2023- 2024学年蠡口中学初二年级 10月份月考数学试卷
一、选择题(每题 3分，共 24分)
1.下列博物院的标识中是轴对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
2.在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中
间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的 ( )
A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点
3.已知四个实数：3，- 2，π， 5，是有理数的是 ( )
A. 3 B. - 2 C. π D. 5
4.若一个正数 a的平方根是 2x- 7与 2- x，则 a的值是 ( )
A. 5 B. 3 C. - 3 D. 9
5.如图，△ABC中，AB= 6cm，AC= 8cm，BC的垂直平分线 l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 ( )
A. 10cm B. 12cm C. 14cm D. 16cm
第5题图 第7题图 第8题图
6.下列对△ABC的判断，错误的是 ( )
A. 若∠A：∠B：∠C= 1：2：3，则△ABC是直角三角形
B. 若AB=BC，∠C= 50°，则∠B= 50°
C. 若AB=BC，∠A= 60°，则△ABC是等边三角形
D. 若∠A= 20°，∠C= 80°，则△ABC是等腰三角形
7.如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE= 1.5，则AB的长
为 ( )
A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 7.5
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC= 9，BC= 12，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC
上的动点，则PC+PQ的最小值是 ( )
A. 24 B. 365 5 C. 12 D. 15
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二、填空题 (每空 3分，共 30分)
9.在“线段、圆、等边三角形、正方形、角”这五个图形中，对称轴最多的图形是 ．
10.已知等腰三角形的两边长为 4和 6，则它的周长为 ．
11.四舍五入得到的近似数 6.49万，精确到 位．
12.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE= 3cm，△ABD的周长为 13cm，则△ABC的周长为
cm．
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
13.如图，等边三角形ABC，P为BC上一点，且∠1=∠2，则∠3的大小为 (度)．
14.如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD= 20°，则∠ACE的度数
是 ．
15.如图，点O在△ABC内部，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若△ABC的周长为 30，且
OD= 3，则△ABC的面积为 ．
16.用“*”表示一种新运算：对于任意正实数 a，b，都有 a * b= b + a．例如 4 * 9= 9 + 4= 7，那么 15 * 196=
．
17.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF平行BC交AC于M，若CM= 5，
则CE 2+CF 2的值为 ．
第17题图 第18题图
18.已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC= 120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段
AD上一点，OP=OC，下面的结论：
①∠APO+∠DCO= 30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是 ． (填序号)
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三、解答题(本大题共 9小题，共 76 分)
19.如图，在长度为 1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与△ABC关于直线 l成轴对称的△A′B′C′；
(2)在直线 l上找一点Q，使得BQ=AQ；
20.计算
(1) 9- (-6)2- 3 27 (2) 2- 3 - 3- 2 ．
21.求下列各式中 x的值．
(1)27(x+ 1)3=-64； (2) (x+ 1)2= 25．
22.如图，点D在△ABC的边AB上，且∠ACD=∠A．
(1)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在 (1)的条件下，∠BDC=∠ACD+∠A，判断直线DE与直线AC的位置关系．
23.已知 5a+ 2的立方根是 3，3a+ b的算术平方根是 4，c是 11 的整数部分．
(1)求 a，b，c的值；
(2)求 a+ b+ c的平方根．
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24.如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
(1)若△CMN的周长为 15cm，求AB的长；
(2)若∠MFN= 70°，可求出∠MCN的度数为 ．
25.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)已知AB= 12，AC= 20，求BE的长．
