第13章轴对称单元测试卷（含答案）
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第13章轴对称单元测试卷
时间:100分钟 分值:120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是 【 】
2.如图所示,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,且∠A =78°,∠C'=48°,则∠B的度数为 【 】
A.48° B.54° C.74° D.78°
3.如图所示，直线MN是四边形 AMBN 的对称轴，点P是直线 MN上的点，下列判断错误的是 【 】
A. AM=BM B. AP=BN
C.∠MAP=∠MBP D.∠ANM =∠BNM
4.已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A'的坐标为 【 】
A.(-4,2) B.(-4,-2)
C.(4,-2) D.(4,2)
5.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是 【 】
A.6 B.7 C.8 D.9
6.已知等腰△ABC中,AD⊥BC 于点 D,且 则△ABC底角的度数为 【 】
A.45° B.75°
C.45°或15°或75° D.60°
7.如图所示,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,已知AB=3,AD=1,则△AED的周长为 【 】
A.2 B.3 C.4 D.5
8.如图所示,在等边△ABC中,D是AB 的中点,DE⊥AC于 E,EF⊥BC于F,已知AB=8,则BF的长为 【 】
A.3 B.4 C.5 D.6
9.如图所示，直线L是一条河，P、Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是 【 】
10.如图所示,等边△ABC的边长为4,AD是 BC边上的中线,F是AD上的动点,E 是 AC 边上一点,若AE =2,当 EF+CF 取得最小值时,∠ECF的度数为 【 】
A.15° B.22.5° C.30° D.45°
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.如图所示，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有 种.
12.如图所示，已知线段AB，分别以点A 和点B 为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于 C、D两点，作直线 CD交AB于点E，在直线CD上任取一点 F,连接 FA、FB.若FA=5,则FB= .
13.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A =80°,E、F、P分别是 AB、AC、BC边上的一点且BE=BP,CP=CF,则∠EPF= .
14.如图所示,在三角形纸片 ABC中,∠C=90°,AC=6,折叠该纸片,使点C落在AB边上的D点处,折痕BE与AC交于点E,若AD=BD,则折痕BE的长为 .
15.在三角形纸片 ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点D(不与B、C重合)是BC上任意一点.将此三角形纸片按下列方式(如图所示)折叠.若EF的长度为a，则△DEF的周长为 (用含a的式子表示).
三、解答题(共8个小题，共75分)
16.在3×3 的正方形格点图中,有格点△ABC 和△DEF,且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在备用图中画出四个这样的△DEF.
17.△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示. A、B、C三点在格点上.
(1)作出△ABC关于γ轴对称的△A B C ,并写出点 C 的坐标;
(2)作出△ABC关于直线y= -1 对称的△A B C ,并写出点 C 的坐标.
18.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,将Rt△ABC 向下翻折,使点A与点C重合,折痕为 DE.求证:DE∥BC.
19.公园内两条小河 MO、NO 在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示).现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费最少
20.如图所示,△ABC为等边三角形,已知D为△ABC外一点,且BD=CD,∠BDC=120°,M、N分别为 AB、AC上的点,若BM+CN=MN,求∠MDN 的度数.
21.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°.
(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC 于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后,求∠BDC 的度数.
22.如图所示,在△ABC中,点 D、E分别在边 AC、AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:①∠EBO =∠DCO;②BE = CD;③OB=OC.
(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形 (用序号写出所有成立的情形)
(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程.
23.在数学探究课上，老师出示了如下探究问题，请你一起来探究.
已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD,连接AD、BE 交于点 P.
(1)如图1所示，当点C 在线段AB上移动时，线段AD与BE 的数量关系是: ;
(2)如图2所示,当点C在直线AB外,且∠ACB<120°,上面的结论是否还成立 若成立请证明；若不成立，请说明理由.此时∠APE的大小是否随着∠ACB的大小的变化而发生变化 若变化则写出变化规律，若不变则求出∠APE 的度数；
(3)如图3所示，在(2)的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形 ABF，连接 AD、BE 和 CF 交于点 P，求证：PB + PC +PA=BE.
