苏教版（2019）必修第一册 第八章《函数应用》同步练习（含解析）

专题练习《函数应用》
一．选择题（共12小题）
1．充电电池是电动汽车的核心部件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向．已知电池充入的电量E（单位：kW h）与充电时间t（单位：min）满足函数E（t）＝M（1﹣e﹣kt），其中M表示电池的容量，k表示电池的充电效率．研究人员对A，B两个型号的电池进行充电测试，电池A的容量为80kW h，充电30min充入了40kW h的电量；电池B的容量为60kW h，充电15min充入了20kW h的电量．设电池A的充电效率为k1，电池B的充电效率为k2，则（　　）
A．k1＞k2
B．k1＜k2
C．k1＝k2
D．k1，k2大小关系无法确定
2．折纸是我国民间的一种传统手工艺术．现有一张长10cm、宽8cm的长方形的纸片，将纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为S1，S2．若S1：S2＝1：3，则折痕长的最大值为（　　）
A．cm B．10cm C．2cm D．2cm
3．某科技有限公司为了鼓励员工创新，打破发达国家的芯片垄断，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2018年全年投入的研发资金为200万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过400万元的年份是（　　）
（参考数据：1.16＝1.77，1.17＝1.95，1.18＝2.14，1.19＝2.36）
A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年
4．若某商店将进货单价为6元的商品按每件10元出售，则每天可销售100件，现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就要减少10件，那么要保证该商品每天的利润在450元以上，售价应定为（　　）
A．11元 B．11元到15元之间
C．15元 D．10元到14元之间
5．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（　　）
A． B．2 C． D．
6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点B（﹣2，3），若将军从点A（2，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝3，则“将军饮马”的最短总路程为（　　）
A． B． C． D．
7．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停止新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变．经科学测定，14C的半衰期为5730（设14C的原始量为1，经过x年后，14C的含量f（x）＝ax，即f（5730）＝）．现有一古物，测得14C为原始量的79.37%，则该古物距今约多少年？（　　）（参考数据：≈0.7937，≈0.9998）
A．1910 B．3581 C．9168 D．17190
8．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（　　）（参考数据ln19≈3）
A．60 B．62 C．66 D．63
9．有一组实验数据如表所示：
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是（　　）
A．y＝2x+1﹣1 B．y＝x2﹣1 C．y＝2log2x D．y＝x3
10．已知函数f（x）＝，在下列区间中，包含f（x）的零点的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）
11．冈珀茨模型（y＝ka）是由冈珀茨（Gompertz）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律．已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：y＝k0 e（当t＝0时，表示2020年初的种群数量），若m（m∈N）年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为（　　）（ln2≈0.7）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．某高校为加强学科建设，制定了第“十四五”（2021﹣2025）规划，计划逐年加大科研资金投入，已知该校计划2021年全年投入科研资金20万元，2025年全年投入科研资金28万元，则第“十四五”期间，投入科研资金的年均增长率约为（　　）
A．1.4﹣1 B．1.4﹣1 C．log1.45﹣1 D．log1.44﹣1
二．填空题（共4小题）
13．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为．现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如表：
t（单位时间） 0 2 4 6 8 10
A（t） 320 226 160 115 80 57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为 　 　个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A（t）＝　 　．
14．为了参加校教职工运动会，某校高三年级组准备为本年级教师订制若干件文化衫，经与厂家协商，可按出厂价结算，同时厂家也承诺超过50件就可以每件比出厂价低22元给予优惠．如果按出厂价购买年级组总共应付a元，但若再多买15件就可以达到优惠条件并恰好也是共付a元（a为整数），则a的值为 　 　．
15．某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P（单位：亿元）与时间t（单位：年）之间的关系为P（t）＝P（1+10%）t，其中P为t＝0时的P值．假定P＝2，那么在t＝10时，GDP增长的速度大约是 　 　．（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：1.110≈2.59，当x取很小的正数时，ln（1+x）≈x．