26.如图，在△ABC中，AD为 BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点 F为AE上一点，连接 BF，∠BFE=
45°．
(1)求证：BF平分∠ABE；
(2)连接CF交AD于点G，若S△ABF=S△CBF，求证：∠AFC= 90°；
(3)在 (2)的条件下，当BE= 3，AG= 4.5时，求线段AB的长．
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27.如图，在等边△ABC中，AB= 9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以 2cm/s的速度移动，点Q从B点出
发沿BA边向A点以 5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为 t秒钟．
(1)请用 t的代数式表示BP和BQ的长度：BP= ，BQ= ．
(2)若点Q在到达点A后继续沿三角形的边长向点C移动，同时点P也在继续移动，请问在点Q从点A到点
C的运动过程中，t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成 4：5两部分？
(3)若 P、Q两点都按顺时针方向沿 △ABC三边运动，请问在它们第一次相遇前，t为何值时，点 P、Q能与
△ABC的一个顶点构成等边三角形？
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参考答案与试题解析
一、选择题 (每题 3分，共 24分)
1.下列博物院的标识中是轴对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2.在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中
间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的 ( )
A.三边垂直平分线的交点 B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点 D.三条高所在直线的交点
【答案】A
【解答】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，
∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等，
∴凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点．
故选：A．
3.已知四个实数：3，- 2，π， 5，是有理数的是 ( )
A. 3 B. - 2 C. π D. 5
【答案】A
【解答】解：3，- 2，π， 5有理数有：3，．
故选：A．
4.若一个正数 a的平方根是 2x- 7与 2- x，则 a的值是 ( )
A. 5 B. 3 C. - 3 D. 9
【答案】D
【解答】解：∵正数 a的平方根是 2x- 7与 2- x，
∴ 2x- 7+ 2- x= 0，
解得：x= 5，
∴ a= (2- 5)2= 9，
故选：D．
5.如图，△ABC中，AB= 6cm，AC= 8cm，BC的垂直平分线 l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 ( )
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A. 10cm B. 12cm C. 14cm D. 16cm
【答案】C
【解答】解：∵BC的垂直平分线 l与AC相交于点D，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC= 14(cm)，
故选：C．
6.下列对△ABC的判断，错误的是 ( )
A.若∠A：∠B：∠C= 1：2：3，则△ABC是直角三角形
B.若AB=BC，∠C= 50°，则∠B= 50°
C.若AB=BC，∠A= 60°，则△ABC是等边三角形
D.若∠A= 20°，∠C= 80°，则△ABC是等腰三角形
【答案】B
【解答】解：A．若∠A：∠B：∠C= 1：2：3，则∠A= 30°，∠B= 60°，∠C= 90°，
所以△ABC是直角三角形，故此选项正确，不符合题意；
B．若AB=BC，∠C= 50°，
则∠A=∠C= 50°，∠B= 80°，故此选项错误，符合题意；
C．若AB=BC，∠A= 60°，则∠A=∠C= 60°，∠B= 60°，
所以△ABC是等边三角形，故此选项正确，不符合题意；
D．若∠A= 20°，∠C= 80°，则∠B= 80°，∠C=∠B= 80°，
所以△ABC是等腰三角形，故此选项正确，不符合题意．
故选：B．
7.如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE= 1.5，则AB的长
为 ( )
A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 7.5
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C= 60°，AB=BC=AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE= 30°，
∵EC= 1.5，
∴CD= 2EC= 3，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD=CD= 3，
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∴AB=AC=AD+CD= 6．
故选：C．
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC= 9，BC= 12，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC
上的动点，则PC+PQ的最小值是
( )
A. B. C. 12 D. 15
【答案】B