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第三次单元试卷
一、1-10DBBDCCCCDC
二、11.3 .12.5. 13.50° 14.4
15.3a 【解析】本题主要考查三角形的基本概念.由折叠的性质可知∠EDB=∠B=30°,DF∥AC.∵ AC⊥BC,∴ DF⊥BC.∴∠EDF=∠BDF-∠EDB =90°-30°=60°.又∵∠DEF 是△BED的外角,∴∠DEF=∠B+∠EDB=30°+30°=60°,∴△DEF是等边三角形.已知EF=a,则 DF =DE =EF =a,∴△DEF 的周长为 3a.
三、16.如图所示
17.(1)C ( -3,2) (2)C (3,-4)
18.略
19.如图所示，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交OM、ON于Q、R两点,连接 PQ、PR,则P'Q=PQ,PR=P'R,则Q、R就是小桥所在的位置.
20.∠MDN=60°.(提示:延长AB至E,使BE=CN,连接 DE)
21.(1)作图如下:
(2)∠BDC=72°.
22.(1)①②;①③ (2)略
23.解:(1)AD=BE.
(2)AD=BE成立,∠APE不随着∠ACB的大小发生变化,始终是60°.
证明:∵△ACE和△BCD是等边三角形,
∴EC=AC,BC=DC,∠ACE=∠BCD=60°.
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB,即∠ECB=∠ACD.
在△ECB 和△ACD中
∴△ECB≌△ACD(SAS).
∴AD=BE,∠CEB=∠CAD.
设BE与AC 交于 Q,则∠AQP =∠EQC,∠AQP +∠QAP+∠APQ =∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°.
∴∠APQ=∠ECQ=60°,即∠APE=60°.
(3)由(2)同理可得∠CPE=∠EAC=60°;在PE上截取 PH=PC,连接 HC,则△PCH为等边三角形.
∴HC=PC,△CHP=60°.∴∠CHE=120°.
又∵∠APE=∠CPE=60°,∴∠CPA=120°.∴∠CPA=∠CHE.
在△CPA和△CHE中
∴△CPA≌△CHE(AAS).∴AP=EH.
∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE.
时间:100分钟 分值:120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是 【 】
2.如图所示,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,且∠A =78°,∠C'=48°,则∠B的度数为 【 】
A.48° B.54° C.74° D.78°
3.如图所示，直线MN是四边形 AMBN 的对称轴，点P是直线 MN上的点，下列判断错误的是 【 】
A. AM=BM B. AP=BN
C.∠MAP=∠MBP D.∠ANM =∠BNM
4.已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A'的坐标为 【 】
A.(-4,2) B.(-4,-2)
C.(4,-2) D.(4,2)
5.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是 【 】
A.6 B.7 C.8 D.9
6.已知等腰△ABC中,AD⊥BC 于点 D,且 则△ABC底角的度数为 【 】
A.45° B.75°
C.45°或15°或75° D.60°
7.如图所示,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,已知AB=3,AD=1,则△AED的周长为 【 】
A.2 B.3 C.4 D.5
8.如图所示,在等边△ABC中,D是AB 的中点,DE⊥AC于 E,EF⊥BC于F,已知AB=8,则BF的长为 【 】
A.3 B.4 C.5 D.6
9.如图所示，直线L是一条河，P、Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是 【 】
10.如图所示,等边△ABC的边长为4,AD是 BC边上的中线,F是AD上的动点,E 是 AC 边上一点,若AE =2,当 EF+CF 取得最小值时,∠ECF的度数为 【 】
A.15° B.22.5° C.30° D.45°
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.如图所示，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有 种.
12.如图所示，已知线段AB，分别以点A 和点B 为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于 C、D两点，作直线 CD交AB于点E，在直线CD上任取一点 F,连接 FA、FB.若FA=5,则FB= .
13.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A =80°,E、F、P分别是 AB、AC、BC边上的一点且BE=BP,CP=CF,则∠EPF= .
14.如图所示,在三角形纸片 ABC中,∠C=90°,AC=6,折叠该纸片,使点C落在AB边上的D点处,折痕BE与AC交于点E,若AD=BD,则折痕BE的长为 .
