2023—2024学年苏科版数学八年级上册2.5等腰三角形的轴对称性(压轴题型培优练习) （无答案）

2.5等腰三角形的轴对称性
(压轴题型培优练习)
【学习目标】
掌握等腰三角形的分类讨论，不要漏项
掌握直角三角形的分类讨论，不要漏项
3. 掌握等腰（边）三角形的性质求最值
【典型例题】
类型一、等腰三角形的分类讨论
【例1】如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（ ）．
A．20°或70° B．20°、70°或100°
C．40°或100° D．40°、70°或100°
举一反三：
【变式1】如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是______．
【变式2】已知在中，，点是边上一点，．

(1)如图1，试说明的理由；
(2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．
①试说明的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求的度数．
【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠CDE＝　 　°，∠AED＝　 　°，当点D从点B向点C运动时，∠CDE逐渐变　 　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形？若存在，请求出此时∠BDA的度数；若不存在，请说明理由．
【变式4】综合与实践：如图1，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，BD＝8cm且CD：AD＝2：3；如图2，在图1的基础上，动点P从点A出发以每秒2cm的速度沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发以相同速度沿线段CA向点A运动，当其中一点到达终点时另外一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）请直接写出AB的长：AB＝　 　cm；
（2）当△PDQ的其中一边与BC平行时（Q与D不重合），求t的值；
（3）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在以AD为腰的△PAD是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
类型二、直角三角形的分类讨论
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．设运动时间为t，则当t= 秒时，△BPC为直角三角形．
举一反三：
【变式1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，点P在边AC上以1cm/s的速度从点A向终点C运动，与此同时点Q在边AB上以同样的速度从点B向终点A运动，各自到达终点后停止运动，设运动时间为t（s），则当△APQ是直角三角形时，t的值为（ ）
A．2s B．4s C．2s或4s D．2s或4.5s
【变式2】如图，在中，，，点P是BC边上的动点，设，当为直角三角形时，x的值是______．
【变式3】如图1所示，在边长为12的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动设点P的运动时间为，．
(1)当_____时，是直角三角形；
(2)如图2．若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发，那么当_____时，是直角三角形
(3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线方向运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接交于点D，过点P作于E，试问线段的长度是否变化？若変化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度．
【变式4】如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．

（1）直接填空：与的位置关系是__________；
（2）点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值；
（3）试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？
类型三、求最短路径问题
【例3】如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？
举一反三：
【变式1】如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2 ， 腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为________ cm．
【变式2】如图，等腰中，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连按，则的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．32
【变式3】如图，在中，已知的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．
（1）若，求的度数．
（2）若，的周长是．
①求的长度；
②若点P为直线上一点，请你求出周长的最小值．
【变式4】已知点P在∠AOB内，过点P分别作关于OA、OB的对称点P1、P2．
①如图1，若∠AOB＝25°，请直接写出∠P1OP2＝　 　；
②如图2连接P1P2分别交OA、OB于C、D，若∠CPD＝98°，求∠AOB的度数；
③在②的条件下若∠CPD＝α度（90＜a＜180），请直接写出∠AOB=　 　度．（用含α的代数式表示）
（2）【拓展延伸】利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图3在△ABC中，∠BAC＝30°，点P是△ABC内部一定点，AP＝8，点E、F分别在边AB、AC上，请你在图3中画出使△PEF周长最小的点E、F的位置（不写画法），并直接写出△PEF周长的最小值．