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点 E，过点 E作 EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+
PQ=EQ取最小值，如图所示．
在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC= 9，BC= 12，
∴AB= AC2+BC2= 15= 15．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中，
∠CAD=∠EAD
∠ACD=∠AED= 90°，AD=AD
∴△ACD≌△AED(AAS)，
∴AE=AC= 9．
∵EQ⊥AC，∠ACB= 90°，
∴EQ∥BC，
∴ AE = QE 9 = QE，即
AB BC 15 12
∴EQ= 365 ．
故选：B．
一、填空题 (每空 3分，共 30分)
9.在“线段、圆、等边三角形、正方形、角”这五个图形中，对称轴最多的图形是 圆 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：线段是轴对称图形，有 2条对称轴；
圆是轴对称图形，有无数条对称轴；
等边三角形是轴对称图形，有 3条对称轴；
正方形是轴对称图形，有四条对称轴；
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角是轴对称图形，有 1条对称轴；
故在“线段、圆、等边三角形、正方形、角”这五个图形中，对称轴最多的图形是圆．
故答案为：圆．
10.已知等腰三角形的两边长为 4和 6，则它的周长为 14或 16 ．
【答案】14或 16．
【解答】解：分两种情况：
当腰长为 4，底边长为 6时，这个等腰三角形的周长= 4+ 4+ 6= 14；
当腰长为 6，底边长为 5时，这个等腰三角形的周长= 6+ 6+ 4= 16；
综上所述：这个等腰三角形的周长等于 14或 16，
故答案为：14或 16．
11.四舍五入得到的近似数 6.49万，精确到 百 位．
【答案】百．
【解答】解：6.49万= 64900，精确到百位，
故答案为：百．
12.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE= 3cm，△ABD的周长为 13cm，则△ABC的周长为 19
cm．
【答案】19．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE= 3cm，
∴AC= 2AE= 6(cm)，DA=DC，
∵△ABD的周长为 13cm，
∴AB+BD+AD= 13cm，
∴AD+BD+DC= 13cm，
∴AB+BC= 13cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC
= 13+ 6
= 19(cm)，
故答案为：19．
13.如图，等边三角形ABC，P为BC上一点，且∠1=∠2，则∠3的大小为 60 (度)．
【答案】60．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B= 60°，
∵∠APC=∠2+∠3=∠1+∠B，
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又∠1=∠2，
∴∠3=∠B= 60°，
故答案为：60．
14.如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD= 20°，则∠ACE的度数
是 35° ．
【答案】35°．
【解答】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴∠BAD=∠CAD= 20°，∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB= 180° -40°2 = 70° = 70°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE= 12 ∠ACB= 35°，
故答案为：35°．
15.如图，点O在△ABC内部，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若△ABC的周长为 30，且
OD= 3，则△ABC的面积为 45 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE=OD= 3，OF=OD= 3，
∵S△AOB+S△BOC+S△AOC=S△ABC，
∴S 1△ABC= 2 × 3×AB+
1
2 × 3×BC+
1
2 × 3×AC=
1
2 × 3× (AB+BC+AC)，
而△ABC的周长为 30，即AB+BC+AC= 30，
∴S 1△ABC= 2 × 3× 30= 45．
故答案为 45．
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16.用“*”表示一种新运算：对于任意正实数 a，b，都有 a * b= b + a．例如 4 * 9= 9 + 4= 7，那么 15 * 196=
29 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题中的新定义得： 196+ 15= 14+ 15= 29．
故答案为：29
17.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF平行BC交AC于M，若CM= 5，
则CE 2+CF 2的值为 100 ．
【答案】100．
【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE= 12 ∠ACB，∠ACF=
1
2 ∠ACD，
即∠ECF= 12 (∠ACB+∠ACD) = 90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF= 5，
∴EF= 10，
由勾股定理得：CE 2+CF 2=EF 2= 100．
