2023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷6
一、选择题
1．（2023高二上·辉南月考）若，，，则的形状是（ ）
A．不等边锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
2．（2023高二上·佛山期末）如图，直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·顺义期末）已知圆C：，则圆C的圆心和半径为（ ）
A．圆心，半径 B．圆心，半径
C．圆心，半径 D．圆心，半径
4．（2023高二上·信阳期末）直线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．（2023高二上·辉南月考）如图，在一个的二面角的棱上有两个点，，，在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二上·葫芦岛月考）直线的方程为，则（ ）
A．的斜率为 B．在轴上的截距为6
C．的截距式为 D．的倾斜角为锐角
7．（2023高二上·湖北月考）已知点分别是双曲线的左右两焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·舟山期末）已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，，经过M的直线与C的一个交点为N，若△MNF是正三角形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023高二上·余姚期末）已知抛物线，焦点为F，准线为l，过F的直线交C于A，B两点，过B作l的垂线交l于点D，若的面积为，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
二、多项选择题
10．（2021高二上·深圳期中）在三维空间中，定义向量的外积： 叫做向量 与 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：① ， ，且 ， 和 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）：② 的模 （ 表示向量 ， 的夹角）在正方体 中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A．
B．
C． 共线
D． 与正方体表面积的数值相等
11．（2021高二上·光明期中）下列说法不正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形面积是2
B．若三条直线，，能构成三角形，则的取值范围是且
C．任意一条过点的直线方程可表示为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
12．（2022高二上·湖州期中）已知两圆为与，则（ ）
A．若两圆外切，则
B．若两圆有3条公切线，则
C．若两圆公共弦所在直线方程为，则
D．为圆上任一点，为圆上任一点，若的最大值为，则
13．（2022高二上·广东期末）若椭圆的焦点为，（），长轴长为，则椭圆上的点满足（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
14．（2022高二上·柳州期中）若，则 ．
15．（2023高二上·金华期末）直线，直线，则之间的距离是 ．
16．（2023高二上·大兴期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 ．
17．（2022高二上·浙江期中）平面直角坐标系中，已知点，，，，当四边形的周长最小时，的外接圆的方程为 ．
四、解答题
18．（2023高二上·张家口期末）“十三五”期间，依靠不断增强的综合国力和自主创新能力，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用，下图是我国的一座抛物线拱形拉索大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为64米，拱形最高点与桥面的距离为32米．
（1）求该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距（焦点到准线的距离）．
（2）已知直线是抛物线的对称轴，为直线与水面的交点，为抛物线上一点，分别为抛物线的顶点和焦点．若，，求桥面与水面的距离．
19．（2023高二上·武汉期末）已知椭圆的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与交于，两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程.
20．（2023高二上·余姚期末）已知圆，直线．
（1）判断并证明直线l与圆C的位置关系；
（2）设直线l与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为，求直线l的方程．
21．如图，在四边形ABCD中（如图1），，，，，F分别是边BD，CD上的点，将沿BC翻折，将沿EF翻折，使得点与点重合（记为点），且平面平面BCFE（如图2）
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
22．（2023高二上·顺义期末）已知直线l：与x轴的交点为A，圆O：经过点A．
（1）求r的值；
（2）若点B为圆O上一点，且直线垂直于直线l，求弦长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：，，，，又， 是不等边锐角三角形.
故答案为：A.
【分析】分别求出，再利用余弦定理求最大角的余弦值判断 是不等边锐角三角形.
2．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】由题意可知：直线的倾斜角为的补角，即为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角的求解方法和两角互补的关系，进而得出直线l的倾斜角的值。
3．【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由化为标准方程可得，
故圆心，半径.
故答案为：A.
【分析】根据题意将圆的方程化为标准方程，可得圆心和半径.
4．【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由配方得，
所以圆心为，半径为3，圆心到直线的距离，
所以，.
故答案为：C.
【分析】求得圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】根据，再利用向量模长公式求 的长.