15.在三角形纸片 ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点D(不与B、C重合)是BC上任意一点.将此三角形纸片按下列方式(如图所示)折叠.若EF的长度为a，则△DEF的周长为 (用含a的式子表示).
三、解答题(共8个小题，共75分)
16.在3×3 的正方形格点图中,有格点△ABC 和△DEF,且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在备用图中画出四个这样的△DEF.
17.△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示. A、B、C三点在格点上.
(1)作出△ABC关于γ轴对称的△A B C ,并写出点 C 的坐标;
(2)作出△ABC关于直线y= -1 对称的△A B C ,并写出点 C 的坐标.
18.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,将Rt△ABC 向下翻折,使点A与点C重合,折痕为 DE.求证:DE∥BC.
19.公园内两条小河 MO、NO 在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示).现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费最少
20.如图所示,△ABC为等边三角形,已知D为△ABC外一点,且BD=CD,∠BDC=120°,M、N分别为 AB、AC上的点,若BM+CN=MN,求∠MDN 的度数.
21.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°.
(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC 于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后,求∠BDC 的度数.
22.如图所示,在△ABC中,点 D、E分别在边 AC、AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:①∠EBO =∠DCO;②BE = CD;③OB=OC.
(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形 (用序号写出所有成立的情形)
(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程.
23.在数学探究课上，老师出示了如下探究问题，请你一起来探究.
已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD,连接AD、BE 交于点 P.
(1)如图1所示，当点C 在线段AB上移动时，线段AD与BE 的数量关系是: ;
(2)如图2所示,当点C在直线AB外,且∠ACB<120°,上面的结论是否还成立 若成立请证明；若不成立，请说明理由.此时∠APE的大小是否随着∠ACB的大小的变化而发生变化 若变化则写出变化规律，若不变则求出∠APE 的度数；
(3)如图3所示，在(2)的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形 ABF，连接 AD、BE 和 CF 交于点 P，求证：PB + PC +PA=BE.
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第三次单元试卷
一、1-10DBBDCCCCDC
二、11.3 .12.5. 13.50° 14.4
15.3a 【解析】本题主要考查三角形的基本概念.由折叠的性质可知∠EDB=∠B=30°,DF∥AC.∵ AC⊥BC,∴ DF⊥BC.∴∠EDF=∠BDF-∠EDB =90°-30°=60°.又∵∠DEF 是△BED的外角,∴∠DEF=∠B+∠EDB=30°+30°=60°,∴△DEF是等边三角形.已知EF=a,则 DF =DE =EF =a,∴△DEF 的周长为 3a.
三、16.如图所示
17.(1)C ( -3,2) (2)C (3,-4)
18.略
19.如图所示，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交OM、ON于Q、R两点,连接 PQ、PR,则P'Q=PQ,PR=P'R,则Q、R就是小桥所在的位置.
20.∠MDN=60°.(提示:延长AB至E,使BE=CN,连接 DE)
21.(1)作图如下:
(2)∠BDC=72°.
22.(1)①②;①③ (2)略
23.解:(1)AD=BE.
(2)AD=BE成立,∠APE不随着∠ACB的大小发生变化,始终是60°.
证明:∵△ACE和△BCD是等边三角形,
∴EC=AC,BC=DC,∠ACE=∠BCD=60°.
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB,即∠ECB=∠ACD.
在△ECB 和△ACD中
∴△ECB≌△ACD(SAS).
∴AD=BE,∠CEB=∠CAD.
设BE与AC 交于 Q,则∠AQP =∠EQC,∠AQP +∠QAP+∠APQ =∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°.
∴∠APQ=∠ECQ=60°,即∠APE=60°.
(3)由(2)同理可得∠CPE=∠EAC=60°;在PE上截取 PH=PC,连接 HC,则△PCH为等边三角形.
∴HC=PC,△CHP=60°.∴∠CHE=120°.
又∵∠APE=∠CPE=60°,∴∠CPA=120°.∴∠CPA=∠CHE.
在△CPA和△CHE中
∴△CPA≌△CHE(AAS).∴AP=EH.
∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE.