性以及得出圆心角概念
24.4.2弧长及扇形的面积
活动1：通过引例得出圆锥的有关概念
活动2：思考圆锥侧面展开图，并学会计算圆锥的侧面积
活动3：例题
24.3正方形和圆
24.4.1弧长及扇形的面积
活动1： 回忆正多边形的概念知道圆与正多边形的关系
活动2：画圆内接正五边形得出相关概念
活动3：例题
活动4：练习画圆内接正多边形
活动2：例题
活动3：思考扇形面积与圆面积的关系
活动4：例题
活动1：思考弧长与圆周长的关系
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