6．【答案】D
【知识点】直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】整理成斜截式：，整理成截距式：，
则的斜率为3，所以倾斜角为锐角．在轴上的截距为-6.
故答案为：D
【分析】 根据直线的一般式方程，把直线方程转化为斜截式和截距式，逐项进行判断，可得答案.
7．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示：
因为为等腰三角形，设，
由Q为双曲线上一点，，
所以，
由P为双曲线上一点，，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
又因为，则，
所以，
所以，
所以，
故答案为：A.
【分析】设，根据双曲线的定义，得到，进而得到，在中，由余弦定理化简得到，进而求得，进而求得离心率的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】不妨设，由得，，，的中点为左焦点，在等边△MNF中，，
由椭圆定义，，
所以椭圆C的离心率为.
故答案为：D.
【分析】不妨设，由得，，，的中点为左焦点，在等边△MNF中，，，由椭圆定义和椭圆的离心率公式变形得出椭圆C的离心率。
9．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】焦点，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，
设，则，所以，
故，
，化简得，所以，
由，所以，故，
故答案为：B
【分析】利用抛物线的标准方程得出焦点坐标，设，再设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程和韦达定理得出，再结合代入法得出，再利用两点距离公式和韦达定理得出的值，再结合三角形面积公式得出的值，再结合抛物线的定义得出BF的长，由，进而得出AF的长，从而得出的值。
10．【答案】A,C,D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】设正方体的棱长为 ，
对于A，如图，因为 为等边三角形，故 ，
因为 ，而 为等边三角形，
故 ，A符合题意.
对于B，根据定义， ， ，两者不相等，B不符合题意.
对于C，因为 平面 ，结合外积的定义可得 与 共线，
C符合题意.
对于D， ，故它与正方体的表面积相同，
故答案为：ACD.
【分析】 根据题意运用新定义及空间向量基本概念，对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】B,C,D
【知识点】直线的点斜式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】对于选项，直线与两坐标轴交点为，，
直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故正确；
对于选项，构不成三角形时，即，与已知直线平行或者过原点，故且且，故选项错误；
对于选项，当斜率存在时，过点的直线可表示为，当斜率不存在时，.故选项错误；
对于选项，设直线的截距式为，把点代入，且，可求出直线方程为.当直线过原点的时，截距也相等，
可求出直线方程为为，故选项错误.
故答案为：BCD.
【分析】 对于A选项直接求出交点即可得出面积；对于B选项要分类讨论，一类是平行不可以，一类是过原点不可以；对于C选项要考虑斜率存在不存在问题；对于D选项也要分类讨论，一类是直接设截距式，一类是过原点.
12．【答案】B,C,D
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
对于A，若两圆外切，则圆心距，得，A不符合题意；
对于B，若两圆有3条公切线，则两圆外切，则，B符合题意；
对于C，两圆得方程相减得，
若两圆公共弦所在直线方程为，
则，解得，C符合题意；
对于D，圆心距，
则的最大值为，解得，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】对于AB，根据圆心距等于半径之和即可判断；对于C，两圆方程相减求得公共弦所在直线方程，即可判断；对于D，根据的最大值为圆心距加上半径即可判断.
13．【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆定义可知，A符合题意；由椭圆第二定义可知C符合题意；B中显然，即椭圆上的长轴端点不满足B中方程，B不符合题意；由两边平方可得，整理得，即，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合椭圆的定义和椭圆的第二定义，再结合椭圆的性质和两点距离公式，进而得出正确的选项。
14．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，则．
故答案为：．
【分析】根据空间向量的模长公式，即可求解.
15．【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】由平行线间的距离公式可得：
之间的距离是，
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合平行直线求距离公式得出 之间的距离 。
16．【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以双曲线的方程可设为，即，
因为，
所以，解得（负值舍去），
所以.
故答案为：2.
【分析】利用双曲线的渐近线方程求解即可.
17．【答案】
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】四边形的周长为 ，
只需求出的最小值时的值.