16．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果显示，截止2020年底，我国总人口数约为14亿，同2010年第六次全国人口普查数据相比，年平均增长率约为0.53%．若按此增长率，30年后我国人口总数约为 　 　亿；为应对人口老龄化带来的挑战，改善我国人口结构，保持我国人力资源禀赋优势，党中央进一步优化了生育政策：若希望30年后，在中华人民共和国建国百年左右，我国人口超过20亿，那么人口年平均增长率应不低于 　 　%．（精确到0.1）（参考数据：1.005330≈1.1718，100.005≈1.0116，lg7≈0.85）
三．解答题（共5小题）
17．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中得到使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，如图1是一个半径为R（单位：米），有24个盛水筒的筒车，按逆时针方向匀速旋转，转一周需要120秒，为了研究某个盛水筒P离水面高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的变化关系，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy．已知t＝0时P的初始位置为点A（2，﹣2）（此时P装满水）．
（1）P从出发到开始倒水入槽需要用时40秒，求此刻P距离水面的高度（结果精确到0.1）；
（2）记与P相邻的下一个盛水筒为Q，在筒车旋转一周的过程中，求P与Q距离水面高度差的最大值（结果精确到0.1）．
18．有四个小镇恰好位于边长为10千米的菱形ABCD的四个顶点处．政府拟建公路连通四个小镇，若每千米公路的建设成本是10万元，预算为280万元，原计划按照菱形ABCD对角线修路．
（1）若预算刚好花完，求菱形ABCD的面积；
（2）若ABCD为正方形，施工队发现按照原计划修路会预算不足，于是采取如下新方案：按如图实线所示修路，其中AM＝BM＝CN＝DN，∠BAM＝θ，θ∈（0，），问：新方案能否在预算内完成修路目标？求出新方案的最低花费．
19．已知有半径为1，圆心角为α（其中α为给定的锐角）的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形．
方案1：如图1，裁剪出的矩形ABCD的顶点A，B在线段ON上，点C在弧上，点D在线段OM上；
方案2：如图2，裁剪出的矩形PQRS的顶点P，S分别在线段OM，ON上，顶点Q，R在弧上，并且满足PQ∥RS∥OE，其中点E为弧的中点．
（1）按照方案1裁剪，设∠NOC＝θ，用θ表示矩形ABCD的面积S1，并证明S1的最大值为tan；
（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面积S2的最大值，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形．
20．了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有极其要的意义．某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2分钟菌落的覆盖面积为18mm2，经过3分钟覆盖面积为27mm2，现菌落覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（单位：min）的关系有两个函数模型y＝kax（k＞0，a＞1）与y＝p+q（p＞0）可供选择．（参考数据：36＝729，37＝2187，38＝6561，39＝19683，≈1.414，≈1.732．）
（1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；
（2）在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过200mm2？（计算结果保留到整数）
21．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝﹣200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
专题练习《函数应用》
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．充电电池是电动汽车的核心部件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向．已知电池充入的电量E（单位：kW h）与充电时间t（单位：min）满足函数E（t）＝M（1﹣e﹣kt），其中M表示电池的容量，k表示电池的充电效率．研究人员对A，B两个型号的电池进行充电测试，电池A的容量为80kW h，充电30min充入了40kW h的电量；电池B的容量为60kW h，充电15min充入了20kW h的电量．设电池A的充电效率为k1，电池B的充电效率为k2，则（　　）
A．k1＞k2
B．k1＜k2
C．k1＝k2
D．k1，k2大小关系无法确定
【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】列出方程后比较k1，k2大小．
【解答】解：由题意得，则，
同理，则，得，
由指数函数单调性得﹣30k2＜﹣30k1，即k1＜k2．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数模型及其应用，属于基础题．
2．折纸是我国民间的一种传统手工艺术．现有一张长10cm、宽8cm的长方形的纸片，将纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为S1，S2．若S1：S2＝1：3，则折痕长的最大值为（　　）
A．cm B．10cm C．2cm D．2cm
【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由已知可确定，分别在三种折叠方式下利用面积建立关于折痕的函数关系式，根据二次函数和对勾函数的单调性可求得最值，由此可得结果．
【解答】解：由题意得：长方形纸片的面积为 10×8＝80（cm2），又 S1：S2＝1：3，
∴，
①当折痕如下图所示时，
设AM＝x，AN＝y，则，解得：，∴，
②当折痕如下图所示时，
设AN＝x，DM＝y，则 ，解得：，
∵f（t） 在 （25，40）上单调递减，在 （40，100）上单调递增，
又 ，∴g（x）∈[64，89]，
∴，
③当折痕如下图所示时，
设AF＝x，BE＝y，则 ，解得：，
∴EF2＝（x﹣y）2+100＝（2x﹣4）2+100，
令h（x）＝（2x﹣4）2+100（0≤x≤4），则h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增，
又h（0）＝16+100＝116，h（2）＝100，h（4）＝16+100＝116，∴h（x）∈[100，116]，
∴；
综上所述：折痕长的取值范围为；
∴折痕长的最大值为．
故选：C．
【点评】本题考查函数的实际应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
3．某科技有限公司为了鼓励员工创新，打破发达国家的芯片垄断，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2018年全年投入的研发资金为200万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过400万元的年份是（　　）
（参考数据：1.16＝1.77，1.17＝1.95，1.18＝2.14，1.19＝2.36）
A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年
【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【分析】设第n年开始400万元，由题意，列出关于n的不等式，求解即可．
【解答】解：设第n年开始超过400万元，
则200×（1+10%）n﹣2018＞400，即1.1n﹣2018＞2，
因为1.17＝1.95，1.18＝2.14，
所以当n﹣2018＝8，即n＝2026时，该公司全年投入的研发资金开始超过400万元．
故选：C．
【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
4．若某商店将进货单价为6元的商品按每件10元出售，则每天可销售100件，现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就要减少10件，那么要保证该商品每天的利润在450元以上，售价应定为（　　）
A．11元 B．11元到15元之间
C．15元 D．10元到14元之间
【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由题意列出关于利润的解析式，再求利润在450元以上的x的范围．
【解答】解：设每件商品的售价提高x（0＜x＜10）元，
则每件获得利润（4+x）元，每天可销售（100﹣10x）件．
设该商品每天的利润为y元，则
由题意有y＝（4+x）（100﹣10x）＝﹣10x2+60x+400，
要保证每天的利润在450元以上，
则﹣10x2+60x+400＞450，x ﹣6+5＜0，
得1＜x＜5，
故每件商品的售价在11元到15元之间时，能确保该商品每天的利润在450元以上．
故选：B．
【点评】本题考查函数在实际生活中的应用，属于中档题．
5．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（　　）
A． B．2 C． D．
【考点】根据实际问题选择函数类型；与直线关于点、直线对称的直线方程．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】设点A关于直线x+y＝4的对称性A'（a，b），军营所在区域的圆心为C，则A'C﹣1为最短总路程，再结合A与A’关于直线x+y＝4对称，求出A'的坐标，再结合两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：设点A关于直线x+y＝4的对称性A'（a，b），军营所在区域的圆心为C，
则A'C﹣1为最短总路程，
AA'的中点为（），直线AA'的斜率为1，
故直线AA'为y＝x﹣3，
由，解得a＝4，b＝1，
所以A'C＝，即A'C＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于中档题．
6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点B（﹣2，3），若将军从点A（2，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝3，则“将军饮马”的最短总路程为（　　）
A． B． C． D．
【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用点关于点的对称点的求法，求出点A关于直线x+y＝3的对称点A'，由三点共线取得最小值，结合两点间距离公式求解即可．
【解答】解：由题意可知，点A（2，0），
则点A（2，0）关于直线x+y＝3的对称点为A'（a，b），
则，解得a＝3，b＝1，
故A'（3，1），
又军营所在地为点B（﹣2，3），
所以“将军饮马”的最短总路程为|A'B|＝．
故选：C．
【点评】本题考查了直线在实际生活中的应用，点关于直线的对称点的求解，两点间斜率公式以及两点间距离公式的应用，两条直线垂直的充要条件的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
7．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停止新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变．经科学测定，14C的半衰期为5730（设14C的原始量为1，经过x年后，14C的含量f（x）＝ax，即f（5730）＝）．现有一古物，测得14C为原始量的79.37%，则该古物距今约多少年？（　　）（参考数据：≈0.7937，≈0.9998）
A．1910 B．3581 C．9168 D．17190
【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由f（5730）＝可得，令f（x）＝0.7937，得x＝loga0.7937，利用换底公式结合对数的运算性质即可求出x的值．
【解答】解：设14C的原始量为1，经过x年后，14C的含量f（x）＝ax，
由题意可知：f（5730）＝，即，
∴，
令f（x）＝0.7937，得：ax＝0.7937，
∴x＝loga0.7937＝＝＝＝＝1910，
∴该古物距今约1910年．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，是中档题．
8．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（　　）（参考数据ln19≈3）
A．60 B．62 C．66 D．63
【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学建模．
【分析】根据所给材料的公式列出方程＝0.95K，解出t即可．
【解答】解：由已知可得＝0.95K，解得e﹣0.23（t*﹣50）＝，
两边取对数有﹣0.23（t*﹣50）＝﹣ln19，
解得t*≈63，
故选：D．
【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，是基础题．
9．有一组实验数据如表所示：
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是（　　）
A．y＝2x+1﹣1 B．y＝x2﹣1 C．y＝2log2x D．y＝x3
【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】利用函数的表格关系判断函数的解析式的可能性，然后验证求解即可．
【解答】解：由函数的表格可知，函数的解析式应该是指数函数类型与二次函数的类型，选项C不正确；
当x＝2.01时，y＝2x+1﹣1＞4；y＝x2﹣1≈3，y＝x3＞7，
当x＝3时，y＝2x+1﹣1＝15；y＝x2﹣1≈8，y＝x3＝27，
故选：B．
【点评】本题考查函数的解析式的判断与应用，函数的模型的应用，是基础题．
10．已知函数f（x）＝，在下列区间中，包含f（x）的零点的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）
【考点】二分法的定义与应用．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】函数f（x）在其定义域上连续，同时可判断f（4）＜0，f（2）＞0；从而判断．
【解答】解：函数f（x）＝f（x）＝，在其定义域上连续，
f（4）＝﹣2＜0，
f（2）＝3﹣1＞0；
故函数f（x）的零点在区间（2，4）上，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的零点的判断与应用，属于基础题．
11．冈珀茨模型（y＝ka）是由冈珀茨（Gompertz）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律．已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：y＝k0 e（当t＝0时，表示2020年初的种群数量），若m（m∈N）年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为（　　）（ln2≈0.7）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】根据实际问题选择函数类型；对数的运算性质
转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由已知条件可得，当t＝0时，y＝，当t＝m时，y＝，由m（m∈N）年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，可得＜，再结合对数函数的公式，即可求解．
【解答】解：∵y＝k0 e，
当t＝0时，y＝，
∴当t＝m时，y＝，
∵m（m∈N）年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，
∴＜，
由题可知，k0 是大于0的常数，即2 ，两边取对数可得，ln2+1.4e﹣0.125m＜1.4，
∵ln2≈0.7，
∴，两边取对数可得，﹣0.125m＜﹣ln2≈﹣0.7，解得m＞5.6，m∈N*，
故m的最小值为6．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于中档题．
12．某高校为加强学科建设，制定了第“十四五”（2021﹣2025）规划，计划逐年加大科研资金投入，已知该校计划2021年全年投入科研资金20万元，2025年全年投入科研资金28万元，则第“十四五”期间，投入科研资金的年均增长率约为（　　）
A．1.4﹣1 B．1.4﹣1 C．log1.45﹣1 D．log1.44﹣1
【考点】根据实际问题选择函数类型；指数函数的图象与性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】设年增长率为x，由题意可得，20（1+x）4＝28，解出x的取值范围，即可求解．
【解答】解：设年增长率为x，由题意可得，20（1+x）4＝28，即，
所以，解得x＝，
故投入科研资金的年均增长率约为．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握指数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
二．填空题（共4小题）
13．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为．现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如表：
t（单位时间） 0 2 4 6 8 10
A（t） 320 226 160 115 80 57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为 　4　个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A（t）＝　（t≥0）　．
【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】首先观察表格，根据半衰期的定义，可得半衰期为4个单元时间，初始质量为A（0）＝320，根据题意可知此模型是指数函数模型，且底数为，指数为经过的时间除以半衰期，结合初始质量，即可求解．
【解答】解：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A（t）＝＝（t≥0）．
（t≥0）．
故答案为：4，（t≥0）．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，关键是理解半衰期的定义，属于基础题．
14．为了参加校教职工运动会，某校高三年级组准备为本年级教师订制若干件文化衫，经与厂家协商，可按出厂价结算，同时厂家也承诺超过50件就可以每件比出厂价低22元给予优惠．如果按出厂价购买年级组总共应付a元，但若再多买15件就可以达到优惠条件并恰好也是共付a元（a为整数），则a的值为 　3960　．
【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】设按出厂价购买x（x≤50）套，应付a元，出厂价为y元，则有a＝xy （x≤50）①，再多买15套，就可以按优惠价结算恰好也付a元，则有a＝（x+15）（y﹣22）（x+15＞50）②，联立①②，再结合x，a为整数，即可求解．