18.已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC= 120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段
AD上一点，OP=OC，下面的结论：
①∠APO+∠DCO= 30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是 ①③ ． (填序号)
【答案】①③．
【解答】解：①连接OB，如图 1所示：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD= 12 ∠BAC，
∵∠BAC= 120°，
∴∠BAD= 12 × 120° = 60°，
∴OB=OC，∠ABC= 90° -∠BAD= 30°，
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD= 30°，
故①选项正确；
②由①可知，∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
初二数学 第 6页 共 13页
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∴∠ABO与∠DBO不一定相等，
∴∠APO与∠DCO不一定相等，
故②选项不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC= 180°，
∴∠APC+∠DCP= 150°，
∵∠APO+∠DCO= 30°，
∴∠OPC+∠OCP= 120°，
∴∠POC= 180° - (∠OPC+∠OCP) = 60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形，
故③选项正确，
故答案为：①③．
二、解答题 (本大题共 9小题，共 76 分)
19.如图，在长度为 1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与△ABC关于直线 l成轴对称的△A′B′C′；
(2)在直线 l上找一点Q，使得BQ=AQ；
【答案】见解析．
【解答】解：(1)如图，△A'B'C '即为所求；
(2)如图，作线段AB的垂直平分线交 l于点Q，则Q点即为所求点；
20.计算
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(1) 9- (-6)2- 3 27 (2) 2- 3 - 3- 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：(1)原式= 3- 6+ 3= 0；
(2)原式= 3- 2- 3+ 2= 0．
21.求下列各式中 x的值．
(1)27(x+ 1)3=-64；
(2) (x+ 1)2= 25．
【答案】(1)x=- 73 ；
(2)：x= 4或 x=-6．
【解答】解：(1)27(x+ 1)3=-64，
∴ (x+ 1)3=- 6427
∴ x+ 1=- 43 ，
7
解得：x=- 3 ；
(2) (x+ 1)2= 25，
∴ x+ 1=±5，
解得：x= 4或 x=-6．
22.如图，点D在△ABC的边AB上，且∠ACD=∠A．
(1)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在 (1)的条件下，∠BDC=∠ACD+∠A，判断直线DE与直线AC的位置关系．
【答案】(1)见解答；
(2)DE∥AC．
【解答】解：(1)如图，DE为所作；
(2) ∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE= 12 ∠BDC，
∵∠ACD=∠A，∠BDC=∠ACD+∠A，
∴∠A= 12 ∠BDC．
∴∠A=∠BDE，
∴DE∥AC．
23.已知 5a+ 2的立方根是 3，3a+ b的算术平方根是 4，c是 11的整数部分．
(1)求 a，b，c的值；
(2)求 a+ b+ c的平方根．
【答案】(1)a= 5，b= 1，c= 3；
(2) ± 3．
初二数学 第 8页 共 13页
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【解答】解：(1) ∵ 5a+ 2的立方根是 3，3a+ b的算术平方根是 4，
∴ 5a+ 2= 27，3a+ b= 16，
∴ a= 5，b= 1，
∵ 9< 11< 16，
∴ 3< 11< 4，
∴ c= 3；
(2)将 a= 5，b= 1，c= 3，
代入得：a+ b+ c= 9，
∴ a+ b+ c的平方根是±3．
24.如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
(1)若△CMN的周长为 15cm，求AB的长；
(2)若∠MFN= 70°，可求出∠MCN的度数为 40° ．
【答案】(1)15cm；
(2)40°．
【解答】解：(1) ∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴MA=MC，BN=CN，
∵△CMN的周长为 15cm，
∴CM+MN+CN= 15(cm)，
∴AB=AM+MN+BN=CM+MN+BN= 15(cm)；
(2) ∵MA=MC，MD⊥AC，
∴∠AMD=∠CMD，
同理可知，∠BNE=∠CNE，
∵∠MFN= 70°，
∴∠FMN+∠FNM= 180° -70° = 110°，
∴∠AMD+∠BNE= 110°，
∴∠AMC+∠BNC= 220°，
∴∠CMN+∠CNM= 360° -220° = 140°，
∴∠MCN= 180° -140° = 40°，
故答案为：40°．
25.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)已知AB= 12，AC= 20，求BE的长．
【答案】(1)证明过程见解答；
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(2)4．
【解答】(1)证明：∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠E=∠DFC= 90°，