由于，表示轴上的点与和距离之和，只需该距离和最小即可.可得该距离最小为和间距离，令，故，所以直线方程为，令，得 ，所以，
由以上讨论，得四边形的周长最小时，，，
设过三点的圆方程为，
解得，
故的外接圆的方程为。
故答案为：。
【分析】利用四边形周长公式结合勾股定理得出四边形的周长为 ，只需求出的最小值时的值，由于，表示轴上的点与和距离之和，只需该距离和最小即可.可得该距离最小为和间距离，令，，再利用两点求斜率公式得出直线EF的斜率，再结合点斜式求出直线方程，再令得出y的值，进而得出a的值，由以上讨论，得四边形的周长最小时，，，设过三点的圆方程为，再利用代入法得出三角形的外接圆的方程。
18．【答案】（1）解：如图建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，
由题意可知：抛物线过点，代入得，解得，
故焦准距为（米）
（2）解：由（1）可得：抛物线的方程为，则其焦点，顶点，
设，
∵，则，
∴，即，
又∵，且，
∴，解得，
故桥面与水面的距离为（米）
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线的方程并求得，进而可得结果；
（2）由题意得焦点，顶点，设， 根据 ，， 建立关系，运算求解，进而可得结果.
19．【答案】（1）解：设的焦距为，，
因为椭圆上的点到两焦点距离之和为，
而椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.
所以，
所以，所以，
所以的方程为；
（2）解：设，，
代入椭圆方程得
两式相减可得，
即.
由点为线段的中点，
得，，
则的斜率，
所以的方程为，
即.
【知识点】斜率的计算公式；椭圆的简单性质
【解析】【分析】 (1)根据随圆中焦点三角形周长公式，结合焦距的定义进行求解出椭圆的标准方程；
(2)运用点差法，结合中点坐标公式、直线斜率公式进行求解出直线的方程.
20．【答案】（1）解：因为直线的方程为，
所以，
由得，，
所以直线恒过定点，
因为，
所以点在圆内，故直线与圆相交；
（2）解：因为圆的方程为，
所以点的坐标为，半径为2，
因为点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故，
所以，故圆心到直线的距离，
直线斜率不存在时，直线的方程为，
因为点到直线的距离为1，
所以直线满足条件，即直线的方程可能为，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
则圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为，
故直线的方程为或.
【知识点】直线的一般式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1） 将直线的方程转化为，
由得出直线恒过定点，再利用点与圆位置关系判断方法判断出点在圆内，从而判断出直线与圆相交。
（2）利用圆的方程圆心坐标和半径长，再利用点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故，所以，再结合中点的性质得出圆心到直线的距，当直线斜率不存在时，直线的方程为，再利用点到直线的距离为1，所以直线满足条件，即直线的方程可能为，当直线斜率存在时，设直线方程为，再利用点到直线的距离公式和已知条件得出k的值，从而得出直线的方程。
21．【答案】（1）证明：∵平面平面，
平面平面BCFE，又∵平面BCFE，且
∴平面PBC，且平面，∴
（2）解：取BC中点，连接PO，
∵，∴
∵平面平面，平面平面，平面
∴平面BCFE
以为原点，CB，CF所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，设，
由得，解得，所以，
设，由得，解得，
∴，则，，
平面BEF的一个法向量，设平面PEF的一个法向量，
，令，得，
设二面角的平面角为，易知为锐角，则，
∴二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意结合面面垂直的性质定理可得 平面PBC， 结合线面垂直的性质即可得结果；
(2) 取BC中点，连接PO， 可得 平面BCFE ， 以为原点，CB，CF所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 利用空间向量求二面角.
22．【答案】（1）解：在中，令，得，故.
因为圆O：经过点A，所以，解得.
（2）解：直线l的斜率为2，因为直线垂直于直线l，所以直线的斜率为.
所以直线的方程为，即.
圆心到直线的距离为，
所以.