【解答】解：设按出厂价购买x（x≤50）套，应付a元，出厂价为y元，
则有a＝xy （x≤50）①，
再多买15套，就可以按优惠价结算恰好也付a元，
则有a＝（x+15）（y﹣22）（x+15＞50）②，
联立①②可得，xy＝xy+15y﹣22x﹣330，即y＝（35＜x≤50），
∵x为整数，a为整数，
∴x＝45，y＝88，
故a＝xy＝45×88＝3960．
故答案为：3960．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于基础题．
15．某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P（单位：亿元）与时间t（单位：年）之间的关系为P（t）＝P（1+10%）t，其中P为t＝0时的P值．假定P＝2，那么在t＝10时，GDP增长的速度大约是 　0.52　．（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：1.110≈2.59，当x取很小的正数时，ln（1+x）≈x．
【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】由题可得GDP增长的速度为P'（t）＝2×1.1tln1.1，进而即得．
【解答】解：由题可知P（t）＝2（1+10%）t＝2×1.1t，
所以P'（t）＝2×1.1tln1.1，
所以P'（10）＝2×1.110ln1.1≈2×2.59×0.1＝0.518≈0.52，
即GDP增长的速度大约是0.52．
故答案为：0.52．
【点评】本题主要考查函数模型及其应用，对数及其近似运算等知识，属于基础题．
16．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果显示，截止2020年底，我国总人口数约为14亿，同2010年第六次全国人口普查数据相比，年平均增长率约为0.53%．若按此增长率，30年后我国人口总数约为 　16.4　亿；为应对人口老龄化带来的挑战，改善我国人口结构，保持我国人力资源禀赋优势，党中央进一步优化了生育政策：若希望30年后，在中华人民共和国建国百年左右，我国人口超过20亿，那么人口年平均增长率应不低于 　1.2　%．（精确到0.1）（参考数据：1.005330≈1.1718，100.005≈1.0116，lg7≈0.85）
【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学建模；数学运算．
【分析】根据年平均增长率约为0.53%求解；设年平均增长率为p，由14（1+p）30＞20求解
【解答】解：因为2020年底，我国总人口数约为14亿，且年平均增长率约为0.53%，
所以30年后我国人口总数约为 14（1+0.53%）30＝14×1.005330≈14×1.1718＝16.4；
设年平均增长率为 p，
由题意得：14（1+p）30＞20，
则 ，
两边取对数得 30lg（1+p）＞1﹣lg7≈0.15，
即lg（1+p）＞0.005，
所以 1+p＞100.005≈1.0116，
解得 p＞0.0116，
所以人口年平均增长率应不低于 1.2%，
故答案为：16.4，1.2．
【点评】本题考查指数运算，考查指数方程的解法，考查数学建模和数学运算的核心素养，属于基础题．
三．解答题（共5小题）
17．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中得到使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，如图1是一个半径为R（单位：米），有24个盛水筒的筒车，按逆时针方向匀速旋转，转一周需要120秒，为了研究某个盛水筒P离水面高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的变化关系，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy．已知t＝0时P的初始位置为点A（2，﹣2）（此时P装满水）．
（1）P从出发到开始倒水入槽需要用时40秒，求此刻P距离水面的高度（结果精确到0.1）；
（2）记与P相邻的下一个盛水筒为Q，在筒车旋转一周的过程中，求P与Q距离水面高度差的最大值（结果精确到0.1）．
【考点】根据实际问题选择函数类型；三角函数模型的应用．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）根据已知条件，先求出线段OA按逆时针方向旋转了，再结合A点的坐标，即可求解．
（2）根据已知条件，分别求出P开始转动t秒后距离水面的高度h1，Q距离水面的高度h2，则P，Q距离水面的高度差H＝|h1﹣h2|，再结合三角函数的恒等变换，即可求解．
【解答】解：（1）由于筒车转一周需要120秒，
所以P从出发到开始倒水入槽的40秒，线段OA按逆时针方向旋转了，
因为A点坐标为（2，﹣2），则，以OA为终边的角为，
所以P距离水面的高度为≈6.9m．
（2）由于筒车转一周需要120秒，可知P转动的角度为，
又以OA为终边的角为，
则P开始转动t秒后距离水面的高度，0≤t≤120，
如图所示，
P，Q两个盛水筒分别用点B，C表示，
则，点C相对于点B始终落后rad，
此时Q距离水面的高度，
则P，Q距离水面的高度差H＝|h1﹣h2|＝＝，0≤t≤120，
利用sinθ+sinφ＝，可得H＝，
当或，解得t＝22.5或t＝82.5，
故H最大值为，
所以P与Q距离水面高度差的最大值约为1.0m．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于难题．
18．有四个小镇恰好位于边长为10千米的菱形ABCD的四个顶点处．政府拟建公路连通四个小镇，若每千米公路的建设成本是10万元，预算为280万元，原计划按照菱形ABCD对角线修路．
（1）若预算刚好花完，求菱形ABCD的面积；
（2）若ABCD为正方形，施工队发现按照原计划修路会预算不足，于是采取如下新方案：按如图实线所示修路，其中AM＝BM＝CN＝DN，∠BAM＝θ，θ∈（0，），问：新方案能否在预算内完成修路目标？求出新方案的最低花费．
【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；函数思想；构造法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】（1）设菱形对角线分别为x，y，根据题意求出x、y的关系，再计算菱形ABCD的面积．