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
BD=CD BE=CF
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=AD ，DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴∠DAB=∠DAC，AE=AF，
∴AD平分∠BAC．
(2)解：∵AE=AF，
∴AB+BE=AF，
∴AB+ 2BE=AF+BE，
∵BE=CF，
∴AB+ 2BE=AF+CF=AC，
∵AB= 12，AC= 20，
∴ 12+ 2BE= 20，
∴BE= 4．
26.如图，在△ABC中，AD为 BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点 F为AE上一点，连接 BF，∠BFE=
45°．
(1)求证：BF平分∠ABE；
(2)连接CF交AD于点G，若S△ABF=S△CBF，求证：∠AFC= 90°；
(3)在 (2)的条件下，当BE= 3，AG= 4.5时，求线段AB的长．
【答案】(1) (2)见解答；
(3)7.5．
【解答】(1)证明：∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠BAD= 2∠BAF，
∵∠BFE= 45°，
∴∠FBA+∠BAF= 45°，
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∴ 2∠FBA+ 2∠BAF= 90°，
∵AD为BC边上的高，
∴∠EBF+∠FBA+ 2∠BAF= 90°，
∴ 2∠FBA=∠EBA+∠FBA，
∴∠EBF=∠FBA，
∴BF平分∠ABE；
(2)证明：过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，
∵BF平分∠ABE，FM⊥BC，FN⊥AB，
∴FM=FN，
∵S△ABF=S△CBF，
1
即 2 AB FN=
1
2 BC FM，
∴AB=BC，
在△ABF和△CBF中，
BA=BC ∠ABF=∠CBF，BF=BF
∴△ABF≌△CBF(SAS)，
∴∠AFB=∠CFB，
∵∠BFE= 45°
∴∠AFB= 135°，
∴∠CFB= 135°，
∴∠CFE=∠CFB-∠BFE= 135° -45° = 90°，
∴∠AFC= 90°；
(3)解：∵△ABF≌△CBF，
∴AF=FC，
∵∠AFC=∠ADC= 90°，∠AGF=∠CGD，
∴∠FAG=∠FCE，
在△AFG和△CFE中，
∠AFG=∠CFE AF=CF ，∠FAG=∠FCE
∴△AFG≌△CFE(ASA)，
∴AG=EC= 4.5，
∵BE= 3，
∴BC=BE+EC= 7.5，
∵△ABF≌△CBF，
∴AB=BC= 7.5．
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27.如图，在等边△ABC中，AB= 9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以 2cm/s的速度移动，点Q从B点出
发沿BA边向A点以 5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为 t秒钟．
(1)请用 t的代数式表示BP和BQ的长度：BP= 9- 2t ，BQ= 5t ．
(2)若点Q在到达点A后继续沿三角形的边长向点C移动，同时点P也在继续移动，请问在点Q从点A到点
C的运动过程中，t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成 4：5两部分？
(3)若 P、Q两点都按顺时针方向沿 △ABC三边运动，请问在它们第一次相遇前，t为何值时，点 P、Q能与
△ABC的一个顶点构成等边三角形？
【答案】(1)BP= 9- 2t，BQ= 5t；
(2)t= 2s；
(3)t= 97 s
18 36
或 7 s或 7 s．
【解答】解：(1) ∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB= 9cm，
∵点P的速度为 2cm/s，时间为 ts，
∴CP= 2t，
则PB=BC-CP= (9- 2t)cm；
∵点Q的速度为 5cm/s，时间为 ts，
∴BQ= 5t；
故答案为：9- 2t，5t；
(2)当点Q在到达点A后继续沿三角形的边长向点C移动，设 ts时，直线PQ把△ABC的周长分成 4：5两部
分，如图，
第 1部分周长为：AB+AQ′ +BP′ = 9+ 5t- 9+ 9- 2t= 9+ 3t，
第 2部分周长为：CP′ +CQ′ = 2t+ 18- 5t= 18- 3t，
① (9+ 3t)：(18- 3t) = 4：5，
解得 t= 1(A到C的运动过程，所以舍去)，
② (18- 3t)：(9+ 3t) = 4：5，
解得 t= 2，
答：t为 2s时，直线PQ把△ABC的周长分成 4：5两部分；
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(3)①若△PBQ为等边三角形，
则有BQ=BP=PQ，即 9- 2t= 5t，
9
解得 t= 7 (s)，
所以当 t= 97 s时，它们第一次相遇前，点P、Q能与△ABC的顶点B构成等边△PBQ；
②若△PCQ为等边三角形，
则有PQ=PC=CQ，即 18- 5t= 2t，
18
解得 t= 7 (s)，
所以当 t= 187 s时，它们第一次相遇前，点P、Q能与△ABC的顶点C构成等边△PCQ；
③当Q在BC上，P在AB上，若△PBQ为等边三角形，
则有BQ=BP=PQ，即 2t- 9= 27- 5t．
t= 36解得 7 (s)，
t= 36所以当 7 s时，它们第一次相遇前，点P、Q能与△ABC的顶点B构成等边△PBQ；
t= 9 s 18 s 36综上所述：当 7 或 7 或 7 s．，点P、Q能与△ABC的一个顶点构成等边三角形．
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