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）先求得A点的坐标，代入圆O的方程，由此求出 r的值；
（2）求得直线AB的方程，根据直线与圆相交所得弦长公式，求得弦长．
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷6
一、选择题
1．（2023高二上·辉南月考）若，，，则的形状是（ ）
A．不等边锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：，，，，又， 是不等边锐角三角形.
故答案为：A.
【分析】分别求出，再利用余弦定理求最大角的余弦值判断 是不等边锐角三角形.
2．（2023高二上·佛山期末）如图，直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】由题意可知：直线的倾斜角为的补角，即为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角的求解方法和两角互补的关系，进而得出直线l的倾斜角的值。
3．（2023高二上·顺义期末）已知圆C：，则圆C的圆心和半径为（ ）
A．圆心，半径 B．圆心，半径
C．圆心，半径 D．圆心，半径
【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由化为标准方程可得，
故圆心，半径.
故答案为：A.
【分析】根据题意将圆的方程化为标准方程，可得圆心和半径.
4．（2023高二上·信阳期末）直线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由配方得，
所以圆心为，半径为3，圆心到直线的距离，
所以，.
故答案为：C.
【分析】求得圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解.
5．（2023高二上·辉南月考）如图，在一个的二面角的棱上有两个点，，，在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】根据，再利用向量模长公式求 的长.
6．（2022高二上·葫芦岛月考）直线的方程为，则（ ）
A．的斜率为 B．在轴上的截距为6
C．的截距式为 D．的倾斜角为锐角
【答案】D
【知识点】直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】整理成斜截式：，整理成截距式：，
则的斜率为3，所以倾斜角为锐角．在轴上的截距为-6.
故答案为：D
【分析】 根据直线的一般式方程，把直线方程转化为斜截式和截距式，逐项进行判断，可得答案.
7．（2023高二上·湖北月考）已知点分别是双曲线的左右两焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示：
因为为等腰三角形，设，
由Q为双曲线上一点，，
所以，
由P为双曲线上一点，，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
又因为，则，
所以，
所以，
所以，
故答案为：A.
【分析】设，根据双曲线的定义，得到，进而得到，在中，由余弦定理化简得到，进而求得，进而求得离心率的取值范围.
8．（2022高二上·舟山期末）已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，，经过M的直线与C的一个交点为N，若△MNF是正三角形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】不妨设，由得，，，的中点为左焦点，在等边△MNF中，，
由椭圆定义，，
所以椭圆C的离心率为.
故答案为：D.
【分析】不妨设，由得，，，的中点为左焦点，在等边△MNF中，，，由椭圆定义和椭圆的离心率公式变形得出椭圆C的离心率。
9．（2023高二上·余姚期末）已知抛物线，焦点为F，准线为l，过F的直线交C于A，B两点，过B作l的垂线交l于点D，若的面积为，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】焦点，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，
设，则，所以，
故，
，化简得，所以，
由，所以，故，
故答案为：B
【分析】利用抛物线的标准方程得出焦点坐标，设，再设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程和韦达定理得出，再结合代入法得出，再利用两点距离公式和韦达定理得出的值，再结合三角形面积公式得出的值，再结合抛物线的定义得出BF的长，由，进而得出AF的长，从而得出的值。
二、多项选择题
10．（2021高二上·深圳期中）在三维空间中，定义向量的外积： 叫做向量 与 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：① ， ，且 ， 和 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）：② 的模 （ 表示向量 ， 的夹角）在正方体 中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A．
B．
C． 共线
D． 与正方体表面积的数值相等
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】设正方体的棱长为 ，
对于A，如图，因为 为等边三角形，故 ，
因为 ，而 为等边三角形，
故 ，A符合题意.
对于B，根据定义， ， ，两者不相等，B不符合题意.
对于C，因为 平面 ，结合外积的定义可得 与 共线，
C符合题意.
对于D， ，故它与正方体的表面积相同，
故答案为：ACD.