（2）延长MN、NM，交AB、CD于点F、G，求出AM+BM+CN+DN+MN的表达式，再构造函数，利用函数求出函数的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设菱形对角线分别为x，y，依题意知，x+y＝＝28，
又因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以+＝102，即x2+y2＝400，
所以（x+y）2﹣2xy＝400，解得xy＝192，
所以菱形ABCD的面积为xy＝×192＝96（平方米）．
（2）
延长MN、NM，交AB、CD于点F、G，如图所示：
因为AM＝BM＝CN＝DN，∠BAM＝θ，
所以＝cosθ，解得AM＝，
所以AM+BM+CN+DN＝，
又因为＝tanθ＝，解得FM＝，所以MN＝10﹣，
因此总长度为10+10×，
设f（θ）＝，θ∈（0，），则f′（θ）＝，
当θ∈（0，）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减，
当θ∈（，），f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；
当θ＝时，f（θ）＝0，f（θ）取得最小值为f（）＝＝，
此时总长度最小，为10+10，对应的总费用为（10+10）×10＝100+100＜280，
所以新方案能在预算内完成修路目标，且新方案的最低花费为（100+100）万元．
【点评】本题考查了三角函数求值的应用问题，也考查了利用函数求最值问题，是中档题．
19．已知有半径为1，圆心角为α（其中α为给定的锐角）的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形．
方案1：如图1，裁剪出的矩形ABCD的顶点A，B在线段ON上，点C在弧上，点D在线段OM上；
方案2：如图2，裁剪出的矩形PQRS的顶点P，S分别在线段OM，ON上，顶点Q，R在弧上，并且满足PQ∥RS∥OE，其中点E为弧的中点．
（1）按照方案1裁剪，设∠NOC＝θ，用θ表示矩形ABCD的面积S1，并证明S1的最大值为tan；
（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面积S2的最大值，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形．
【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）分别用含有θ的三角函数表示AD，AB，写出矩形面积，利用三角函数求解最值即可；（2）在图2中，设OE与PS，QR分别交于G，H，则利用（1）的结论，可以得到矩形PQHG的最大面积为，根据对称性，矩形PQRS的最大面积为tan，然后利用作差法比较大小即可．
【解答】解：（1）在图1中，r＝1，∠NOC＝θ，θ∈（0，α），
AD＝BC＝rsinθ＝sinθ，OB＝rcosθ＝cosθ，AB＝OB﹣OA＝OB﹣＝cos，
S1＝SABCD＝sin＝（sin2θ﹣）＝（sin2）﹣
＝﹣＝，
当θ＝时，矩形ABCD的最大面积为＝，
故原结论成立；
（2）在图（2）中，设OE与边PS，QR分别交于点G，H，
则利用（1）的结论，可以得到矩形PQHG的最大面积为，
根据对称性，矩形PQRS的最大面积为tan，
因为α为锐角，所以，
于是0，
因此，＝＞0，
故按照方案1可以裁剪出面积最大的矩形，其最大面积为．
【点评】本题考查了函数模型的选择以及应用，考查了三角函数的运算以及学生的运算求解能力，属于中档题．
20．2020年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响．了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有极其要的意义．某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2分钟菌落的覆盖面积为18mm2，经过3分钟覆盖面积为27mm2，现菌落覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（单位：min）的关系有两个函数模型y＝kax（k＞0，a＞1）与y＝p+q（p＞0）可供选择．（参考数据：36＝729，37＝2187，38＝6561，39＝19683，≈1.414，≈1.732．）
（1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；
（2）在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过200mm2？（计算结果保留到整数）
【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）根据函数的单调性可知选哪个模型更合适；
（2）解指数函数不等式可求得答案
【解答】解：（1）y＝kax（k＞0，a＞1）的增长速度越来越快，y＝p+q（p＞0）的增长速度越来越慢，
根据题意应选y＝kax（k＞0，a＞l），
于是，解得：，
∴y＝8（）x（x∈N），
（2）根据y＝8（）x（x∈N）函数模型，可得不等式8（）x＞200，解得x≥8，
故至少经过8min 培养基中菌落面积能超过200mm2．
【点评】本题考查指数函数模型及其应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
21．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝﹣200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学建模．
【分析】（1）由题意列出该单位每月处理量的函数表达式，利用基本不等式求最值；
（2）写出该单位没有的获利f（x）关于x的函数，整理后利用二次函数的单调性求最值，则答案可求．
【解答】解：（1）由题意可知：，
所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为，
由基本不等式可得：（元），
当且仅当时，即当x＝400时，等号成立，
因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
（2）令f（x）＝100x﹣
＝﹣x2+300x﹣80000＝，
∵300≤x≤600，函数f（x）在区间[300，600]上单调递减，
∴当x＝300时，函数f（x）取得最大值，即f（x）max＝f（300）＝﹣35000．