【分析】 根据题意运用新定义及空间向量基本概念，对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2021高二上·光明期中）下列说法不正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形面积是2
B．若三条直线，，能构成三角形，则的取值范围是且
C．任意一条过点的直线方程可表示为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】B,C,D
【知识点】直线的点斜式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】对于选项，直线与两坐标轴交点为，，
直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故正确；
对于选项，构不成三角形时，即，与已知直线平行或者过原点，故且且，故选项错误；
对于选项，当斜率存在时，过点的直线可表示为，当斜率不存在时，.故选项错误；
对于选项，设直线的截距式为，把点代入，且，可求出直线方程为.当直线过原点的时，截距也相等，
可求出直线方程为为，故选项错误.
故答案为：BCD.
【分析】 对于A选项直接求出交点即可得出面积；对于B选项要分类讨论，一类是平行不可以，一类是过原点不可以；对于C选项要考虑斜率存在不存在问题；对于D选项也要分类讨论，一类是直接设截距式，一类是过原点.
12．（2022高二上·湖州期中）已知两圆为与，则（ ）
A．若两圆外切，则
B．若两圆有3条公切线，则
C．若两圆公共弦所在直线方程为，则
D．为圆上任一点，为圆上任一点，若的最大值为，则
【答案】B,C,D
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
对于A，若两圆外切，则圆心距，得，A不符合题意；
对于B，若两圆有3条公切线，则两圆外切，则，B符合题意；
对于C，两圆得方程相减得，
若两圆公共弦所在直线方程为，
则，解得，C符合题意；
对于D，圆心距，
则的最大值为，解得，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】对于AB，根据圆心距等于半径之和即可判断；对于C，两圆方程相减求得公共弦所在直线方程，即可判断；对于D，根据的最大值为圆心距加上半径即可判断.
13．（2022高二上·广东期末）若椭圆的焦点为，（），长轴长为，则椭圆上的点满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆定义可知，A符合题意；由椭圆第二定义可知C符合题意；B中显然，即椭圆上的长轴端点不满足B中方程，B不符合题意；由两边平方可得，整理得，即，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合椭圆的定义和椭圆的第二定义，再结合椭圆的性质和两点距离公式，进而得出正确的选项。
三、填空题
14．（2022高二上·柳州期中）若，则 ．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，则．
故答案为：．
【分析】根据空间向量的模长公式，即可求解.
15．（2023高二上·金华期末）直线，直线，则之间的距离是 ．
【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】由平行线间的距离公式可得：
之间的距离是，
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合平行直线求距离公式得出 之间的距离 。
16．（2023高二上·大兴期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 ．
【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以双曲线的方程可设为，即，
因为，
所以，解得（负值舍去），
所以.
故答案为：2.
【分析】利用双曲线的渐近线方程求解即可.
17．（2022高二上·浙江期中）平面直角坐标系中，已知点，，，，当四边形的周长最小时，的外接圆的方程为 ．
【答案】
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】四边形的周长为 ，
只需求出的最小值时的值.
由于，表示轴上的点与和距离之和，只需该距离和最小即可.可得该距离最小为和间距离，令，故，所以直线方程为，令，得 ，所以，
由以上讨论，得四边形的周长最小时，，，
设过三点的圆方程为，
解得，
故的外接圆的方程为。
故答案为：。
【分析】利用四边形周长公式结合勾股定理得出四边形的周长为 ，只需求出的最小值时的值，由于，表示轴上的点与和距离之和，只需该距离和最小即可.可得该距离最小为和间距离，令，，再利用两点求斜率公式得出直线EF的斜率，再结合点斜式求出直线方程，再令得出y的值，进而得出a的值，由以上讨论，得四边形的周长最小时，，，设过三点的圆方程为，再利用代入法得出三角形的外接圆的方程。
四、解答题
18．（2023高二上·张家口期末）“十三五”期间，依靠不断增强的综合国力和自主创新能力，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用，下图是我国的一座抛物线拱形拉索大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为64米，拱形最高点与桥面的距离为32米．
（1）求该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距（焦点到准线的距离）．
（2）已知直线是抛物线的对称轴，为直线与水面的交点，为抛物线上一点，分别为抛物线的顶点和焦点．若，，求桥面与水面的距离．
【答案】（1）解：如图建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，
由题意可知：抛物线过点，代入得，解得，
故焦准距为（米）
（2）解：由（1）可得：抛物线的方程为，则其焦点，顶点，
设，
∵，则，
∴，即，
又∵，且，
∴，解得，
故桥面与水面的距离为（米）
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线的方程并求得，进而可得结果；
（2）由题意得焦点，顶点，设， 根据 ，， 建立关系，运算求解，进而可得结果.
19．（2023高二上·武汉期末）已知椭圆的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与交于，两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程.
【答案】（1）解：设的焦距为，，
因为椭圆上的点到两焦点距离之和为，
而椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.
所以，
所以，所以，
所以的方程为；
（2）解：设，，
代入椭圆方程得
两式相减可得，
即.
由点为线段的中点，
得，，
则的斜率，
所以的方程为，
即.
【知识点】斜率的计算公式；椭圆的简单性质
【解析】【分析】 (1)根据随圆中焦点三角形周长公式，结合焦距的定义进行求解出椭圆的标准方程；
(2)运用点差法，结合中点坐标公式、直线斜率公式进行求解出直线的方程.
20．（2023高二上·余姚期末）已知圆，直线．
（1）判断并证明直线l与圆C的位置关系；
（2）设直线l与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为，求直线l的方程．
【答案】（1）解：因为直线的方程为，
所以，
由得，，
所以直线恒过定点，
因为，
所以点在圆内，故直线与圆相交；
（2）解：因为圆的方程为，
所以点的坐标为，半径为2，
因为点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故，
所以，故圆心到直线的距离，
直线斜率不存在时，直线的方程为，
因为点到直线的距离为1，
所以直线满足条件，即直线的方程可能为，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
则圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为，
故直线的方程为或.
【知识点】直线的一般式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1） 将直线的方程转化为，
由得出直线恒过定点，再利用点与圆位置关系判断方法判断出点在圆内，从而判断出直线与圆相交。
（2）利用圆的方程圆心坐标和半径长，再利用点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故，所以，再结合中点的性质得出圆心到直线的距，当直线斜率不存在时，直线的方程为，再利用点到直线的距离为1，所以直线满足条件，即直线的方程可能为，当直线斜率存在时，设直线方程为，再利用点到直线的距离公式和已知条件得出k的值，从而得出直线的方程。
21．如图，在四边形ABCD中（如图1），，，，，F分别是边BD，CD上的点，将沿BC翻折，将沿EF翻折，使得点与点重合（记为点），且平面平面BCFE（如图2）
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：∵平面平面，
平面平面BCFE，又∵平面BCFE，且
∴平面PBC，且平面，∴
（2）解：取BC中点，连接PO，
∵，∴
∵平面平面，平面平面，平面
∴平面BCFE
以为原点，CB，CF所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，设，
由得，解得，所以，
设，由得，解得，
∴，则，，
平面BEF的一个法向量，设平面PEF的一个法向量，
，令，得，
设二面角的平面角为，易知为锐角，则，
∴二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意结合面面垂直的性质定理可得 平面PBC， 结合线面垂直的性质即可得结果；
(2) 取BC中点，连接PO， 可得 平面BCFE ， 以为原点，CB，CF所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 利用空间向量求二面角.
22．（2023高二上·顺义期末）已知直线l：与x轴的交点为A，圆O：经过点A．
（1）求r的值；
（2）若点B为圆O上一点，且直线垂直于直线l，求弦长．
【答案】（1）解：在中，令，得，故.
因为圆O：经过点A，所以，解得.
（2）解：直线l的斜率为2，因为直线垂直于直线l，所以直线的斜率为.
所以直线的方程为，即.
圆心到直线的距离为，
所以.
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）先求得A点的坐标，代入圆O的方程，由此求出 r的值；
（2）求得直线AB的方程，根据直线与圆相交所得弦长公式，求得弦长．
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