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损．
【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查利用基本不等式与配方法求最值。
考点卡片
1．指数函数的图象与性质
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
y＝ax a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 R
值域 （0，+∞）
性质 过定点（0，1）
当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1
在R上是增函数 在R上是减函数
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax 与函数y＝的图象关于y轴对称．
3、利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
2．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； loga＝logaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； loga＝logaM．
3．二分法的定义与应用
【二分法的定义】
二分法 即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a） f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．
【二分法的应用】
我们以具体的例子来说说二分法应用的一个基本条件：
例题：下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是
解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，
有图象可得，只有③能满足此条件，
故答案为 ③．
在这个例题当中，所要求的能力其实就是对概念的理解，这也是二分法它惯用的考查形式，通过这个例题，希望同学们能清楚二分法的概念和常考题型．
【二分法求方程的近似解】
二分法在高中主要属于了解性的内容，拿二分法求近似解思路也比较固定，这里我们主要以例题来做讲解．
例：用二分法求方程在[1，2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是　[1.5，2]　．
解：令函数f（x）＝lnx﹣，由于f（1.5）＝ln（1.5）﹣＝（ln1.52﹣2）＜（lne2﹣2）＝0，即f（1.5）＜0，
而f（2）＝ln2﹣＝ln2﹣ln＝ln＝ln＞ln1＝0，即f（2）＞0，
故函数f（x）在[1.5 2]上存在零点，故方程在[1.5，2]上有根，
故答案为[1.5，2]．
通过这个例题，我们可以发现二分法的步奏，第一先确定f（a） f（b）＜0的a，b点；第二，寻找区间（a，b）的中点，并判断它的函数值是否为0；第三，若不为0，转第一步．
4．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（　　）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．y＝x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%＝x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故满足公司要求；
D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y＝…（3分）
＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
5．三角函数模型的应用
【知识点的知识】
1． 三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2． 解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
【解题方法点拨】
1、方法与技巧：
（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．
（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．
（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．
（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．
2、注意：
（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．
（2）解决应用问题要注重检验．
（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
6．与直线关于点、直线对称的直线方程
【知识点的知识】
点与直线的对称问题：
（l）点关于点对称（中点坐标公式）：
点关于点成中心对称的对称中心恰是以这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P′（2a﹣x0，2b﹣y0）
（2）点关于直线成轴对称问题
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标．一般情形如下：
设点P（x0，y0），关于直线y＝kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有
可求出x′，y′．
特殊地，点P（x0，y0）关于直线x＝a的对称点为P′（2a﹣x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y＝b的对称点为P′（x0，2b﹣y0）．
（3）线关于点对称（转化为点关于点对称，或代入法，两条直线平行）：
（4）线关于线对称（求交点，转化为点关于线对称）：
由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：
①若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；
②若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；
③a以l为轴旋转180°，一定与b重合．
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